相依随机与抽牌概率

相依事件与抽牌（p.455–457）

题记：1889 年山内房治郎创立生产花札的公司，后与迪士尼合作出纸牌、进军玩具，1970 年代初进入电子游戏（取得 Magnavox Odyssey 在日本的销售权），这家公司就是任天堂——没有纸牌，电子游戏产业会小得多。

相依事件：知道一个事件的结果会改变后续事件的概率。典型是从洗好的牌堆抽牌：抽到红心 10 后，下一张是红心的概率就变了。两个条件：

• 不放回：抽一张放回再洗，等价于掷 d6，每次独立。
• 看到牌：拿走而不看不提供新信息，概率（从自己的视角）不变。52 张牌洗好后不看就拿走 51 张，剩下一张是梅花 Q 的概率仍是 1/52；把 51 张都翻开且都不是梅花 Q，剩下那张就 100% 是。改变概率的是信息，而不是拿走牌这个动作。原书脚注：很多人以为重洗一副尚未看过的牌会改变结果——实际顺序当然变了，但任何概率计算都不变。

布袋抽板块、把牌或板块洗乱后面朝下摆在桌上任意翻开、教科书里从坛子里不放回地摸彩球，都等价于从洗好的牌堆抽牌。

计算相依概率（p.457–462）

原则与独立事件相同（成功方式数 ÷ 可能性空间），但每揭示一张牌概率就变，实际上是把一串不同的分数相乘。

• 两张牌成对：第一张任意（成功概率 1），第二张在剩下 51 张中有 3 张同点，$3/51=1/17$。德州扑克里总说自己起手又是对子的人多半在诈唬。
• 不均匀分布（加两张王）：分情况——第一张是王 $\frac{2}{54}\times\frac{1}{53}=\frac{1}{1431}$；不是王 $\frac{52}{54}\times\frac{3}{53}=\frac{78}{1431}$；互斥相加得 $\frac{79}{1431}\approx5.5\%$，略低于 1/17（第一张不是王而第二张是王时多了一种失败）。核对：把"非对子"的情况也算出来，全部之和应为 1。
• 组合与排列：不计顺序时从 $n$ 中选 $k$ 为 $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 五张牌手牌共 $\binom{52}{5}=2{,}598{,}960$ 种；计顺序时 $P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$，八人赛车的前三名有 $8\times7\times6=336$ 种，八人全排列 $8!=40{,}320$ 种。原书脚注：阶乘增长极快，约定 $0!=1!=1$。
• 有重复元素时：葫芦（三条 + 一对）只关心点数，共 $13\times12\times\binom43\times\binom42=13\times12\times4\times6=3744$ 种——三条点数选 13 选 1、对子在剩下 12 种中选（顺序有关：三张 K 两张 A 与三张 A 两张 K 不同），再各从 4 张同点中选 3 张、2 张；概率 $3744/2{,}598{,}960\approx0.144\%$。
• 数洗牌（《万智牌》抽地过多）：60 张卡组 20 张基本地，起手 7 张为 3 地 4 非地、之后五个回合全抽到地的概率。满足条件的排列：起手顺序 $\binom74=35$ 种 × 接下来 5 张全是地 1 种 × 剩余 12 地 36 非地 $\binom{48}{36}=69{,}668{,}534{,}468$ 种 ≈ 2.4 万亿；全部（地与非地各视为相同）排列 $\binom{60}{20}=4{,}191{,}844{,}505{,}805{,}495$ ≈ 4 千万亿；概率约 0.000582，即每万局不到 6 局。
• 更细的卡组：10 森林、10 沼泽、10 种非地各 4 张，不同洗牌数为 $\frac{60!}{10!\,10!\,(4!)^{10}}\approx9.966\times10^{54}$。求前 10 张中两种特定非地卡都至少有一张的概率：用取反加容斥——"没有 A"+"没有 B"−"两者都没有"，再用 1 减。原书得到"缺一或缺二"的概率 0.735，所以两张都有的概率仅 0.265；依赖前三回合打出两卡组合的卡组需要额外过牌手段。用超几何概率直接验算（本库补充）：$P(\text{无 A})=\binom{56}{10}/\binom{60}{10}\approx0.4723$，$P(\text{都无})=\binom{52}{10}/\binom{60}{10}\approx0.2098$，$1-(2\times0.4723-0.2098)\approx0.2653$ ✓。

案例：蒙提霍尔问题（p.462–468）

来自电视游戏节目 Let's Make a Deal 的三门游戏：一扇门后是新车，另两扇是山羊等"非奖品"。选手选门后，知道答案的主持人打开另一扇没有车的门，问选手是否换门。换门胜率 2/3，不换 1/3：初选正确的概率 1/3 不会因主持人开门而改变，剩下那扇门就承担了另外 2/3；也可以理解为主持人让你用一扇门换另外两扇门。下面的决策树把车放在 3 号门后、枚举三种初选：

flowchart TD
  S["选手随机选门（车在 3 号门）"] --> A["选 1 号（羊）1/3"]
  S --> B["选 2 号（羊）1/3"]
  S --> C["选 3 号（车）1/3"]
  A --> A1["主持人开 2 号"] --> A2["不换：羊 / 换：车"]
  B --> B1["主持人开 1 号"] --> B2["不换：羊 / 换：车"]
  C --> C1["主持人开 1 号"] --> C2["不换：车 / 换：羊"]

