收益矩阵与非传递机制求解

为什么需要非传递机制（p.603–606）

传递机制里"更好"有绝对意义，按成本曲线平衡（见 成本曲线与支撑数学）；非传递机制里强弱只是两两之间的相对关系，最简单的例子是石头剪刀布（概念见 传递性与非传递性）。它比单一占优策略（"石头-石头-石头"）多三倍变化，而且可以嵌进更大的游戏，让玩家根据观察实时调整。原书举的例子：

还有一个理由：非传递关系是失控占优策略的紧急刹车——即使不确定游戏是否平衡，任何策略都注定被至少一种反制克制，元游戏能自我纠正。只依赖它是偷懒，但在发售后难以大改平衡的游戏里，有安全网总比没有好。

"解"是什么（p.606–607）

解是每个选项的选择比例（非对称游戏还包括对手的比例），例如"30% 弓手、50% 步兵、20% 飞行"。设计师可以通过调整成本和可得性来设计最优比例：想让昂贵、华丽的无畏舰在正常对局中少见、出场时才显得壮观，就可以有意设定；测试中某策略过于常用时，这种分析也能解释原因。石头剪刀布的直觉解是 1:1:1，偏离它（如 1:2:1 偏向布）对手就可以全出剪刀获利。原书脚注：Rollings 与 Morris 的《Game Architecture and Design》第 3、5 章最早在游戏设计书中记录这种解法。

基本石头剪刀布（p.607–610）

胜 +1、负 −1、平 0（任何分值都可以，这组最方便）。小写 $r,p,s$ 是对手出各手的概率，大写 $R,P,S$ 是我方出该手的期望收益（博弈论称收益 (payoff)）：

$R=s-p,\;P=r-s,\;S=p-r$。若对手按 $r=0.5,p=s=0.25$ 出，则 $R=0,P=0.25,S=-0.25$，最佳反制是一直出布，每局期望 +0.25；哪怕对手只是 $r=0.3334,p=s=0.3333$，一直出布仍是最佳——非传递机制很脆弱，稍有偏差就会出现完全占优的反制。

原书给出三条"定理"：

1. 机制对称时，双方的解相同；
2. 所有值得选的策略收益相等（低于其他的就不值得选，高于其他的就会被独占）；
3. 对称零和游戏中，所有可行策略的收益为 0。

于是 $s-p=0,\;r-s=0,\;p-r=0,\;r+p+s=1$，解得 $r=p=s=1/3$。

但这不等于应该随机出：真随机在锦标赛中胜、负、平各三分之一，净得 0，赢不了比赛。人很难装作随机（见 概率直觉与认知偏差），实战中最好的策略是发现并利用对手的模式、同时掩盖自己的模式；1:1:1 只说明长期比例应接近它，任何偏离都会给对手明确的反制，直到你调整回来。

带成本：石头赢算双倍（p.610–611）

收益表中 R 对 s 为 +2、S 对 r 为 −2。$R=2s-p,\;P=r-s,\;S=p-2r$，全部为 0，解得 $r:p:s=1:2:1$。反直觉的是多出的是布而不是石头：剪刀风险太大，没人愿意出；既然对手很少出剪刀，布几乎不会输。对应到格斗游戏（攻击克投技、投技克防御、防御克攻击）：若成功投技的伤害是攻击或防御的两倍，预计攻击的使用次数是投技或防御的两倍（脚注：把防御理解为成功后可以发动一次无法防御的反击）。

不完全胜负与单位成本（p.612–613）

骑士克弓手、弓手克龙、龙克骑士；同类相遇同归于尽，收益为 0。骑士杀弓手但掉 20% 血，弓手杀龙但掉 40% 血，龙杀骑士毫发无伤；骑士 50 金、弓手 75、龙 100。把损失换算成金币作为收益（零和）：骑士对弓手 $+75-0.2\times50=+65$，弓手对龙 $+100-0.4\times75=+70$，龙对骑士 +50（龙没有损失，造价不计入）：

$65a=50d,\;65k=70d,\;50k=70a$，解得 $k:a:d=14:10:13$，即 $14/37,10/37,13/37$（本 wiki 用线性规划复核无误）。三种单位用得相当平均，骑士略多、弓手略少；想让龙少见就调整成本或伤害。一个对象的小改动会对其他对象产生难以预料的影响，最简单的是放进电子表格手调或用规划求解 (Solver) 自动调。

