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独立随机与骰子概率

Independent Randomness & Dice Probability

更新于 2026-10-12 约 12 分钟概率骰子独立事件赔率期望值蒙特卡洛大数定律排列

Schreiber 与 Romero 第 17 章（第二部分"平衡的数学"首章）讲独立随机：骰子记法与等价随机器、概率/赔率/机会三个词的区别、用计数求概率、乘法与加法法则、取反、期望值、排列、大数定律，并用 Kill the Elf、50d6 赛马、Pig 与 TCG 稀有度四个案例说明短期波动与"稀有"陷阱（p.431–454）。

确定性与非确定性（p.431–432）

确定性机制相同输入必得相同输出：《吃豆人》因此能靠背路线完美通关；《吃豆人小姐》给幽灵移动加入随机，路线不再每次奏效。很多随机性反直觉（第 20 章详述），算概率时很容易自信地得出错误答案。

骰子与独立性（p.432–434）

记法：dN 表示 N 面骰，前缀表示个数、后缀加常数——2d6（大富翁、双陆棋移动）、d6+1（2–7 等概率），由《龙与地下城》推广。原书脚注：新手设计师过度使用 d6 只因熟悉；人没有六根手指、不用六进制、6 也不能整除 100，d6 流行只因立方体最便宜好造，这对桌游有意义，对电子游戏几乎无关。
等价随机器：转盘、写了数字的铅笔、硬币（d2）、陀螺 dreidel（d4）及任意面数的 teetotum、轮盘（0–36 为 d37，加 00 为 d38）、计算机生成的 dN——平衡视角下都等价，本书的"骰子"泛指等概率产生 1 到 N 整数的随机器。
期望值：各面之和除以面数，d6 为 3.5。自定义骰（1,1,1,2,2,3）均值 $5/3$ ，掷三颗平均 5，可据此平衡。
独立：每次掷骰不受过去或未来影响。连出三个 4 后下一次仍是 1/6——既不"手热"，也不"该换别的了"。脚注：若连出二十个 4，第二十一次出 4 的概率其实很高——这种连串极不可能，说明骰子多半被做了手脚；概率题默认公平骰子。

概率、赔率与机会（p.434–435）

概率 (probability)：0–1 之间的数（小数、分数或百分数），算出负数或大于 1 必有错。
赔率 (odds)：发生次数与不发生次数之比，d4 出 1 为"1:3"或"3:1 against"。不直观，多见于赌博的赔付：21 点普通赢 1:1，黑杰克 3:2（押 2 美元得 3 美元）。赌场偏爱赔率正因不直观，显得更公平；脚注：赔付永远低于真实赔率，差额就是赌场的期望利润，用赔率表达概率时要说明是真实赔率还是赔付。
机会 (chance)：定性描述（高/低），不带数字。

计算独立概率（p.435–443）

基本方法是计数：满足条件的结果数 ÷ 全部结果数（3 个出口、20 条死路随机选， $3/23\approx13\%$ ；d8 掷 3 以下 $3/8$ ）。

技巧	原书例子
枚举表	2d6 和为偶数：36 种中 18 种，50%。注意 (1,3) 与 (3,1) 是不同结果（想象一红一蓝）
结果太多时写代码或用电子表格模拟	8d6 和 ≥ 15 有 $6^8=1{,}679{,}616$ 种结果；在表格里用 `=RANDBETWEEN(1,6)` 或 `=FLOOR(RAND()6,1)+1` 生成几千行求近似——这就是蒙特卡洛模拟*。原书把"多骰求和"称为"相依掷骰"：一颗骰子的结果改变了其他骰子需要的点数
独立事件同时发生：相乘	依次需要 2+、3+、4+、5+、6： $\frac56\cdot\frac46\cdot\frac36\cdot\frac26\cdot\frac16=\frac{120}{7776}\approx1.54\%$
取反	4d4 至少一个 4：全不是 4 的概率 $(3/4)^4=81/256\approx31.6\%$ ，所以 $175/256\approx68.4\%$
不要把独立概率相加	两枚硬币都正面是 25% 而非 100%；至少一个正面是 $1-25\%=75\%$
互斥结果"或"：相加；有重叠要减去交集	d4 出 2 或 3 相加即可；d10 出 1–5 或奇数： $50\%+50\%-30\%=70\%$ 。所有互斥结果之和必为 1，否则算错了

