评分、排名与赛制

Schreiber 与 Romero 第 14 章讨论包在单局游戏外面的元游戏系统：区分排名 (rank) 与评分 (rating)，逐个分析 Harkness、Elo、Glicko、TrueSkill、在线 MMR 与大师分；列出评分系统的常见问题（抑制活跃、运气、匹配漏洞、通胀通缩、平局、多人、掉线、作弊）、把评分看作胜负预测并加以检验；再讲排名系统的设计旋钮（以《炉石传说》为例）、循环赛/淘汰赛/瑞士制/联赛等赛制，以及 F2P 竞技游戏的元游戏奖励（p.359–395）。

排名与评分（p.359–360）

• 排名 (rank) 是序数：第 1 名强于所有人，第 2 名仅次于第 1 名……只表示相对次序，不表示差距大小。排行榜、天梯都是排名系统。
• 评分 (rating) 是代表玩家某种绝对属性（通常是技术）的数值，两人评分之差有实际意义。最知名的评分系统是 Elo。

评分系统（p.360–367）

Harkness（国际象棋 Elo 之前的系统）：赛后新评分只取决于本次赛事——对手平均分为 $R$，战绩正好五五开则新分为 $R$；比 50% 高 $P$ 个百分点为 $R+10P$，低则 $R-10P$。原书例：原分 1800，对手 1500、1700、1750、1900、1950（平均 1760），3 胜 1 负 1 和（胜 1、和 0.5、负 0）得 3.5/5 = 70%，$P=20$，新分 $1760+200=1960$，与原分无关。缺陷：分数大起大落；新分必在对手平均分 ±500 以内，混进大师赛的新手哪怕全输也会拿到很高的分。

Elo：以原分为基线，赢强者涨得多、赢弱者涨得少，输给强者扣得少、输给弱者扣得多。两步：

$E=\frac{1}{1+10^{(R_{opp}-R_{player})/400}},\qquad R_{new}=R_{old}+K(A-E)$

$E$ 是期望胜场（单局即胜率，取值 0–1），$A$ 是实际得分（胜 1、负 0）。

• 400 基本是审美选择，决定粒度：Elo 希望相差 200 分时强者期望胜率约 0.75，公式实际给出 0.7597。
• 双方 $E$ 之和为 1：令 $Q=10^{R/400}$，则 $E=Q_{player}/(Q_{player}+Q_{opp})$。
• $K$ 是单局最大涨跌，衡量不确定性；原书脚注：常见做法是定级期 $K=32$、打满一定局数后 $K=16$，有的实现对高分玩家再降 $K$；没有公认值，$K$ 太低响应慢、太高则评分被最近几局支配。
• 可按单局或整个赛事计算：把各局 $E$ 相加与总得分比较。原书例：$E$ 分别为 0.2、0.5、0.6，赢 2 局，变化 $K(2.0-1.3)=0.7K$，$K=16$ 时 +11.2（只允许整数则记 11）。
• 因为涨跌相对于对手，存在实际上下限：从 1000 起步的系统里出现 5000 分基本不可能，模拟里看到 7724 多半是 bug。
• 平局按半胜计算：弱者逼和会涨分，强者被逼和会小幅掉分。
• 局限：假设纯技术（无限强者胜率趋近 100%，有运气成分的游戏不成立）；平局等于半胜未必合理（弱者容易求和时）；只适用于两人对局。

Glicko（Mark Glickman）：可理解为"每个玩家有自己可变 $K$ 的 Elo"。每人有评分偏差 RD：每局后下降，长时间不玩则缓慢上升；评分可显示为 $R\pm 2RD$，约 95% 的玩家真实水平落在此区间。数学与心理的冲突：常玩使 RD 很小、评分几乎不动，让人觉得输赢无所谓，甚至要故意停玩一阵把 RD 养回来才能涨分——等于惩罚常玩；Glickman 本人建议实际实现设 RD 下限（如 30）。

TrueSkill（微软）：每人有均值 $\mu$ 与标准差 $\sigma$（正态分布）。赢则 $\mu$ 必升、输则必降，幅度取决于双方 $\sigma$ 之比（高 $\sigma$ 玩家遇到低 $\sigma$ 对手获得的信息多、变动大，反之变动小）和 $\mu$ 之差（爆冷变动大）。主要创新是显式支持多人：混战中按最终名次把 $N$ 人局视为每人 $N-1$ 场一对一，排在谁前面就算赢谁，成绩足够接近可算平局（阈值逐游戏设定，赛车可不允许平局）；团队赛把队伍视为一个玩家（$\mu$、$\sigma$ 取队员之和），再按个人 $\sigma$ 在队内分配涨跌；开发者还可按个人贡献加权（FPS 里躲在角落的人贡献少）。

