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概率与期望值

Chance & Expected Value

更新于 2026-10-12 约 17 分钟机会概率期望值概率分布蒙特卡洛感知概率后悔规避赌徒谬误

机会 (chance) 是 Schell 七类机制的最后一类（第 3 版第 12 章 Mechanic 7: Chance；第 1 版为第 10 章、六类中的第六类），涉及其他五类之间的交互：机会意味着不确定，不确定意味着惊喜，而惊喜是乐趣的秘密成分。设计师要掌握十条概率规则、会算期望值 (expected value)，并同时考虑实际概率与玩家的感知概率，以及技能与运气的五种纠缠（第 10 章）。

概率的诞生：德·梅雷骑士的问题（第 12 章 Mechanic 7: Chance）

1654 年，法国贵族安托万·贡博 (Antoine Gombaud，即德·梅雷骑士) 赌"掷一颗骰子 4 次至少出一次 6"赢了很多钱；朋友不玩后，他改赌"掷两颗骰子 24 次至少出一次双 6"，却开始输钱。他按 $4\times\frac16=\frac46$ 与 $24\times\frac1{36}=\frac23$ 认为两者胜率都是 66%。他写信问帕斯卡，帕斯卡又与费马通信，由此创立了概率论。

设计师应知的十条概率规则（第 12 章 Ten Rules of Probability Every Game Designer Should Know）

#	规则	要点
1	分数、小数、百分数是一回事	$\frac12=0.5=50\%$
2	概率只在 0 到 1 之间	按骑士的算法，掷 7 次胜率会是 $\frac76=117\%$ ，显然错了（实际约 72%）；算出超过 100% 或小于 0% 必有错误
3	概率 = "所求结果数" ÷ "可能结果数"	前提是各结果等可能。出 6 为 $\frac16$ ；抽到人头牌 $\frac{12}{52}\approx23\%$
4	枚举！	掷 3 次硬币至少 2 次正面：8 种结果中 4 种，50%。骑士第一个游戏有 $6^4=1296$ 种结果，含 6 的有 671 种；第二个游戏要枚举 $36^{24}$ 种，比宇宙年龄还久
5	某些情况下"或"意味着加	仅当事件互斥：人头牌或 A 为 $\frac{12}{52}+\frac4{52}=\frac{16}{52}$ ；A 或方块不互斥（方块 A），直接相加得 $\frac{17}{52}$ 是错的，正确为 $\frac{16}{52}$ 。骑士的错误正在于把不互斥的四次相加
6	某些情况下"且"意味着乘	两次都出 6： $\frac16\times\frac16=\frac1{36}$ ；A 且方块： $\frac4{52}\times\frac{13}{52}=\frac1{52}$
7	1 − "发生" = "不发生"	第二个游戏：不出双 6 为 $(\frac{35}{36})^{24}\approx0.5086$ ，胜率约 49.14%，所以长期必输
8	多个线性随机选择之和不是线性随机选择	两骰之和 7 最常见（6/36）、12 最少（1/36）。D&D 用 3d6 生成 3–18 的属性，集中在 10–11 附近，正是设计者想要的；换成 1d20 会完全不同。要知道自己想要什么概率分布曲线
9	掷骰子（蒙特卡洛）	理论概率之外还有实践概率：反复试验并记录；能捕捉数学没考虑到的因素（如骰子不均）；用程序模拟几百万次即可回答"大富翁哪格最常被踩到"之类理论上几乎无法求解的问题；也可用 Joris Dormans 的 Machinations 系统建模玩法系统、反复模拟看结果模式（第 3 版新增）
10	极客爱炫耀（贡博定律）	遇到难题就找数学高手，或上论坛并加一句"这题大概没人解得出"；别怕问蠢问题——没有骑士的蠢问题，帕斯卡和费马也不会有那些发现

骑士第一个游戏的完整解（规则 5 + 6）：把"至少一个 6"拆成互斥的四种情况再相加：

情况	排列数	每种概率	合计
4 个 6	1	$\frac1{1296}$	$\frac1{1296}$
3 个 6	4	$\frac5{1296}$	$\frac{20}{1296}$
2 个 6	6	$\frac{25}{1296}$	$\frac{150}{1296}$
1 个 6	4	$\frac{125}{1296}$	$\frac{500}{1296}$
至少 1 个 6	—	—	$\frac{671}{1296}\approx51.77\%$