期望值：每个结果乘以其概率再求和。原书转盘：5 个 60° 大扇区（+1…+5，各 1/6）与 5 个 12° 小扇区（0、−5、−10、+10、+20，各 1/30），期望恰为 3。也适用于等概率但收益不同的"头奖"：桌游 Lords of Vegas 的押注掷 2d6，5–8 输、2 与 12 赢 2:1、其余赢 1:1。赢的概率 16/36，36 次各押 1 美元期望赢 18、输 20，净亏 2，即每押 1 美元期望 $(-1)\frac{20}{36}+1\cdot\frac{14}{36}+2\cdot\frac{2}{36}=-\frac{1}{18}$ （约 −5.6 美分）——只在潜在收益值得冒险时才押。概率容易算错，最好同时做精确计算和蒙特卡洛模拟互相核对。

排列：Farkle 开局掷 6d6 得到 1-2-3-4-5-6 的方式有 $6!=720$ 种，全部结果 $6^6=46{,}656$ 种，概率约 1.5%——短期内几乎从不恰好按均匀分布出现，所以这个奖励分数很高。

大数定律（p.444–445）

"骰子没有记忆"与"掷得多会趋于平均"并不矛盾：一段连串不会"迫使"之后回归，只是在成千上万次中被淹没。而且看似不太可能的小连串在大量投掷中几乎必然出现——掷几万次 d12，某个点数连出五次相当可能。经典论坛投诉："连杀四只怪掉了同一件 10% 的装备，随机数一定坏了！"单人概率 $1/10^4$ ，但 10 万日活中一半人去打怪，每天约 5 次。原书脚注：这也是为什么每隔几周就有人中彩票，却从来不是你——买的人够多，总有人幸运；而你个人的期望值永远不值得买。

案例（p.445–449）

随机 vs 确定（Kill the Elf）：James Ernest 在 GenCon 2012 演讲《Volatility in Game Design》中设计的小游戏：先对精灵造成 6 点伤害者胜；战士每回合稳定 1 点，法师掷 d6，出 6 造成 6 点、否则 0。两者期望都是每回合 1 点，但法师前五次至少出一个 6 就赢（未出的概率 $(5/6)^5\approx40.1\%$ ），第六次出 6 则平局（ $\approx6.7\%$ ），战士只赢约 33.5%。期望相同不等于胜率相同——短期内法师占优。缩短到 4 点或拉长到 10 点都更接近公平，目标越大法师越趋于期望值。按原书规则计算（本库补充，对应支线 17.2）：到 4 点时法师约 42.1%、战士约 48.2%、平局约 9.6%；到 10 点时法师约 45.7%、战士约 48.5%、平局约 5.8%。
赛马（50d6）：两人各逐颗掷 50d6 比总和，第一颗一人出 6、一人出 1，相当于 49d6+6 对 49d6+1。49 次后双方总和很接近，5 点领先足以在相当比例的情况下决定胜负。教训：重运气游戏中开局的一点运气可能主导全局；若不希望开局幸运者一路领先，加入负反馈（见反馈回路）。原书称落后方胜率约 25%，精确计算约为 37%（见下方原书问题）。
Pig：传统押运气骰子游戏，先到 100 分胜；每回合反复掷 d6，可随时停下把本回合累计计入总分，掷出 1 则本回合清零并交出骰子。本回合已有 $X$ 分时再掷一次的期望为 $\frac{2+3+4+5+6-X}{6}=\frac{20-X}{6}$ ：19 分及以下继续、21 分及以上停、20 分无差别——最大化长期得分。但赢棋策略更细：对手已有 98 分、你开局 78 分并累计到 21 分时，停下得 99 分，对手下回合 5/6 直接获胜；再掷一次则你有 5/6 当场获胜，应该继续。一般原则：落后时多冒险（与领先者保持同步多半会输，如赛马例），领先时少冒险。
TCG 稀有度：某在线 CCG 主系列有普通 37 张、非普通 90 张、稀有 62 张、极稀有 7 张；每包 15 张：11 普通、3 非普通、1 稀有（25% 换成极稀有）。每 1000 包中每张特定卡的期望数量：普通 $11/37\times1000\approx297.3$ 、非普通 $3/90\times1000\approx33.3$ 、稀有 $0.75/62\times1000\approx12.1$ 、极稀有 $0.25/7\times1000\approx35.7$ 。"极稀有"单卡比每张稀有卡多约三倍，甚至比每张非普通卡还多——因为极稀有的种类很少。教训：多个独立事件须同时发生时概率相乘；凡是"先抽稀有度、再从该档随机选一件"的卡牌、事件、掉落系统，都要核对更稀有的东西是否真的更稀有（稀有度与元游戏的关系见元游戏）。

