成本曲线与支撑数学

传递数据与成本曲线（p.157–160）

"一分钱一分货"（Brenda 的母亲）是传递性的标志（见 传递性与非传递性）。"数据"指构成一个对象的全部数字（如怪物 2000 HP、每击 60–80、每回合一到两击、87 AC），它们经过系统中的机制产生传递性结果。传递数据无处不在：RPG 商店物品与等级、带升级的 FPS（《生化奇兵》《无主之地》）、模拟游戏（《模拟人生》《模拟城市》）、塔防升级、TCG 费用、街机计分、职业体育薪资，乃至现实中的价格。

对传递数据，理想的锚点往往就是获取它所需的资源（钱、金币、法力、经验）——这是第 5 章胜负条件之外的"第三种锚点"（见 平衡锚点与数值粒度）。300 美元的剑伤害翻倍，就应约 600 美元。

成本与收益：成本包括获取资源，也包括一切缺点与限制；收益是想要它的理由。有些属性是灰色地带（对龙双倍伤害＝收益，还是对其他敌人只有普通伤害＝限制？射速慢但伤害高？）——怎么归类无所谓，只要同类对象的总和平衡。

四种建曲线的思路（p.160–162）

收益高于曲线对应成本的对象叫曲线之上（玩家俗称 OP，但有时它不是太强而是太便宜）；低于的叫曲线之下（"underpowered"，却没有"UP"这种缩写）。修正方法：降收益、提成本或提稀有度；先问"我更想保留成本还是保留收益"，改不在乎的那一项（效果很有趣的卡只改费用；零费都太弱的东西必须加强）。PvE 中略超模的剑影响不大，玩家只会领先到内容追上其能力为止。

刻意的尖峰与低谷（p.163–164）

成本曲线应是仆人而非主人。PvE 中完全规则的进程意味着恒定、可预测、无聊——偶尔的神器和能把你打趴的怪物制造难忘时刻（第 12 章），但不能强到让玩家一路碾压或卡关太久。若一切都正好在曲线上，数学上平衡，玩家却会觉得选择不重要；故意放一些略高或略低于曲线的东西，让社区有"寻宝"、排强度榜 (tier list) 的乐趣，也让冷门选择偶尔爆冷。（与 平衡锚点与数值粒度 的"尖峰"一致。）

支撑数学（p.164–165）

把每个属性、特殊能力、机制换算成锚点：例如 +1 伤害收益 5、元素攻击各 40、再生 100、"仅限某职业"打 75 折、给持有者附加元素弱点 −20。好处：新物品可直接算价，同事或旧版本的物品可直接核对，扩展包设计变快。代价：前期工作量巨大（每种效果都要靠试错、试玩或数据定价），平衡的大部分成本是预付的。

PvE：用表格"建造"曲线（p.165–167）

• 例 1：一把 36–50 伤害、每秒 2 击的剑——每点伤害价值 200，平均伤害 43 → 8,600；每秒每多 1 击乘 5 → 43,000（乘法或加法都行，只要一致；玩家看不到公式，但感觉得到模式）。
• 例 2：每 HP 价值 10、每件伤害 +25%、带暴击的武器贵 5%，成本 = 平均伤害 × 10 ×（暴击则 1.05）：

按顺序画出成本列，忍者锤明显偏离曲线；可降低伤害、提高稀有度或限定忍者使用。整张物品表通常就是这样建出来的。

PvP：恒等曲线 + 非线性的资源换算（p.167–168）

资源成本与收益不成线性时（RPG 中后期每场金币更多，价格相对属性指数增长；CCG 后期卡的效果增长远快于费用），把资源成本本身按非线性换算成"点数"，曲线仍保持恒等。例：简易 MOBA 中金币成本按三角数换点（1 金 = 1 点、3 金 = 2 点、6 金 = 3 点……），+1 攻击 = 1 点。于是"+4 攻击、6 金"= 4 − 3 = 高于曲线 1 点——若改为"1 金 1 点 + 三角形曲线"，6 点成本对 4 点收益乍看像在曲线之下，实则在上面，不直观。

建立支撑数学的步骤（p.168–169）

1. 列出所有成本与收益；
2. 确定资源成本的价值（任意数值关系）；
3. 确定几乎每个对象都有的最常见收益的价值；
4. 逐步推进到稀有、复杂的东西。

需要判断的问题：多重加成的单件物品比分开的几件更值钱（装备栏有限、手牌占位是机会成本）还是更不值（加成情境化或互相冲突）？50% 触发的收益是否正好值一半——需要稳定计划的游戏里不到一半，有大量操控抛硬币效果的游戏里多于一半。半利半弊的效果按净值当作收益或成本即可，曲线为恒等时负收益等于成本。