原书小问题：骑士对弓手的段落写"弓手一方净赚 65 金"，按表格和计算应是骑士一方净赚 65 金；方程组最后一行 "k + a + f = 1" 中的 f 应为 d。

非对称收益：高斯消元（p.614–619）

抽到一张卡"Rock On!"：只有玩家 A 用石头赢得 2 分。双方收益不再相等，未知数翻倍：A 的所有可行选项收益都等于 $X$，B 的都等于 $-X$（零和）。把方程写成增广矩阵，用三种不改变解的行变换——交换行、整行乘常数、两行相加——化成三角形式（对角线以下为 0、对角线非 0），再从最后一行往上回代：

$\left[\begin{array}{ccc|c}0&-1&2&X\\1&0&-1&X\\-1&1&0&X\end{array}\right]\;\Rightarrow\;\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&-1&X\\0&-1&2&X\\0&0&1&3X\end{array}\right]$

得 $s_B=3X,\;p_B=5X,\;r_B=4X$，即 B 应按 4:5:3 出，同时求出 $X=1/12$。对 B 的收益矩阵做同样操作，A 应按 3:5:4 出（两人石头和剪刀的比例互换）。A 的优势只有每局 1/12——12 局只多赢 1 局，比直觉小得多。（本 wiki 线性规划复核：博弈值 1/12，两方策略与原书一致。）矩阵与行变换的基础见 马尔可夫链与状态机概率。

更多选项（p.619–623）

• 石头剪刀布蜥蜴史波克：五个选项各克两个、各被两个克，解为 1:1:1:1:1。
• 加入"炸药"：炸药克石头和布、被剪刀克。布与炸药都输给剪刀、都赢石头，而炸药还赢布——布被炸药占优 (dominated)，永远不该出。直接按"所有收益相等"去解会得到小于 0 或大于 1 的荒谬概率，因为布的收益严格更低。做法是反复剔除被占优的选项，剔除后就是把布改名为炸药的普通石头剪刀布。
• 加入"电钻"：电钻克石头、输给布、与剪刀打平（与剪刀相反）。没有被占优的选项，但消元时出现全 0 行和重复行，不存在唯一解：$r=p=1-2s,\;j=3s-1$，概率须在 0–1 之间，所以 $1/3\le s\le1/2$。下界是普通 1:1:1（电钻不出），上界是剪刀、电钻各一半（石头和布不出），中间有无穷多个最优策略，例如 $s=2/5,p=r=j=1/5$。剪刀在所有最优策略中都不可缺少。哪个最好取决于对手是否理性、会不会失误、对彼此了解多少；假设都完美执行，它们一样好。原书脚注认为电钻不是好的扩展：有一个最优策略完全不用它，另一个完全不用石头和布，高水平玩家可能根本见不到这些内容。（原书在两处把电钻的概率 $j$ 误写为 $c$。）

选项数不同：Game of Malkav（p.624–628）

集换式卡牌游戏《Jyhad》（后更名为《Vampire: The Eternal Struggle》）早期的一张卡：所有玩家秘密选择 1–5 的数，打出者可以选 1–6；亮出后各自获得等于所选数的生命，除非有人选了恰好小 1 的数，此时改为失去那么多生命。两人、按零和简化（脚注：加血与扣血的价值其实随双方血量变化）后的收益表（打出者视角）：

没有明显被占优的行或列。原书的方法是追踪最优反应链：对手知道我出 P1 就出 o5，我知道对手出 o5 就出 P4，对手再出 o3，我再出 P2……找到循环 o5→P4→o3→P2→o1→P6→o5，认为只有 o1、o3、o5、P2、P4、P6 有意义，于是在 3×3 子表上消元，得到对手 $o_1:o_3:o_5=10:12:7$（/29）、打出者 $p_2:p_4:p_6=43:32:12$（/87），卡的价值 $X=9/29\approx0.31$ 点生命——不到三分之一点，不算强。