用规则 7 更快： $1-(\frac56)^4=\frac{671}{1296}$ 。胜率略高于 50%，所以骑士长期获利，而朋友一时还觉得有机会。

原书问题（第 3 版仍在）：

规则 6 说"仅当两事件不互斥时才能相乘"（第 12 章 Rule #6）。乘法法则 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ 的条件是两事件相互独立，而不是"不互斥"：不互斥的事件未必独立（例如从一副牌抽一张，"红色"与"方块"不互斥，但 $P=\frac{13}{52}\ne\frac12\times\frac14$ ）。参见任一概率论教材（如 Ross《A First Course in Probability》第 3 章独立事件）。书中的例子（两次掷骰；A 与方块）恰好都是独立事件，所以结果正确。

Rule #4 一节说 $36^{24}$ "是 37 位数"，实际 $36^{24}\approx2.245\times10^{37}$ ，是 38 位数（可直接计算验证）。

期望值一节计算"其他点数"概率时写 "Using Rule #8"，实际用的是规则 7（1 − 发生 = 不发生）。

已在第 3 版修正（部分撤销第 1 版勘误）：第 1 版讲规则 8 时误写 "Rule #7 might seem like a very obvious rule"，第 3 版已改为 "Rule #8"。

期望值（第 12 章 Expected Value）

一次交易所有可能结果值的平均（按概率加权）。踩到绿格掷 1d6 得能量点：期望 $\frac{21}{6}=3.5$ 。

两骰赌局（7 或 11 赢 $5，其余输 $1）	概率 × 值
7	$\frac6{36}\times5=0.83$
11	$\frac2{36}\times5=0.28$
其余	$\frac{28}{36}\times(-1)=-0.78$
期望值	+$0.33（长期有利）

只有 7 赢时期望为 $0（与掷硬币一样公平）；只有 11 赢时是亏本游戏，可以通过提高 11 的奖金把它变公平甚至有利。

原书问题（第 3 版新发现）：书中"只有 11 赢"的表格列出 $0.28 与 −$0.94，却给出期望值 −$0.86，正文也说"平均每次输约 86 美分"。按表中数值 $0.28-0.94=-0.66$ ；精确值 $\frac{2\times5-34}{36}=-\frac{24}{36}\approx-\$ 0.67$（可直接计算验证）。

仔细考虑"真实价值"（第 12 章 Consider Values Carefully）：

攻击	命中率	伤害	名义期望	对 15 HP 敌人的真实期望
风	100%	4	4	4
火球	80%	5	4	4
闪电	20%	40	8	$0.2\times15=3$

对 500 HP 的敌人闪电最优；对 15 HP 的敌人，40 点伤害中只有 15 点有用，闪电反而最差。玩家用不上的收益、隐藏的惩罚都要算进去。

人的因素（第 12 章 The Human Element）

感知概率：若不告诉玩家命中率，几次闪电都落空的玩家会认定"闪电从来打不中"，把它的期望当成 0。玩家怎么玩取决于他们的感知概率。
后悔规避：Kahneman 与 Tversky 让被试在 A（66% 得 $2400、33% 得 $2500、1% 得 $0，期望 $2409）和 B（100% 得 $2400）之间选择，82% 选 B。人愿意为消除后悔付出代价（"买个安心"）。Tversky："面对收益时人是保守的……面对小而确定的损失与大而可能的损失时，人会去赌"——所以输了点钱的赌徒更愿意冒险翻本。第 3 版补充：免费游戏《智龙迷城 (Puzzle & Dragons)》的成功很大程度上在此——玩家在地牢中死去时，游戏提示"看你要失去多少宝物，付一点真钱就有机会保住"，许多人为避免这种小而确定的损失付费。

存疑：书中这句 Tversky 引语作 "They will make a sure gain over a problem gain"，"problem gain" 疑为 "probable gain" 之误（与后半句 "large, probable loss" 对照）；未查到引语原始出处，仅作提示。
风险夸大：Tversky 让人估计死因概率，自然死因被低估，非自然死因被严重高估（表格已对照第 3 版书中图片核对）：

死因	估计	实际
心脏病	22%	34%
癌症	18%	23%
其他自然原因	33%	35%
事故	32%	5%
他杀	10%	1%
其他非自然原因	11%	2%