新游戏（p.169–174）

既有游戏有既有曲线；原创性越强，未试过的收益越难定价。建议：用公式生成数字、引用表格中的成本单元格——发现某条公式不对时只改一处再向下填充；别为第一版数字纠结，保持一致与公式化（例如"复活角色一律加价 10%"），数字一定会错，谁都一样；尽快做出可玩版本并大量测试，记录没采用的方案以备后用；研究别的游戏的曲线，但不要照抄（可能不适用，甚至有人因此被起诉并败诉）。玩家口味也在变：《血源》《黑暗之魂》的受虐向平衡在 1980 年代初很常见，但并非一直流行。

Micro TCG 例（作者之一专门设计）：双方各 10 张牌、10 点生命，每回合同时暗出一张，揭示时各自失去等于该牌费用 (Cost) 的生命；比较力量 (Strength)，低者弃掉、平局都留；留下的牌对对手造成伤害 (Damage)；生命归零即输。推导：

• 费用：每点必失 1 生命 → 以生命为锚点；
• 规定力量与伤害在整套牌中都均匀分布于 1–5（平均伤害 3）；
• 力量 $S$ 消灭对手牌的概率 $(S-1)/5$，自己存活的概率 $S/5$；

$V = \frac{S-1}{5}\cdot 3 + \frac{S}{5}\cdot D - (C + 3)$

（末项 +3 是"未被阻止时对手的平均来袭伤害"；漏掉它时四张牌全都"超模"，是作者演示的第一个错误。）

（全部按公式验算无误。）之后可以用同样方法为治疗、平局获胜、被消灭仍造成伤害等特殊能力定价（作者提供的扩展材料见 bit.ly/AlgebraNotMagic）。

反推已发售游戏的成本曲线（p.174–188）

为什么要反推：为扩展包或收购后重启的老 IP 重建原始数学、找出超模与弱势对象（其中有些是刻意的尖峰；暴雪游戏因资料丰富而尖峰明显）。竞技玩家也会自建模型找优势——书中举例：职业《雷神之锤》选手 Koopa（爱尔兰的 Sam Singh）带自己的 CRT 显示器参赛，并当场用并排视频证明它比同机 LCD 更利于准星时机。也可先参考社区的攻略、强度榜和他们推出的数学。

以《万智牌》为例的直觉推导（作者强调只是分析示范，实际曲线随扩展而异）：

1. 地牌节奏：每回合最多下 1 地，60 张牌约 20 地（1/3）。先手到第 3 回合共摸 9 张，期望 3 地；第 4 地在第 4–6 回合摸到，平均在第 5 回合；此后约每 3 回合一张（第 5 地第 8 回合、第 6 地第 11 回合）。因此前三点法力价值恒定，第 4 点更值钱，之后更贵：

2. 有色法力：单色牌组的弱点会被对手利用，三色以上则多个同色需求要很晚才能满足，所以竞技多为双色（各 10 地）——要摸约 2 张地才有 1 张指定颜色，有色法力按无色的 2 倍计价：1 色 = 2、2 色 = 5、3 色 = 11、3+N 色 = 11 + 6N。
3. 解方程：每张卡是一条"成本 = 收益"的方程。先找只有一个未知数的卡（已知 W2 = 5、身材值 4，则其唯一异能 = 1）；没有时找"白板"生物（只有费用与攻防）解联立方程，或找只差一处的两张卡相减：B2 的 3/2 与 B3 的 4/2 → 1 点无色 = +1 力量；W 的 2/1 与 W1 的 2/2 → 1 点无色 = +1 防御。
4. 数据互相矛盾时：11 个白板生物（W 2/1、W1 2/2、W4 3/5、U1 1/3、U4 2/5、B2 3/2、B3 4/2、R1 2/1、R3 3/3、G1 2/2、G4 5/4）大多满足"攻 + 防 = 总费用 + 2"，例外是 R1（在曲线下）、W4/U4/G4（三张五费三个结果）。可能原因：设计者故意高于或低于曲线；颜色并不等价（绿色生物大、蓝色工具多）；元游戏因素（红色有给弱生物加成的法术）；稀有度更高的卡更强。五费取平均 8，并假设"到达五费"本身是额外劣势再补 1 点。
5. 关键词能力：W1 2/1 飞行、B1 2/1 系命、W2 2/2 飞行、B2 2/2 沼泽行者、R3 3/2 敏捷、W3 3/2 飞行 → 这些能力各值 1（不知道它们是什么也能算）。U3 2/4 飞行明显超模；G3 2/4 延势 (Reach) 看似白给——知道规则后，延势只是飞行的"防守一半"，约值 ½，但费用不能是分数，设计者选择让它略超。G 0/3 守军 (Defender) + 延势 → 守军 = −1（不能攻击，是成本）。

