数值关系与游戏曲线

数字只在关系中有意义（第 4 章 p.63–65）

• 开篇引语：新手看满级好友在《魔兽世界》里打出夸张的伤害数字，但对照其面对的怪物 HP，这些数字是平衡的。
• 经验需求逐级翻倍时，必须与战斗、任务给的经验以及升级带来的 HP/属性/技能提升协同，升级才有意义。
• 没有角色等级的 FPS 进程在玩家技能上：怪物数量与 HP、地形难度、子弹与血包数量随玩家技能提高而收紧；单把枪通常不会变强。电竞团队游戏（《火箭联盟》《守望先锋》）局内不升级，但队伍之间的数字仍需相互对照。
• 平衡不只由数学决定，也由玩家对这些关系的感知决定："这把剑相对伤害是不是太贵？""是不是好久没升级了？"——数字只与玩家脑中积累的预期相比较。

两类核心关系（p.64–67）

取舍关系：游戏要求玩家用一样东西换另一样。所有游戏至少有一种资源——玩家的时间；大多数有趣的决策都含某种取舍。判断"一击 50 伤害是否平衡"需要看：它在经济宏观规划中的位置、怪物要承受多少伤害、武器的威力区间、怪物护甲、相对位置（勉强命中的投掷物伤害低）、设计师希望遭遇持续几击。等比缩放不改变实际代价：把 250 金的"终极神剑"涨到 500 金、同时把所有金币奖励翻倍，玩家付出的时间与努力完全不变。

进程关系：本质上也是取舍——玩家放弃时间换取进展。四类：

这些关系形成玩家能感觉到时机的模式（"好久没升级了！"），并固化为主导类型的预设 (affordance)。

曲线（第 2 章 p.36–38；第 4 章 p.67–78）

"曲线"取数学含义：跟踪一种资源随另一种资源增加时如何变化；可能是直线、缓坡或起伏的山谷，也叫"坡 (ramp)"。数学上曲线就是函数，因此更精确的叫法是用两端命名，如"等级/经验曲线"（第 2 章脚注 4）。学习曲线指玩家需要多快学会；难度曲线可与之同义，也可指怪物相对强度、两个 PvP 竞技场的水平差等。资深设计师认得曲线形状，会有意识地按某种形状设计。F2P 游戏常见做法是在某个点把玩家"坡"走 (ramp the player out)：难度陡增，只留下付费玩家，让产品经理聚焦核心付费群体（p.37、67–68）。

曲线组合：Civilization: Revolution 的后期乘数（p.72）：能力、城市升级、科技在终局产生巨大乘数，看似失衡，实为刻意设计——加速"胜负已分只是走过场"的终局并带来史诗胜利感；若乘数早出现，会导致过早结束与明显的早期优势策略。

二倍法则 (Rule of 2，Box 4.1，p.72)：（归于 Sid Meier）不知道某个数该改多少时，就翻倍或减半，比一次次减 10% 更能看清该值的影响。这与 Schell 在 游戏平衡 中的"加倍与减半"及 Adams & Dormans"一次只改一处并夸大改动"一致。

定制曲线例 1：经验表从 13 级改用 1.5 倍（p.74–75）——左列每级需求纯 2 倍，右列 13 级起改为 1.5 倍（已逐行验算）：

定制曲线例 2：按"击杀所需次数"定价（p.75–76）——敌人大多 4 HP 时，伤害 2 与 3 都要两击，伤害 4 一击：

3 点比 2 点只多一点抗"−1 伤害"减益的余量；5 点以上几乎不比 4 点好。

定制曲线例 3：《Roll Through the Ages》的骷髅（p.76）——0–1 个骷髅无影响；2 个自己失 2 分（坏）；3 个所有对手失 3 分（好）；4 个自己失 4 分（很坏）；5 个以上失去资源与回合（最坏）。非单调的函数配合"非骷髅骰最多重掷两次"，使玩家在一回合内时而祈祷别再出骷髅（已有 1、3、4 个时）、时而盼望再来一个（2 个时），制造多次反转与紧张感。

xychart-beta
  title "Roll Through the Ages: 骷髅数与结果好坏 (示意, 0=无影响)"
  x-axis ["0-1", "2", "3", "4", "5+"]
  y-axis "对自己的好坏" -6 --> 4
  bar [0, -2, 3, -4, -6]