期望值是分析平衡最有价值的工具之一；难点是给"疾速靴""跳过两关的传送门"这类东西定量。猜也要猜，迭代测试中会不断修正这些估值（见游戏平衡）。

技能与运气的纠缠（第 12 章 Skill and Chance Get Tangled）

#	交互	说明
1	估计概率是一种技能	21 点几乎全靠懂赔率；算牌会改变感知概率
2	技能有成功概率	即使国际象棋、棒球这种"纯技能"游戏，每个行动也有风险（盗垒成功率、对手是否注意到我在困他的后），这些也要平衡
3	估计对手的技能是一种技能	虚张声势让对手不敢冒进，或示弱让对手忽视你的策略
4	预测纯运气是想象中的技能	手热谬误（连赢了还会赢）与赌徒谬误（连输了该赢了）；在玩家心中这像在运用真技能，可加以利用
5	控制纯运气是想象中的技能	特定手法掷骰、幸运符；完全放弃"我能影响结果"的念头，纯运气游戏的乐趣就会流失。这与第 4 章孩子玩 War 的观察一致（见游戏的定义）

风险与随机像香料：一点没有则平淡，太多则盖过一切。机会元素不只出现在掷骰和随机数中，玩家遇到未知之处就有机会。

与引擎侧页面的对照：本页关心随机性如何被玩家体验；随机数在程序中如何生成（周期、随机性测试、LCG/梅森旋转/Xorshift/PCG）见伪随机数生成（GEA）。两者互补：Schell 关心"分布曲线和感知"，GEA 关心"生成器质量"。

本页透镜

编号	透镜	核心问题
#35	期望值之镜 (Lens of Expected Value)	某事件的实际概率和感知概率各是多少？结果价值几何，能量化吗，有没有没考虑到的无形价值？每个动作的期望值令我满意吗，提供了有趣的选择吗，奖励或惩罚是否过度？
#36	机会之镜 (Lens of Chance)	什么是真随机、什么只是感觉随机？随机带来兴奋与挑战，还是绝望与失控？改变概率分布曲线能否改进游戏？玩家有机会冒有趣的风险吗？机会与技能是什么关系？能否让随机元素更像运用技能、让运用技能更像冒险？

版本差异：第 1 版为 #28 期望值之镜、#29 机会之镜。

全部透镜见 Schell 透镜总表。

Adams & Dormans 的视角：随机性 vs 涌现（第 6 章 Randomness vs. Emergence，印刷页约 p.125–129）

Adams & Dormans 认为随机因素太多的游戏难以预测、玩家觉得行动影响不大；涌现玩法的长处是动态行为主要来自系统的复杂性，而不是掷了多少骰子。他们的信条是：好的设计只节制地依赖纯运气，几个确定性的反馈回路就能产生惊人的动态；用涌现而非随机制造不确定结果时，玩家的每个决定都重要。

频率与影响：随机的影响常取决于随机数的范围与分布——掷 1 颗骰移动 1–6 格、各等概率；掷 2 颗移动 2–12 格但 7 最常见。设计涌现型游戏时，几乎总应让随机机制频繁发生但单次影响小；提高频率通常就能降低影响，因为长期来看运气会平均掉。

随机性的两种有益用途：

用途	机制	例子
迫使即兴 (Force Improvisation)	每局新的随机地图、洗牌	《文明》《模拟城市》随机地图；《万智牌》自组约 40 张的牌组但每局都要洗牌——构筑是一种技能，局中即兴发现机会是另一种。对所有玩家同等影响的随机事件效果最好，胜负取决于应对与准备，许多现代欧式桌游如此使用随机
对抗优势策略 (Counter Dominant Strategies)	用随机打破确定性的最优解	见下面的采集者游戏

欧式桌游例《电力公司》(Power Grid)：只有两个随机因素——初始玩家顺序与洗乱的电厂牌堆。且有机制抵消初始随机：每回合调整玩家顺序使领先者不利（负反馈）；多数时候只有较便宜的电厂可买，最贵的放回牌堆（终局再出现）。局中所有决定都不涉及掷骰；竞拍电厂是多人动态而非随机。《波多黎各》《凯吕斯》《农场主 (Agricola)》也类似。

优势策略 (Dominant Strategy)：在任何情况下都是最佳选择的行动方案（不保证赢，只是最好选项）。有优势策略的游戏不好玩，玩家只会重复同一件事——应当更好地平衡机制（第 8 章）；太难或太费时，加入随机是一条捷径。