推导出的暂定支撑数学（并逐卡验算）：

据此：WW2 2/3 飞行先攻低于曲线 1（应为 2/4 或 3/3）；WW3 4/4 飞行警戒正好平衡，而另一张 WW3 5/5 飞行先攻系命 + 两种保护高出 $3 + X + Y$（应为 WW4 或 WWW2）；GG4 6/4 践踏低 1（应为 7/4 或 6/5）；GG3 3/5 死触推出死触 = 2——死触能在战斗中直接消灭对方生物，值这个价。 6. 用真实数据验证：模型判为极强的卡是否常见于强度榜、锦标赛牌表、二手市场高价？若一组被高估的卡共享某个能力，说明该能力定价过高；若一组"低于曲线"的卡却常见于冠军牌组且都有多个能力，可能是模型简单相加而忽略了协同。

电子游戏数据量更大，反推需靠表格公式批量处理；建议找网上的物品表练习。

flowchart TD
  A["收集对象数据 (费用/属性/能力)"] --> B["找只有一个未知数的对象"]
  B -->|"没有"| C["白板对象联立 / 只差一处的两件相减"]
  B -->|"有"| D["解出该项价值"]
  C --> D
  D --> E["代入其他对象 → 新的单未知数"]
  E --> F{"出现矛盾?"}
  F -->|"是"| G["考虑: 故意超模/颜色不等价/元游戏/稀有度"]
  F -->|"否"| H["汇总支撑数学"]
  G --> H
  H --> I["用强度榜/冠军牌组/市场价验证"]
  I -->|"偏差有共性"| D

F2P 中的成本曲线（p.189）

以餐厅游戏为例：前两天玩家要什么有什么，物品恰在曲线上，目标是次日留存与会话时长；第三天节奏改变，同样努力从三星变一星——商店物品仍按曲线定价，但游戏压力本身高于曲线，玩家平均总是差一点，要么付费、要么靠技术硬刷、要么离开。"东西不在曲线上也不在曲线下，而是按能变现的方式定价。"（另见 游戏经济系统 的 F2P 定价。）

六条成本曲线准则（p.190–191）

1. 受限的收益永远不是负的——即使"对龙额外伤害"而游戏里忘了放龙，也只是 0。
2. 二选一的价值不低于其中较贵的那个——多一个用不上的选项最坏也是 0（"无用或收益 5"二选一 = 5）；但要让选择有趣，两者价值应接近。
3. 一次只确定一个未知数——像科学家一样控制变量；同时带飞行与先攻的卡算不出各自价值，也算不出组合加成。
4. 拿不准时宁弱勿强——远低于曲线的东西只是没人用；远高于曲线的东西人人用，把其他平衡的东西都挤出去，毁掉整个游戏的平衡。
5. 测试、迭代、再测试。
6. 强度膨胀 (power creep/power inflation) 不可避免：持续推出扩展的游戏，新内容必须对标旧版本中最强的对象才有吸引力，其中又有些略超新曲线，循环往复；庞大而熟练的玩家群会让任何微小优势浮到顶端，并把"最强中的最强"当作真正的曲线。好处是迫使玩家购买新内容、曾被禁的强卡可能回归；坏处是玩家若认为设计者故意抬高强度逼人消费，就会离开（另见 游戏经济系统 中 TCG 强度通胀练习）。

与其他书的对照

原书问题

• p.166 表中忍者锤（18–100、5% 暴击）标价 500，但按同页所述公式（平均伤害 × 每 HP 10 × 暴击 1.05）应为 $59 \times 10 \times 1.05 = 619.5$；其余各行均与公式吻合（已逐行验算）。不影响"它是离群点"的结论。
• p.177 称三色牌组中"GG 的牌平均到第 8 回合才能打出"。按本章自己的地牌节奏（第 3、5、8、11 回合分别有第 3–6 张地），三色各占 1/3 时凑齐两张绿地的期望约需 6 张地，即约第 11 回合；第 8 回合只有约 5 张地（期望绿地 5/3 < 2）。
• p.193 练习 8.2 写"匕首每击 1 伤、每秒 2 击、命中 100%，DPS = 1 * 0.5 * 100% = 2"；表中给的是"每击耗时 0.5 秒"，应为 $1 \div 0.5 \times 100\% = 2$。
• p.178 方程 "3m + 1w = …；3m = 3；w = 2" 把三点法力（含一点白）都记作 m 又另加 w，记号与后文"基础 1 + 无色 + 有色"的体系不一致（结果 5 本身正确）。