在线评分与 MMR：水平相近的对局最激动人心——高手虐新手不意外也无趣，新手偶尔赢了多半靠运气，自己不自豪、高手也恼火。因此多数在线竞技游戏（《英雄联盟》《炉石传说》、Dota 自走棋等）给每人一个 MMR（匹配评分），更新方式类似 Elo 或 TrueSkill。排队时既要分差小又要快：找不到合适对手就逐渐放宽允许的分差。MMR 常不公开，以免打击低分玩家——胜率五五开的人会觉得自己打得不错，哪怕是因为被匹配给同样弱的对手。组队时取队伍 MMR 的某种平均（原书脚注：可以是加权平均，若一人主导则直接取最大值），还可为单排与组排分别维护 MMR，因为熟人队伍配合更好。

大师分 (Masterpoints)（桥牌、网球、《万智牌》等）：每参加有组织的赛事按成绩得分（如胜 3、和 1、负 0），评分是终身累计。桥牌按赛事级别给分数着色，邀请赛可要求某颜色以上分数达标；《万智牌》参赛本身也给分以鼓励参赛。特征是只涨不跌，缺点是分不清"打得多但平庸"与"打得少但常赢"，多数也不考虑对手强弱，有利于专挑弱者打的人。

评分系统的常见问题（p.367–376）

• 鼓励活跃：Elo 类系统中高分玩家（觉得自己被高估，或怕丢掉世界第一）会避战保分；纯 Glicko 的 RD 趋近零也会锁死常玩者。对策：一段时间不活跃就移出总榜（只是部分解决，玩家会刚好打最低局数；门槛太高又冷落休闲玩家）；大师分天然鼓励参与，但把经验与技术混为一谈，不适合匹配、比较技术或预测胜负；每日/每周任务给游戏货币，让玩家宁要奖励也不护分；隐藏评分只用于匹配，另给可见的排名——没有可护的分就不会为此避战。
• 运气与技术：Elo 中无限强者对无限弱者胜率为 100%，在万智牌、扑克这类有运气的游戏里不成立。若对局有 $L$ 的概率由运气决定（各 50%），则期望胜率应修正为

$E=(1-L)\cdot E_{skill}+0.5L$

原书例：95% 技术、5% 运气时，极端水平差下期望胜率应在 0.025–0.975 之间；一般地运气占 $N\%$ 时上下限为 $N/200$ 与 $1-N/200$。不考虑运气时弱者赢得比预测多，形成负反馈：高手打弱者净失分，反之净得分。