采集者游戏：两名玩家各从 1 台采集器开始，每台每回合采 0.1 能量；花 3 能量可多买一台；先攒到 30 能量者胜。红方先造 7 台再积累，蓝方先造 2 台再积累。完全确定，红方永远赢（红 119 回合，蓝 146 回合）。表 6.3（据原图转写）：

额外采集器数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
达成目标所需回合	300	181	146	133	125	121	120	119	120	120	121	121	122

造 7 台是优势策略（与内部经济中"长期投资 vs 短期收益"的积累竞赛是同一现象）。改成"每台采集器让本回合采到 1 能量的概率提高 10%"后，模拟 1000 次，蓝方约有 15% 胜率。

随机间隔与行为心理（原书边栏 Random Intervals in Games）：John Hopson《Behavioral Game Design》（2001）报告，行为心理学实验表明，玩家行为受奖励的机会与间隔影响：固定间隔奖励时注意力与活动在间隔点达到峰值；间隔长度随机时玩家几乎一直活跃，因为不知道下一次行动何时带来奖励。作者提醒"谨慎使用这一强大的知识"。Machinations 中可用随机间隔（如 1/(D4+2)）表示。

本页 Schell 的论点	Adams & Dormans
风险与随机像香料，一点没有则平淡，太多则盖过一切	一致；进一步给出"高频、低影响"的量化原则
技能与运气纠缠（预测/控制运气是想象中的技能）	强调用确定性反馈结构制造不确定性，让决定有意义
期望值是平衡工具	用 Machinations 批量模拟（1000 次）求胜率

Schreiber & Romero 的视角：独立随机（第 17 章，p.431–454）

同样从 1654 年帕斯卡与费马的通信讲起，但明确区分概率（0–1 的数）、赔率（发生:不发生，常见于赌场赔付，赔付总低于真实赔率）与机会（定性描述）。
乘法法则用于独立事件，与本页 Schell 规则 6 的"不互斥"表述不同——本库以独立性为准（见上方原书问题）。
期望相同不等于胜率相同：James Ernest 的 Kill the Elf 中稳定 1 点的战士与 1/6 概率打 6 点的法师期望相同，法师却赢约 60%；开局运气会被放大：50d6 比大小中第一颗 6 对 1 的领先使落后方胜率降到约 37%。
先抽稀有度再抽具体物品的系统要核对"更稀有的是否真的更稀有"。详见独立随机与骰子概率。

Schreiber & Romero 的视角：概率直觉与认知偏差（第 20 章，p.491–508）

期望值不是全部：五个"赚钱游戏"表明优势比例、中奖频率与金额门槛都决定人是否愿意玩。
本页 Schell 把赌徒谬误、手热谬误视为可以利用的"想象中的技能"；Schreiber & Romero 同样承认可以按偏差修改实际概率（显示 75% 实际按 95%），但明确指出这是不诚实的，并给出公开随机结果（街机《俄罗斯方块》的方块统计、卡坦岛的概率点）的诚实方案。两种立场并列。
原书关于手热效应"统计上反向"的说法缺乏依据（见该页原书问题）。详见概率直觉与认知偏差。

出处

The Art of Game Design, 3rd Edition (Jesse Schell).epub
Jesse Schell《The Art of Game Design: A Book of Lenses》第 3 版（CRC Press, 2019）第 12 章 Some Elements Are Game Mechanics（Mechanic 7: Chance）
Jesse Schell《The Art of Game Design: A Book of Lenses》第 1 版（Morgan Kaufmann, 2008）第 10 章，仅用于版本差异；原 PDF 已不在 raw/books，未能复核
Game_Mechanics_Advanced_Game_Design_-_Ernest_Adams.pdf
Ernest Adams & Joris Dormans《Game Mechanics: Advanced Game Design》第 1 版（New Riders, 2012, ISBN 978-0-321-82027-3）第 6 章 Common Mechanisms（PDF p.162–216，印刷页约 p.107–146）
Game_Balance_-_Ian_Schreiber_Brenda_Romero.pdf
Ian Schreiber & Brenda Romero《Game Balance》第 1 版（CRC Press, 2022, ISBN 978-1-4987-9957-7）第 17 章 Independent Randomness（印刷页 p.431–454）
Ian Schreiber & Brenda Romero《Game Balance》第 1 版（CRC Press, 2022, ISBN 978-1-4987-9957-7）第 20 章 Probability and Human Intuition（印刷页 p.491–508）