描述统计与显著性检验

统计与概率（p.583–584）

原书开篇指出游戏平衡会触及其他领域：第 21 章伪随机数接近编程，第 20 章心理学引出职业伦理，第 11 章用关卡美术作为进度奖励；本章则借衡量玩家消费行为等，把游戏设计与商业连起来。

统计学并不是"冷冰冰的硬数据"，它很混乱，连专业统计学家对基本原则都有分歧。与概率一样，它不提供保证：统计可以说"有 95% 把握这些结果与公平 d6 一致"，这意味着仍有 5% 可能是错的；数据越多把握越大，但出错的可能永远不为零。数据分析如何落地到游戏平衡见 数据分析与平衡。

均值、中位数、标准差（p.584–588）

• 均值 $m=\frac{v_1+\dots+v_n}{n}$：实际数据的平均，期望值是理论上的平均，两者通常接近。
• 中位数：排序后取中间值（偶数个取中间两个的均值）。"总有一半人低于平均"说的是中位数。
• 两者对照才有信息量：均值远高于中位数 → 高端有少数极大值（原书例：美国家庭收入中位数 51,939 美元、均值 72,641 美元——收入难以远低于零，高端却有亿万富翁；游戏排行榜同理，少数高手刷出极高分）；中位数高于均值 → 低端有极小值拉低均值（全班 75–85 分，一个人零分）；两者接近 → 没有极端值，或两端极端值大致对称。
• 标准差：$SD=\sqrt{\frac{\sum(v_i-m)^2}{n}}$，表示数据有多分散；大约三分之二数据落在均值 ±1 SD 内，九成以上落在 ±2 SD 内（正态分布约 68% 与 95%）。SD 要相对均值来看：均值 50、SD 25 很分散，均值 5000、SD 25 很集中。例：1d11+1 与 2d6 范围都是 2–12，期望都是 7，但前者均匀分布、SD 约 3.2（原书写"约 3.3"，本 wiki 按 $\sqrt{(11^2-1)/12}=\sqrt{10}\approx3.16$ 算），±1 SD 是 4–10；2d6 的 SD 约 2.4，±1 SD 是 5–9。

案例：教程关时长（p.586–588）。目标 5 分钟；实测均值 5 分钟、中位数 6 分钟、SD 2 分钟。多数人 3–7 分钟，对线性教程来说范围偏大；中位数高于均值说明多数人超过 5 分钟（教程太长），而少数人飞快通过——可能找到了捷径或漏洞，或跳过了所有对话，之后可能因不懂核心机制而卡住；好消息是没人花几个小时（否则均值会远高于中位数）。三个数字就能发现问题，但不能说明原因：要列出所有可能解释，再收集能区分它们的数据（例如另外记录读对话的时间并重新测试）。还要注意样本量：只有三个测试者时这些数字几乎没有意义，几千次测试才可信。

离群值（p.588–589）

远离均值的点叫离群值 (outliers)，均值与中位数明显分离时多半是它们造成的。找常规玩法时应剔除（按定义它们不来自典型玩法）；找边界情况时要保留并重点关注（例如决定排行榜要显示几位数字，榜首全是离群值）。无论如何都值得追查原因：教程多数人 5–7 分钟而少数人 1–2 分钟 → 查捷径或漏洞；唯一一个人花了一小时 → 多半是暂停离开；好几个人都这样 → 可能把关卡当沙盒玩得开心，也可能根本没看懂某个基本机制却礼貌地没有退出——都值得知道。

统计显著性与 Z 检验（p.589–592）

改版前后或 A/B 测试后比较两组数据时，要判断差异是真实的还是随机波动——100d6 随机分成两组 50d6，均值和 SD 也会略有不同。永远无法完全确定；能做的是计算出错的概率，并设定显著性门槛：门槛太低会看到许多虚假趋势，太高则会忽略真实趋势。多数领域用 95% 置信度（最多 5% 出错可能），这是在结论正确率和实验成本之间的折中——要求一万名测试者，大多数开发者就什么结论也得不出。