• 匹配：早期在线游戏用大厅自选对手，简单、方便和朋友玩，但只要预测胜率与实际不符就会被利用：有运气却用 Elo 时，人人想挑战远强于自己的人并回避弱者；大师分（赢谁都一样分）则鼓励欺负弱者。若人人都最优地挑选，就没人会打（每场总有一方吃亏会拒绝）。即使预测准确，玩家仍可挑被暂时高估的对手（刚入场的新人通常从中位分开始、实际偏弱；顶尖玩家互相熟悉、看赛事结果判断谁被高估）。典型解法是自动匹配：排位局只声明要打，系统配对；目标是分差尽量小（对局最精彩，且只有真进步才会涨分）与等待时间尽量短之间的折中——先找几乎同分的人，每多等一秒就放宽允许分差。原书脚注：也可能有理由偏离均衡匹配，如给连败者偶尔安排弱得多的对手甚至故意输的 AI 以留住他——没有开发商会公开承认，但大概能提高留存。
• 评分通胀与通缩：大师分是正和；Elo 及其衍生多为零和（一方得分等于另一方失分）。起始分本身没有内在含义，只相对于他人有意义（中位数 1500 时新人默认低于中位，中位数 1000 时默认在中位）。平均分随时间上升为通胀、下降为通缩，在评分永久、持续、公开时尤其成问题：评分不再只是对局预测，还掺入了玩龄，降低匹配效用；通胀惩罚新玩家（要更努力追赶），通缩惩罚老玩家（要赢球才能保本）。来源：评分下限（在下限的人输了不扣分、对手照样加分，是正和事件）；玩家离开带走其分数——低于平均者离开造成通胀、高于平均者离开造成通缩，而表现差、受挫的人更容易离开。对策：检查所有可能让系统变成正和或负和的情形，跟踪活跃玩家平均分，找出并消除或抵消来源；定期重置（赛季）的评分基本不受影响。
• 平局：有的游戏不可能平局（围棋比赛后手贴目带小数）；有的平局需要技术（国际象棋高水平对局平局多，新手难以逼和大师）。若弱者专心不输就能逼和，把平局当半胜就不公平——弱者可专门挑战高分者求和刷分。可改规则；若有正当理由保留，可让平局不计分，或把平局与胜负分开计算（按给定分差下平局与胜局的期望比例决定平局得失）。
• 多人游戏：混战中要确定什么最能预测成绩——对手平均分、最强对手、最弱对手或其他加权；团队赛中队伍实力是平均还是偏向强者（能否一人带飞）或弱者（能否一人坑队），以及熟悉度——配合默契的熟人队可能胜过个人更强的陌生队。
• 掉线：难以分辨意外与故意。两人对局的选项各有代价：不计分（快输的人故意掉线）；掉线判负（网络差的人受挫，还诱发 DDoS 对手；且给游戏增加了不均等的运气成分）；AI 接管并承认结果（要做出称职的 AI 很难，AI 太差就等同判负）；用局面评估算法判部分胜负（玩家会抢先领先再故意掉线）。团队赛更复杂：继续打则队友受罚，掉一人就结束则十人局常打不完。缓解：匹配时同时考虑历史掉线率与连接稳定性、按 ping 匹配、给合理的重连时间。经自有服务器联机更容易判断谁掉线，并可隐藏 IP 防 DDoS；P2P 时难以判断，甚至有人故意断网再在上报前重连。没有完美方案，"至少可以选你的毒药"。
• 作弊：只要能作弊就有人尝试，在竞技、有社区、有奖金或名誉的游戏中尤甚；大赛冠军被查出作弊会毁掉赛事公信力。只靠社区管理抓人负担重，还让本该做客服的人承担惩罚。可自选对手时会有小号送分、互相轮流放水、贿赂对手；自动匹配和匿名大大增加难度。任何正和元素（评分下限、某类对局的奖励分）都会被利用，保持零和可杜绝；若显示的是排名而隐藏 MMR，玩家会针对排名作弊，例如故意压低 MMR 以匹配到更弱的对手。

评分即胜负预测（p.376–380）

零和系统中技术不变的玩家评分应大致稳定。若某局赢得 $X$ 分、输掉 $Y$ 分，系统隐含的胜率预测为

$P(\text{win})=\frac{Y}{X+Y}$

对手为 $X/(X+Y)$，两者之和为 1；$Y=0$（输了不扣分）意味着预测必输，$X=0$ 意味着预测必赢（$X=Y=0$ 无定义，但不应出现）。对 Elo 而言 $X=K(1-E)$、$Y=KE$，代入正好得到 $P=E$（本库推导）。

更多预测因子：运气之外，可选的开局对象（CCG 构筑卡组、MMO 构建、MOBA 英雄、格斗角色）从一开始就造成不对等——弱玩家拿冠军卡组可能胜过拿烂卡组的强玩家；已有的分析埋点（对象/角色/策略与胜率的相关）理论上可纳入预期结果。团队中角色之间的协同、队友一起打过多少局也可计入（越熟悉相当于有效评分越高）。非二元结果的终局状态也可利用：万智牌 20 血赢和 1 血赢不一样，评分系统可以预测分差并用分差更新。还可跟踪对局过程：一些高手出于风度故意不碾压，从早期领先一点并一直保持微弱优势——这种模式若被识别，说明胜者技术极高，能同时控制对手的体验。

验证系统：可以编写模拟——几千名玩家各有"真实评分"，按匹配系统配对，按真实分差算期望胜率并用伪随机数决定胜负，再用评分系统更新；以所有玩家"系统评分 − 真实评分"的均方根误差对局数作图，得到收敛所需局数和稳态误差（稳态误差永远存在：处于真实分的人下一局就会涨或跌）。这适合比较两个候选系统的准确度与收敛速度，但不能证明系统模型正确，因为模拟必然使用与评分系统相同的模型。更好的是用数据分析：不知道真实评分，但可以比较系统预测胜率与实际胜率，看在哪里高估或低估；再看子集——有运气的游戏看极端水平差下的爆冷率，乘以 2 得到运气系数（运气起作用时一半仍偏向预期胜者）；团队游戏只看"全陌生队 vs 全熟人队"衡量配合的作用；混战看最终名次与评分的偏离频率。理想做法是在 beta 期就埋点收集，赶在发售和实现评分系统之前用数据设计出预测尽量准确的系统（数据分析方法见 数据分析与平衡）。