原书问题（Game of Malkav 的解）：最优反应循环不能用来确定均衡策略的支撑集。用原书自己的混合策略检验：对手按 $10/29,12/29,7/29$ 出 o1/o3/o5 时，打出者改出被剔除的 P5，期望收益为 $(4\cdot10+2\cdot12+0\cdot7)/29=64/29\approx2.2$，远高于 9/29，所以原书的解不是均衡。本 wiki 对完整的 6×5 表做线性规划并用精确分数验证：博弈值为 $110/399\approx0.276$；打出者的一个最优策略是 P2 ≈ 45.0%、P3 ≈ 14.3%、P4 ≈ 32.0%、P6 ≈ 8.8%（$359/798,1/7,85/266,5/57$）；对手为 o2 ≈ 25.2%、o3 ≈ 28.1%、o4 ≈ 27.4%、o5 ≈ 19.3%（$67/266,16/57,73/266,11/57$），o1 不出。验证：对手按此策略时，P2/P3/P4/P6 的收益都正好是 110/399，P1 和 P5 更低；打出者按此策略时，o2–o5 都让打出者得 110/399，o1 让打出者得 1/3 更多。"这张卡价值不到三分之一点生命"的结论不变。另外原书回代时写"o1 = 0X/9"，与其后的 o1 = 10/29（$X=9/29$）不符，应为 $10X/9$。求解零和矩阵博弈的通用方法是线性规划（von Neumann 极小极大定理；例如 Dantzig, Linear Programming and Extensions, 1963, 第 13 章），比找循环更可靠。

三人石头剪刀布（p.628–632）

两队对抗时把每队当作一个玩家即可；混战则要考虑所有对手的组合，复杂度随人数暴涨：三人能手算，四人是多数人能接受的上限，六人各有不同选项和非对称收益时要找电脑和职业博弈论专家（脚注：游戏越复杂，人类越久才收敛到最优策略，此时测试与数据分析比数学证明更实用；另一个方案是简化机制）。

规则：三人出同一手或三手各不相同算平局；只出现两种手势时，每赢一人得 1 分、每输一人扣 1 分（零和）。普通三人版的解显然仍是 1:1:1，所以加上"石头赢算双倍"（等价于剪刀输算双倍）。从一名玩家看，把两个对手合在一起；对手组合有 9 种，rp、rs、ps 各有两种顺序：

原书列出 $R=-2rp+4rs-2p^2+4s^2=0$、$P=2r^2+2rp-4ps-2s^2=0$、$S=-4r^2-4rs+2p^2+2ps=0$，代入 $r=1-s-p$ 后得 $P=-2p-4s+2$，进而 $p=1-2s$，$20s^2-26s+6=0$，得 $s=0.3$，解为 $r:p:s=3:4:3$，比两人版的 1:2:1 更接近 1:1:1——原书推测三手各异时算平局，使剪刀在三人局中风险较小。

原书问题（三人版的解）：

1. P 方程中 ps 项应为 $2\times(-1)ps=-2ps$（表中 P 对 ps 为 −1），原书写成了 $2(-2ps)=-4ps$；即便按原书的方程，代入 $r=1-s-p$ 后也应是 $P=2-2p-4s-2ps$，原书漏掉了 $-2ps$。
2. 代入展开也有误：按正确的收益式，代入 $r=1-s-p$ 后应为 $R=-2p-2ps+4s$、$P=2-2p-4s-2ps$、$S=-2p^2-2ps+8p+4s-4$，原书的 $R=-4p^2+2ps-2p+4s$ 与 $S=2p^2-6ps+8p+4s-4$ 也对不上。
3. 检验：把原书的 $r=0.3,p=0.4,s=0.3$ 代回表格（用正确的收益式），$R=+0.16$，$P=0$，$S=-0.16$，三者并不相等，所以不是均衡（出石头严格更好）。
4. 正确方程（本 wiki 用 sympy 求解并验证 $rR+pP+sS\equiv0$ 的零和恒等式）的唯一合法解是 $r=s=\frac{\sqrt{17}-3}{4}\approx0.281$，$p=\frac{5-\sqrt{17}}{2}\approx0.438$。原书的定性结论成立：三人版比两人版的 0.25/0.5/0.25 更接近均分。

流程总结（p.632–633）

下图概括原书的求解流程（加上本 wiki 建议的最后一步复核），文字版见图后。

flowchart TD
    A["列收益表"] --> B["反复剔除被占优的行和列"]
    B --> C["追踪最优反应循环（原书方法）"]
    C --> D["列方程：同一玩家的可行选项收益相等，概率和为 1"]
    D --> E["三角化 / 代入 / 电子表格求解"]
    E --> F{"概率都在 0 到 1 之间且唯一？"}
    F -- "是" --> G["代回全表检验：被剔除的选项收益不能更高"]
    F -- "否" --> H["存在被占优选项或多个最优解，回到剔除步骤或求解范围"]