Z 检验三步：

1. 标准误 $SE=\dfrac{SD}{\sqrt n}$；
2. $z=\dfrac{m_{\text{样本}}-m_{\text{总体}}}{SE}$；
3. 查表或在电子表格中用 NORMSDIST(z)，得到总体中随机一组数据低于样本均值的概率。

限制：必须已有既定均值作比较（比较两组数据时选一组当"既定"）；假设数据近似正态分布（比较两组 1d12 就不太合适）。

例：1000 人初测教程均值 300 秒、SD 120 秒；改版后 16 人复测均值 280 秒、SD 120 秒。$SE=120/\sqrt{16}=30$，$z=-20/30=-2/3$，NORMSDIST(-2/3) $=0.2525$。原书解读为"约 25% 可能是随机波动、约 75% 可能是改动起了作用"，结论是改动可能有效但未达显著；增加测试人数可以提高显著性。

观点分歧：p 值的含义

	原书	主流统计学
$\Phi(z)=0.25$ 表示什么	"25% 的可能是随机波动，75% 的可能是改动造成的"	0.25 是假设改动无效时，看到至少这么低均值的概率（单侧 p 值），它不是"改动无效"的概率；要得到后者需要先验，即贝叶斯分析
95% 显著性	已发表的研究"可能有多达 1/20 的结论是错的"	5% 是无效假设为真时的假阳性率；已发表结论的实际错误率取决于检验功效和先验比例，可能远高于 5%

依据：美国统计协会《关于统计显著性与 p 值的声明》（Wasserstein & Lazar, The American Statistician 70(2):129–133, 2016）原则 2："p 值不衡量所研究假设为真的概率，也不衡量数据仅由随机机会产生的概率"；Ioannidis, "Why Most Published Research Findings Are False", PLoS Medicine 2(8):e124, 2005。原书"未达显著、需要更多样本"的实际建议仍然成立。

相关（p.592–593）

用于判断两件事是否有关：某张卡是否与胜利相关、格斗游戏中角色与对局时长、跑团中哪些职业常一起组队。正相关同涨同跌，负相关此涨彼跌，说的是趋势而非绝对。相关系数在 −1 到 1 之间，电子表格用 CORREL(array1,array2)（两组数据须等长且一一对应）；±1 为完全相关，0 为不相关。由于噪声，强相关很少恰好 ±1，不相关也很少恰好 0。

常见错误（p.593–598）

马克·吐温推广了"谎言、该死的谎言和统计数字"这句话（他本人将其归于迪斯雷利，出处至今未明）——统计不是没用，而是不小心就会"骗"你。

频率学派与贝叶斯学派（p.597–598）

本书和多数教材用的是频率学派（期望值、显著性）；贝叶斯学派更接近人的直觉推理：找手机时不仅循声而去，还结合平时常在哪里打电话的经验，先搜索与声音方向一致的常去地点。例题：可能不公平的硬币抛 100 次得 71 正 29 反，下一次是反面的概率是多少？频率学派答 29%；贝叶斯学派把概率本身当作有分布的随机变量（要用到 Beta 函数和一点微积分），答案略有不同，原书认为在现实中可能更合理。

（本 wiki 补算：若先验取均匀分布 Beta(1,1)，后验为 Beta(30,72)，下一次反面的预测概率为 $30/102\approx29.4\%$，即拉普拉斯继承法则。）