排名系统（p.380–385）

大多数人进不了前十，而按定义一半玩家低于中位数，被告知这一点会大量打击士气（原书脚注：Valve 称 Dota 2 玩家对 MMR 系统的看法与其近期胜率高度相关）。所以很多在线游戏只把评分用于内部匹配，另用排名给玩家地位感。设计旋钮：

《炉石传说》案例（原书描述的是其旧版天梯）：从 25 级开始，每级若干颗星（低级 2 颗，逐渐增至 5 颗），赢一局得一星，集满再赢升一级直到 1 级。25–20 级不掉星，匹配同级相近评分时胜率约五五开，打得够多迟早升到 20 级，几乎所有活跃玩家都有进程感与胜任感；到可能掉星时已离底部好几级。5 级以前输一局掉一星，但连胜（含本局至少三连胜）每胜额外 +1 星：高手重置后能很快爬回；胜率 50% 的人也会因随机出现的连胜慢慢上升——例如三连胜后三连败，得 3+1 星失 3 星，净 +1；连败不会额外扣星。每月重置，登录即按上月最高段位发奖励，并按上月成绩给起始星级，让重置被感知为奖励而不是惩罚，形成"爬升—被打回—再爬升"的持续进程。可见排名系统可以同时充当进程系统、奖励系统、支配系统（胜过朋友、圈内第一乃至世界第一），并按需要澄清或模糊评分。

时效说明：原书描述的是《炉石传说》2020 年以前的 25 级星级天梯；2020 年 4 月起暴雪把天梯改为青铜至钻石各 10 级再到传说的分段制（每级 3 星、每个联赛在 10 级和 5 级设保底；见暴雪官方《Ashes of Outland – 17.0 Patch Notes》（2020-03-26）中的 Ranked Overhaul 一节）。原书的设计分析仍然适用，但具体数字已与现行版本不同。

赛事与联赛（p.385–391）

• 循环赛 (round robin)：人人互打，按胜负排名；最简单也最公平。原书脚注给出公平的同分决胜：看同分者之间的直接交手，仍分不出时看对头名、次名……的战绩；用赛前评分决胜会把赛事之外的优势带进来，可能被视为不公平。缺点是耗时（见下方原书问题）。
• 单败淘汰 (single elimination)：输一局即出局，$N$ 人只需 $\log_2 N$ 轮（4 人 2 轮、8 人 3 轮、16 人 4 轮）。要决定三件事：
  • 对阵（种子）：初始对阵强烈影响结果。原书设 16 人中每差一名有 1% 优势（头名对末名 65%:35%），比较两种种子：1 对 2、3 对 4……顺序排列时，第 8 名夺冠概率远低于第 9 名（前者一路要打三个更强的对手）；标准种子（1–16、8–9、4–13、5–12 在同半区）使夺冠概率严格随名次递减。按此假设精确计算：顺序种子下第 8 名约 5.6%、第 9 名约 6.7%（第 4 名 7.1% 也低于第 5 名 7.3%），头名仅约 9.1%；标准种子下从第 1 名约 11.8% 单调降到第 16 名约 2.5%（本库按原书设定计算，与原书结论一致）。种子可依据全局评分或排名、预赛，或随机。
  • 平局：可加赛到分出胜负（可能无限拖延），或用不允许平局的"突然死亡"模式，或用局内指标（场上资源最多者）决胜。
  • 轮空：人数不是 2 的幂时，第一轮让最高种子轮空——反正他们本来要对最低种子，对结果扭曲最小；随机对阵时轮空也随机，可给轮空者一点补偿性劣势（如自动输掉决胜规则）。
• 双败淘汰：另设败者组，从主赛区每轮的失败者填入；最后主赛区与败者组的胜者决赛，主赛区一方要输两局才出局。可减少有运气成分时强者因一次背运出局；三败、四败制记账太麻烦，很少见。
• 瑞士制 (Swiss)：所有人打同样多的轮次，首轮随机或按评分分组（原书脚注：围棋的 McMahon 制按评分预先给分，让强者早期互相对阵，避免倒霉的弱者首轮撞上最强者；轮数要足够让零起点玩家全胜也有机会夺冠），每轮后按累计成绩（通常胜 1、和 0.5、负 0，也可用局内分数）排名并与相近者配对。配对法如荷兰制（同分组内上半区与下半区对应者对阵：6 名 2-1-0 者中 1 对 4、2 对 5、3 对 6）、Monrad 制（1 对 2、3 对 4……），通常还禁止重复对阵和重复轮空。优点：不淘汰、无对阵图，人数不必是 2 的幂，奇数人数时每轮至多一个轮空（但每轮都有）；缺点是配对复杂，每轮都要实时计分、排序、应用多重决胜规则。
• 混合制：仅为决出冠军时，$N$ 人瑞士制打 $\log_2 N$ 轮与单败淘汰长度相同、结果相同；打 $N-1$ 轮就是循环赛；轮数多于或少于 $\log_2 N$ 时几乎必然多人并列头名，靠决胜算法加冕很扫兴，也缺少两强决赛的高潮。因此常先打若干轮瑞士制，再取前 4/8/16 名按瑞士制名次做种子进行淘汰赛：人人能多打，冠军又必须亲手击败对手。
• 联赛与赛季：联赛是持续数月到一年的多轮赛事，通常不用淘汰制；也可以用评分系统运行（人人同一起始分，期末最高分者胜）。赛季是一个接一个的联赛，借自职业体育，但在线游戏不会有长达数月的休赛期，以免玩家流失；各赛季独立，上赛季冠军可获少量起始优势。
• 中途退赛：循环赛可移除退赛者并作废其已赛对局，或保留其结果用于决胜；淘汰赛中其下一个对手轮空，或重排对阵把轮空给尚未轮空的最高种子——后期轮空比首轮轮空更值钱，因为跳过的多半是强敌；瑞士制直接从排名与后续配对中移除，基本不影响配对，但会改变是否需要轮空，若决胜规则涉及对手成绩还要定义退赛对手如何计算。

