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# 蒙特卡洛

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图形学蒙特卡洛积分与重要性采样Monte Carlo Integration & Importance Sampling渲染方程里的半球积分没有闭式解，只能数值积分。蒙特卡洛积分在定义域里随机取样、按概率密度加权求平均，期望值正好等于积分真值，误差随样本数 N 按 1/\sqrt{N} 下降，而且与积分维数无关，所以成了光线追踪类渲染的数学基础。降低误差的主要手段是让采样分布接近被积函数的形状，也就是重要性采样（GEA4 卷 II 12.6.2、12.6.4）。游戏数学零散射与透射率估计Null Scattering & Transmittance Estimation透射率 Tr=e^{-\tau} 在非均匀介质里没有解析解。直接估计光学厚度 \tau 再取指数会因 Jensen 不等式产生偏差；零散射 (null scattering) 用一个常数上界（majorant）\sigma{maj} 把介质"填满"成均匀介质，得到可无偏采样的积分方程，由此推出 next-flight、比率追踪 (ratio tracking) 和 delta 追踪 (delta tracking) 等估计器。本页对应 PBRT 4e 11.2 与 11.4.3。游戏策划概率与期望值Chance & Expected Value机会 (chance) 是 Schell 七类机制的最后一类（第 3 版第 12 章 Mechanic 7: Chance；第 1 版为第 10 章、六类中的第六类），涉及其他五类之间的交互：机会意味着不确定，不确定意味着惊喜，而惊喜是乐趣的秘密成分。设计师要掌握十条概率规则、会算期望值 (expected value)，并同时考虑实际概率与玩家的感知概率，以及技能与运气的五种纠缠（第 10 章）。游戏策划模拟试玩与人工玩家Simulated Playtests & Artificial Players简单的赌博游戏（21 点、轮盘）可以直接算胜率；复杂而带随机的游戏必须玩很多次才知道是否平衡。Machinations 工具提供人工玩家 (Artificial Player, AP)：用简单脚本代替人点击节点，配合快速运行与批量运行收集上千局统计。Adams & Dormans 用它做了两个完整案例：给两人版《大富翁》加入房屋与房产税（动态摩擦）来遏制动态引擎；给 Will Wright 的假想 RTS SimWar 调参，使"乌龟流"与"速攻流"从 929:68 调到 500:500。核心纪律：人工玩家要做成始终坚持一种策略的漫画式角色；调机制，不调人工玩家；一次只改一处并先大幅改动。游戏策划独立随机与骰子概率Independent Randomness & Dice ProbabilitySchreiber 与 Romero 第 17 章（第二部分"平衡的数学"首章）讲独立随机：骰子记法与等价随机器、概率/赔率/机会三个词的区别、用计数求概率、乘法与加法法则、取反、期望值、排列、大数定律，并用 Kill the Elf、50d6 赛马、Pig 与 TCG 稀有度四个案例说明短期波动与"稀有"陷阱（p.431–454）。游戏策划电子表格中的随机模拟与矩阵求解Spreadsheet Simulation & Matrix Solving《Game Balance》第三部分里与"算概率、做模拟"有关的四章：第 31 章随机、统计与条件函数及"穷举还是蒙特卡洛"，第 32 章洗牌与加权掉落表，第 35 章用迭代计算或逐行展开做逐回合模拟，第 37 章在表格里跑马尔可夫链、解收益矩阵和用规划求解。表格的布局、格式与组织规范见电子表格平衡技法；本页对照原书逐段核对，并标出已过时或有误的说法。