换门在三个分支中赢两个（2/3），不换只赢一个（1/3）。可以分别对"总换"与"从不换"做几千次蒙特卡洛模拟验证。

节目中的真实规则：若人人都知道换门最优，游戏就没意思了。原书称节目中选手选中车时主持人总会提供换门机会，选中山羊时只有约一半情况提供（否则直接亮出山羊送客）。此时总换胜率 = 1/3（选错且被允许换）、不换胜率 = 1/3（选对），无论怎么选都是 1/3；而一旦被问到要不要换，胜率是 1/2。

一般化：设选对时提供换门的概率为 $R$、选错时为 $W$。不换的总胜率恒为 $\frac13R+\frac13(1-R)=\frac13$；被问时总换的总胜率为 $\frac23W+\frac13(1-R)$，取值从 0（$W=0,R=1$，只在选对时问）到 1（$W=1,R=0$）。选手总可以坚持初选，所以主持人不可能把胜率压到 1/3 以下；当换与不换都是 1/3（如 $R=1,W=1/2$）时选手没有最优策略，游戏从数学变成心理博弈：主持人提供换门是觉得你是会死守初选的傻瓜，还是知道你选对了想引你上钩，还是好几期没送出车想制造兴奋？扑克同理：分轮发牌与下注让每人的胜率在各轮之间不断变化，而且各方掌握的私有信息不同，对谁占优的判断也不同——这部分解释了扑克的流行。

案例：假阳性悖论（p.468–470）

检测结果有真阳性、真阴性、假阳性、假阴性四种。设人群患病率 2%，检测灵敏度 100%（无假阴性）、特异度 95%（未患病者 5% 假阳性）。好友检测阳性，真正患病的概率？取 1000 人计数：20 人真阳性，980 名未患病者中 49 人假阳性，阳性共 69 人，只有 20 人患病——约 29%。患病率越低、假阳性率越高，这个概率越低。原书脚注：随机抽 1000 人恰好按总体分布的概率其实很低，这里只是借一个人数来计数，用 100 或 100 万结果相同。

同样的结构出现在许多现实系统：针对某族群的执法画像、用不完美算法监控极少数恐怖分子、汽车生产线安全检测把大多数其实合格的车报废、对福利领取者或员工的强制药检——都有深远的政策与伦理含义。作者认为游戏设计研究的是系统，把这些系统做成游戏再看是否平衡，就能看出联系；政府也会从懂得构建和平衡系统的设计师中受益。

课后练习要点（p.470–475）

讨论题包括：相依与独立事件的区别；独立 1% 掉率与"每次未掉 +1%、掉落后重置"的递增掉率给玩家的不同感受（伪随机分布见 伪随机数生成）；TCG 改成放回抽牌会怎样；如何在游戏中利用假阳性悖论（带误差地提示稀有事件）；用 36 张牌的"2d6 牌堆"替代掷骰、用完再洗会怎样；为什么只有看到被移走的牌才改变后续概率。支线：18.1 德州扑克 7 张中至少 5 张同花的概率；18.2《大教堂》(The Pillars of the Earth) 四人局中某人三个工人在回合开头被连续抽出的概率；18.3 六张牌扑克中"三条加三条"与"四条加一对"谁更稀有；18.4"简化版战争"牌戏：数出不同的初始发牌数，再用表格穷举每种发牌下的胜率（每方 120 种出牌顺序，共 14,400 种对局、去重后 120 种配对），找出最接近 50% 的发牌；18.5 60 张卡组中 10 森林、4 Llanowar Elves，起手 7 张两者都有的概率，以及一路调度到 2 张仍失败的概率；18.6《炉石传说》先手 3 张起手调度后至少有一张关键卡（2 张）的概率；18.7 6×6 海战棋（2、3、4 格三艘可重叠的船）的合法布置数，并编写按"每格被占用的配置比例"开火的 AI，与随机 AI、类人 AI 比较平均回合数。

原书问题

数值核对：$\frac{2}{54}\cdot\frac{1}{53}=\frac{1}{1431}$、$\frac{52}{54}\cdot\frac{3}{53}=\frac{78}{1431}$ ✓；$\binom{52}{5}=2{,}598{,}960$ ✓；葫芦 3744 ✓；$35\times\binom{48}{12}=2{,}438{,}398{,}706{,}380$、$\binom{60}{20}=4{,}191{,}844{,}505{,}805{,}495$、比值 0.0005817 ✓（与直接超几何计算一致）；$60!/(10!^2\,4!^{10})\approx9.966\times10^{54}$ ✓；假阳性 $20/69\approx29\%$ ✓。

与其他书的对照