元游戏奖励系统（p.391–393）

多数 F2P 竞技游戏有游戏货币（有时两种：普通货币和主要靠现金获得的货币），用来解锁内容。纯付费即赢令人不满：付费者起初多赢几局，评分升上去后只是和其他付费者打，优势消失。玩家因而期待付不付费最终能力相同，于是问题变成：为哪些行为发货币？——答案是任何你希望玩家去做的、能代替金钱为游戏增加价值的事：

1. 与真人对战——玩家相当于众包的 AI，为对手（无论是否付费）提供娱乐和挑战；
2. 定期登录——让游戏成为习惯，来领奖的人通常会顺便做别的事，为社区增值，常回来的人也可能最终付费；
3. 直接给开发者带来收入的行为——如看完广告。

也可以为排名提升发货币（每月重置的进程型排名），让玩家觉得金币是挣来的而不是在追逐诱饵；为参加和赢得赛事发奖（若参赛还要付费，动态会变得很复杂）。每日任务不只鼓励登录和对战，若要求用特定角色或策略且轮换，还能引导玩家探索原本忽略的系统。

课后练习要点（p.393–395）

讨论题涉及排名与评分的区别与优劣、为没有官方匹配的 PvP 游戏设计评分、电竞爆冷多于预测说明什么、显示或隐藏 MMR 的理由、评分通胀的成因、各赛制优劣、如何改评分以鼓励或抑制参与、种子如何影响结果。支线 14.1：8 人单败，每高一名对下一名胜率 55%、对隔一名 60%……对最末 85%，比较顺序种子 A（1-2、3-4、5-6、7-8）与标准种子 B（1-8、4-5、2-7、3-6）。按此设定计算（本库补充）：A 中夺冠概率依次约 26.1%、18.3%、15.4%、10.3%、12.4%、8.0%、6.1%、3.5%（第 5 名高于第 4 名）；B 中约 35.1%、24.0%、16.1%、10.3%、6.6%、4.2%、2.5%、1.3%，单调递减，更公平。支线 14.2 "Alpha"系统：分差 $D$ 每 20 分少押 1 分，即每局押 $\max(1,10-\lfloor D/20\rfloor)$ 分，问它能否让玩家寻找同分对手（提示：看对高分、低分、同分对手的期望得失）。支线 14.3 为 90% 技术、10% 运气的游戏改写 Elo（即上文 $L=0.1$）。支线 14.4 为 4 人死亡竞赛（杀人 +2、被杀 −1、不低于 0、先到 20 分结束）设计 16 人瑞士制，进阶题处理 13–15 人的轮空与中途加入。法师主线第 5 部分：为 Harmony 设计排名或评分系统，把未知量（如运气比例）写成变量，并说明如何用数据分析估计。

原书问题

数值核对：Harkness 例对手平均 $(1500+1700+1750+1900+1950)/5=1760$、新分 1960 ✓；Elo 相差 200 分时 $1/(1+10^{-0.5})=0.7597$ ✓；三局例 $0.7\times16=11.2$ ✓；运气 5% 时上下限 $0.05/2=0.025$ ✓；16 人每名 1% 时头名对末名 $50\%+15\%=65\%$ ✓。

与其他书的对照