1. 列收益表；
2. 反复剔除被占优的选项（某行每一项都不优于另一行），行列都要做；
3. 从每个选项出发找最优反应循环，剔除不在任何循环中的选项；
4. 剩余选项列方程：同一玩家的收益相等；零和时各方收益之和为 0；对称零和时都为 0；每名玩家的概率之和为 1；
5. 求解。求出的 $X$ 是该玩家的期望得失，所有玩家的 $X$ 之和说明游戏是零和、正和还是负和；唯一且在 0–1 之间的概率就是最优比例，非对称游戏每个玩家各不相同；
6. 多于两人时，以一名玩家为参照，其余合并为一个"对手"：三人得到二次方程组，四人三次，五人四次……

本 wiki 的补充：第 3 步不是可靠的剔除规则（见 Game of Malkav），求得的解一定要代回全表检验每个被剔除选项的收益是否不高于 $X$；两人零和博弈直接用线性规划求解最稳妥。

原书还指出博弈论覆盖更多类型：轮流行动的游戏、可以谈判、威胁、协调的正和游戏等；推荐 Heap 与 Varoufakis 的《Game Theory: A Critical Text》作为入门。

说明：纳什均衡。原书脚注把纳什均衡描述为"收益表中对双方同样有利、玩家会被吸引并停留的位置"，并以囚徒困境为例。标准定义是：每个玩家都无法通过单方面改变策略而获益的策略组合（Nash, "Equilibrium Points in N-Person Games", PNAS 36(1):48–49, 1950）。它不要求"对双方同样有利"——囚徒困境的均衡（双方背叛）对双方都比合作差。本章求出的混合策略（如 1:1:1）本身就是纳什均衡。

练习要点（p.633–638）

• 讨论题：对新对手第一手出什么；石头剪刀布中运气与技巧各占多少；传递与非传递机制的区别（第 3 题）；同时含传递与非传递元素的游戏（第 4 题）；提出一两种新手势并分析其最优策略、判断是否值得加入（第 5、6 题）；石头、布、剪刀赢分分别为 $x,y,z$ 时先猜再算最优策略（第 7 题）；三人如何最高效地决定先手（奇偶数在两人时没有平局）；"一方石头赢双倍、另一方剪刀赢双倍"谁占优（第 9 题）；RPS 25、RPS 101 是改进还是更糟。（提取文本缺第 3、5、7 题，本 wiki 渲染 PDF 第 675 页核对补全。）
• 第 9 题的答案（本 wiki 用线性规划求解）：博弈值为 0，双方都不占优；石头加倍的一方应按 1:1:1 出，剪刀加倍的一方应按石头:布:剪刀 = 2:2:1 出。
• 支线 25.1：三人版改为"每赢一个对手 +1、每输一个 −1"后，石头/布/剪刀各一人不再是平局（石头 +1、布 0、剪刀 −1），重新求解。（本 wiki 用 sympy 求解：唯一合法解回到 $r:p:s=1:2:1$，与两人版相同。）
• 支线 25.2"街头格斗"：快攻 1 伤并克特殊技与投技，重击 2 伤并克快攻，特殊技 3 伤并克投技，投技 4 伤；先求 10 对 10 时的开局最优策略，再求 3 对 10 的非对称情况，终极挑战是求出全部血量组合的策略并写 AI 对战（原书脚注：灵感来自 Nathan Davis 未发表的项目）。
• 支线 25.3"五牌对决"（改编自《幻想水浒传 II》的小游戏）：双方各有 1–5 五张牌争夺随机翻开的 1–5 分牌，先到 8 分即胜。"对应出牌"打败随机出牌，"+1"打败对应，"+2"打败"+1"……"对应"又打败"+4"，五种策略构成非传递环；要求求出首轮的最优比例。（本 wiki 线性规划：博弈值 0，最优混合为"对应" 7/15、"+1" 1/5、"+2" 1/3，"+3""+4"不用；用原书表或下面更正后的表结果相同。）进阶挑战是写只看当前/历史分牌、双方比分和已出牌的电子表格 AI，要 100% 打败五种固定策略、过半打败随机；终极挑战是写尽可能强的 AI 互相对战。

原书问题（支线 25.3 收益表）：原书说明双方五轮都按同一策略出牌，表中数字是得分差。按此逐轮枚举，除"+2 对 +4"外各项都能复现；"+2 对 +4"应为 −5（+2 方赢 2、3 分牌共 5 分，+4 方赢 1、4、5 分牌共 10 分），原书写成 −10，对称位置的 +10 也应为 +5。这个错误不影响最优策略的支撑集和比例（本 wiki 计算，见上）。