（上图数值为示意：书中只给出"好/坏"的顺序，5+ 的 −6 表示"最坏"，非原书数值。）

成本混淆曲线（p.76–78）

F2P 常让游戏内货币与真钱的换算难以心算：$2 = 15 单位意味着 1 单位约 13.3 美分，几乎没人会算 9 单位值多少、批量包和促销是否真的省钱；若改成每单位 10 美分就容易算，复杂的数学让玩家更少质疑价格。有的游戏大包单价反而更贵，利用玩家"买得多省得多"的信任：

更进一步的是双重"可刷"货币（如金币与金条）：两者都可购买也都可在游戏中刷到，只是一种稀有得多；物品同时标价"500 金币 + 3 金条"时，玩家难以判断真实代价与是否值得"充值补足"，有钱又想要的玩家更可能直接买。课后练习 4.5 以《Gordon Ramsay Dash》为例：只需正好 500 补给时，最省是 2 × 250 补给 = 80 金，再用 35 + 35 + 10 金的组合买 80 金，共 **$6.97**（比买"最受欢迎"的 125 金$9.99 便宜；按书中价格表穷举验算）。

各经济常用的曲线（p.78）

怪物与物品的曲线很少平滑：设计师常手改表格加入尖峰与低谷——拿到神剑、遇到超强敌人往往是最好的时刻（参见 兴趣曲线 中 Schell 的"尖峰"）。

凡事适度（p.78）

任何公式推到极端都会出问题；即使通常情况平衡，极端处也常坏掉。若只在边界失效，不一定要改通用公式，两种常见办法：为极端情况写特例，或设置硬上限阻止玩家到达极端。

课后练习要点（p.79–82）

• 找一款游戏的等级/经验表，用电子表格散点图加趋势线（线性、二次/三次多项式、指数）比较 $R^2$，分段拟合。
• 用 Machinations 建模资源流（见 Machinations 图示语言）。
• 放置游戏练习：初始 1 金/秒，六种金矿（+1/+5/+20/+100/+700/+10,000 金/秒，底价 15/100/300/2000/15,000/250,000），第 N+1 座价格 = 底价 × $1.1^N$ 向上取整（15 → 17 → 19…），用 900 行表格模拟 15 分钟并用公式写出"无代码 AI"。

原书问题

• p.70 "HP = 10MP (10 magic points get you 1 hit point)" 自相矛盾：按 $y = mx$，$HP = 10 \cdot MP$ 表示 1 MP 换 10 HP；括号里的说法对应的是 $HP = MP/10$。且与本节前文"5 MP 治 25 HP"的 1:5 例子也不同。
• p.71 经验公式写作 $100 \cdot 2^{Level}$，但正文说第一级需要 100 XP（Level = 1 时公式得 200），应为 $100 \cdot 2^{Level-1}$；同页称"9 到 10 级需要近 800 万 XP"，而按该公式只需 $100 \cdot 2^{9} = 51{,}200$（或 102,400），800 万对应的是图中刻度（接近 $5^{10}$ 级别），文图不一致。p.70 的 $5^9$ 一行误印为 "5 * 5 * 5 * 5 * 55 * …"。
• p.73 对数公式后写 "So, New Level = Current XP * 2"，这是指数关系的误写；按其例子（每级需求翻倍）应为 $Level \approx \log_2(XP/c) + 1$。
• p.74 三角数公式写作 $y = (x^2 - x)/2$，代入 $x = 1, 2, 3$ 得 0, 1, 3，与其列出的 1, 3, 6 错位一项；标准式为 $T_n = n(n+1)/2 = (n^2 + n)/2$。
• p.77 价格表 50 单位 $7 的单价应为 0.14 而非 0.133（7/50 = 0.14）。
• p.78 "Loot Drops: Linear, tied to create strength" 中 create 应为 creature。

与其他书的对照

• Adams & Dormans 在 内部经济 中用经济"形状"描述资源随时间的变化；本页的"曲线"更偏向两种资源之间的映射，二者互补。
• 进程设计的结构层面见 进程机制；难度与兴趣随时间变化见 兴趣曲线。