本章小结中的规则（p.449–450）

规则	例子（d8）
概率 = 满足条件的方式数 ÷ 所有方式数，范围 0–1	出 2：1/8
互斥事件 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$	出 2 或 3：2/8
有重叠时 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$	小于 4 或奇数： $3/8+4/8-2/8=5/8$
独立事件 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$	连续两次出 2：1/64
$P(\bar A)=1-P(A)$	不出 2：7/8
期望值 $=\sum x_i p_i$	面为 2,3,5,7 的 d4：17/4；若 7 出现概率是其他面两倍：24/5

课后练习要点（p.450–454）

讨论题涉及概率与赔率的区别、蒙特卡洛模拟、确定性与非确定性、独立与相依掷骰、10d12+7 的最小/最大/平均值，以及稀有度如何影响拥有欲。支线：17.1 25% 的事连败十次的概率（ $0.75^{10}\approx5.6\%$ ，本库计算）——是倒霉还是随机数有问题；17.2 Kill the Elf 到 4 点、10 点的精确胜率并用蒙特卡洛核对；17.3 用表格模拟 50d6 赛马；17.4 为 Pig 写只看"我方总分、对手总分、本回合累计"的 AI 并举行比赛；17.5 "惊人的 +1"：双方 d6 加战斗加值、平局重掷，求 +4 战士对 +3/+2/+1/+0 敌人的胜率（提示：忽略平局，胜率 ÷（胜率 + 败率））；17.6 酒馆 4d8 押数字游戏（命中 1/2/3/4 颗分别赔 1:1、2:1、3:1、100:1）的期望；17.7 六色龙蛋集齐问题（6 次即集齐的概率与平均所需次数）；17.8 三层 20 格掉落表（普通→稀有→史诗）中得到任意史诗与特定史诗的概率。

原书问题

位置	问题	核对
p.446 赛马	称第一颗掷出 1 的玩家"只有约 25% 的胜率"	精确卷积计算 49d6+1 对 49d6+6：落后方胜约 37.3%、平局约 2.3%、领先方胜约 60.5%。正态近似亦然：差值标准差 $\sqrt{98\times35/12}\approx16.9$ ， $P(Z>5.5/16.9)\approx37\%$ 。结论"开局一点运气影响很大"仍成立，但数字偏小
p.448 稀有度	称特定普通卡出现在一包中的"chance"为 $11/37\approx30\%$ ，并说"since each card is determined independently"	$11/37$ 是每包该卡的期望张数；若各槽独立抽取，一包中至少有一张的概率是 $1-(36/37)^{11}\approx26.0\%$ 。后文按期望张数比较各稀有度，结论不受影响

数值核对： $6^8=1{,}679{,}616$ ✓； $120/7776\approx1.54\%$ ✓； $175/256\approx68.4\%$ ✓；转盘期望 3 ✓；Lords of Vegas $-1/18$ ✓； $720/46656\approx1.54\%$ ✓；Kill the Elf $(5/6)^5\approx40.2\%$ ✓。

与其他书的对照

主题	已有观点	Schreiber & Romero
基础概率规则	Schell 在概率与期望值中用德·梅雷骑士问题引出"十条概率规则"（第 6 条把乘法条件写成"不互斥"，本库已记为原书问题）	明确乘法法则适用于独立事件，并补充有重叠事件的加法公式、排列计数与蒙特卡洛核对
随机性的作用	Adams & Dormans 在同页指出随机性与涌现的区别	用 Kill the Elf 与赛马说明期望相同不等于胜率相同、开局运气会被放大

出处

Game_Balance_-_Ian_Schreiber_Brenda_Romero.pdf
Ian Schreiber & Brenda Romero《Game Balance》第 1 版（CRC Press, 2022, ISBN 978-1-4987-9957-7）第 17 章 Independent Randomness（印刷页 p.431–454）