练习要点（p.598–601）

• 讨论题 1 回到相关的四种解释（与 数据分析与平衡 第 13 章的四种根因对应）；第 2 题问概率与统计的区别（提取文本缺此题，本 wiki 渲染 PDF 第 639 页核对补全）；其余各题复习均值远低于中位数、均值与中位数几乎相等（有几种可能）、标准差、如何提高显著性、离群值、Z 检验的前提与不适用场合、为何要看原始数据。
• 支线 24.1"游戏中的性别"：行业女性比例低的五种解释（兴趣与文化、招聘信号劝退、无意识偏见、拒绝录用、纯属随机）各对应不同对策，要用统计辨别真正的问题。练习用 Z 检验判断工作室申请者中女性比例 10%（SD 5，5 年各一次招聘）与行业 15% 的差异是否显著；以及 100 名申请者中 20 名女性、10 名面试者中只有 1 名女性是否构成显著的筛选偏差（提示：把性别编码为 1/0 再算均值和 SD）。（本 wiki 按原书公式试算：申请者池 $SE=5/\sqrt5\approx2.24$，$z\approx-2.24$，$\Phi(z)\approx0.013$，达到 95% 显著；面试筛选样本均值 0.1、总体 SD 0.3，$SE\approx0.095$，与 20% 比较 $z\approx-1.05$，$\Phi\approx0.15$，不显著——十人样本太小。）
• 支线 24.2：《大达尔穆提 (The Great Dalmuti)》91 张牌（数字 $k$ 的牌有 $k$ 张，1–13）随机抽一张的均值、中位数、SD；简化版是面为 1,1,1,1,2,2,2,3,3,4 的 d10。（本 wiki 计算：91 张牌均值 9、中位数 10、SD $\sqrt{10}\approx3.16$；d10 均值 2、中位数 2、SD 1。）

原书问题：

1. 收入年份：51,939 美元与 72,641 美元是美国人口普查局公布的 2013 年家庭收入中位数与均值（报告 P60-249《Income and Poverty in the United States: 2013》，2014 年 9 月发布），原书写成"2014 年"；2014 年的中位数为 53,657 美元（报告 P60-252）。两者的结论（均值远高于中位数）一样。
2. 教程案例的自相矛盾：原书给出中位数 6 分钟、均值 5 分钟，并据此说"中位数高于均值"，但同一段末尾又写"我们不知道是什么导致中位数短于均值 (median to be shorter than the mean)"，方向写反了（p.587）。同页"我们会在下一章数据分析中回到这个概念"也不对：数据分析是第 13 章，在本章之前（本章开头自己就写了"In Chapter 13, we look specifically at analytics"）。
3. 大达尔穆提：原书设定为 1–13 各 $k$ 张、共 $1+\dots+13=91$ 张，本身自洽，可当作练习设定；但实物游戏是 80 张：1–12 各 $k$ 张（78 张）加 2 张按 13 计的小丑 (Jester)。

PBRT 的视角：在线方差估计（PBRT 4e B.2.11）

• 朴素公式的问题：样本方差可以由 $\sum X_i^2$ 与 $\bar X$ 一次遍历求出，但这两项可能很大且接近，相减时灾难性抵消，误差很大。
• Welford 算法（Welford 1962）：维护均值 $\bar X_n$ 与离差平方和 $S_n=\sum_{i\le n}(X_i-\bar X_n)^2$。书中把增量记作 $M_n=S_n-S_{n-1}$，可化为 $M_n=(X_n-\bar X_n)(X_n-\bar X_{n-1})$；每来一个样本，先更新 $\bar X_n=\bar X_{n-1}+(X_n-\bar X_{n-1})/n$，再令 $S_n=S_{n-1}+M_n$，方差为 $S_n/(n-1)$。pbrt 的 VarianceEstimator 实现它，Merge() 用 Chan 等（1979）的公式合并两个估计器（适合每个线程各自统计后汇总）。
• 原书问题（以下公式均经网页 SVG 字形解码核实）：
  1. 朴素公式印作 $\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n X_i^2-\bar X^2\right)$，漏了因子 $n$，应为 $\frac{1}{n-1}\left(\sum X_i^2-n\bar X^2\right)$。笔者用 1000 个 $N(3,2^2)$ 样本数值验证：两遍法方差 3.7468，按书中公式得 12.824，加上 $n$ 后得 3.7468。
  2. Welford 更新印作 $M_n=(X_n-\bar X_n)(X_i-\bar X_{n-1})$：（式 B.18）：下标 $X_i$ 应为 $X_n$（这里 $i$ 没有定义，推导只涉及第 $n$ 个样本）。同一组样本按 $X_n$ 递推得 3.7468，与两遍法一致。