坐标空间

变换链

下图是顶点从模型空间到窗口坐标的完整路径，箭头上写的是对应的变换。

flowchart LR
    M["模型空间"] -->|"模型变换"| W["世界空间"]
    W -->|"观察变换"| V["观察空间"]
    V -->|"投影变换"| C["裁剪空间<br/>齐次坐标"]
    C -->|"裁剪 + 透视除法"| N[NDC]
    N -->|"屏幕映射"| S["窗口坐标"]

模型变换和观察变换会作用于顶点和法线。

实例化 (Instancing)

一个模型可以对应多个模型变换，这样同一份几何数据能在场景里出现多次，位置、朝向、大小各不相同，而不用复制几何数据本身。

两种投影

• 正交投影 (Orthographic)：视景体是长方体，平行线投影后仍平行，本质是平移加缩放。它是平行投影的一种，另外还有斜投影、轴测投影等。
• 透视投影 (Perspective)：视景体是平截头体 (frustum)，越远的物体越小，平行线会汇聚到地平线，模拟人眼感知。

两者都把视景体变换成标准立方体，都能写成 4×4 矩阵（RTR4 第 4.7 节）。之所以叫"投影"，是因为显示时 z 不存进图像，而是存进 深度缓冲。

为什么先投影再裁剪

先做观察变换和投影，裁剪问题就统一了：永远对着标准立方体裁剪。裁剪时要用齐次坐标的第四个分量 w，因为在透视空间里数值在三角形上并不是线性插值的，需要 w 才能正确裁剪和插值。

API 差异（换引擎或换平台时的常见坑）

• 观察方向约定：RTR4 用 −z 朝前，有些资料用 +z，两者互相转换很简单。
• NDC 的 z 范围：OpenGL 是 [−1, +1]，DirectX 是 [0, 1]。
• 像素坐标：像素左边缘是 0.0，中心是 0.5，换算为 d = floor(c)、c = d + 0.5（OpenGL 和 DirectX 10 之后都这样）。
• 原点位置：OpenGL 的 (0, 0) 在图像左下角，DirectX 在左上角（视情况而定），在两个 API 之间移植时一定要注意。

GEA 的视角：坐标空间与换基（卷 I 5.3.11–5.3.12）

GEA 从引擎程序员角度补充了模型/世界/观察空间的命名习惯，以及如何构造和拆解「换基矩阵」。GEA 使用行向量约定（$\mathbf{P}_P=\mathbf{P}_C\mathbf{M}_{C\to P}$），与上文 RTR4 的列向量写法互为转置。

坐标系就是参考系

刚体可看作无穷多点的集合，变换物体就是变换它的每个顶点。点（位置向量）总是相对某组坐标轴表达，换一组轴，数字就变。物理中称坐标轴为参考系 (frame of reference)，游戏业也叫坐标空间 (space)。

模型空间（卷 I 5.3.11.1）

• 也叫物体空间、局部空间。在 Maya、3ds Max 中建模时顶点相对的坐标系；原点通常放在物体中心（如质心）或人形/动物角色两脚之间的地面上。
• 模型轴通常按物体的自然方向命名：front（$\mathbf{f}$，物体前进或面向的方向）、up（$\mathbf{u}$）、left/right（$\boldsymbol{\ell}$ 或 $\mathbf{r}$，取决于引擎用左手系还是右手系）。
• (front, up, left) 到 (x, y, z) 的映射完全任意：右手系常见 $\mathbf{f}=\mathbf{k},\boldsymbol{\ell}=\mathbf{i},\mathbf{u}=\mathbf{j}$；同样常见 +x 为前、+z 为右（$\mathbf{f}=\mathbf{i},\mathbf{r}=\mathbf{k},\mathbf{u}=\mathbf{j}$）；作者也用过 z 竖直的引擎。关键是全引擎统一。
• 欧拉角无法用任意朝向的 $(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ 定义，但能用 $(\boldsymbol{\ell},\mathbf{u},\mathbf{f})$ 定义：pitch 绕 $\boldsymbol{\ell}$ 或 $\mathbf{r}$，yaw 绕 $\mathbf{u}$，roll 绕 $\mathbf{f}$（见 欧拉角与万向节锁）。

世界空间（卷 I 5.3.11.2）

• 固定的空间，所有物体的位置、朝向、缩放都在其中表达，把各个物体连成一个世界。
• 原点位置任意，但常放在可玩区域中心附近，以减少坐标很大时的浮点精度损失（见 数值表示与浮点数）。
• 作者见过的引擎多用 y-up 或 z-up：y-up 大概延续了数学课本二维图 y 朝上的习惯；z-up 让俯视正交视图看起来像传统的 xy 平面图。
• 例：Lear 喷气机左翼尖在模型空间为 (5, 0, 0)，模型 +z 为前、y 为上。飞机在世界中朝 +x、原点在 (−25, 50, 8)，即绕世界 y 轴转了 90°；若在世界原点，翼尖在 (0, 0, −5)，平移后为 (−25, 50, 3)。

观察空间（卷 I 5.3.11.3）

也叫相机空间，原点在相机焦点。典型约定是 y 上、z 沿相机朝向增大（左手系），这样 z 直接表示深度；OpenGL 等则定义为右手系，相机朝 −z，z 为负深度。与 RTR4 的分歧：上文 RTR4 默认相机朝 −z 的右手系；GEA 把左手、+z 向前称为「典型」。两书都说任何约定都可以。

坐标空间层级（卷 I 5.3.12.1）

坐标系是相对的：描述一组轴的位置、朝向、缩放，必须相对另一组轴。因此坐标空间构成一棵树，每个空间都有父空间；世界空间是根，没有父空间。

构造换基矩阵（卷 I 5.3.12.2）

子空间 C 到父空间 P 的矩阵 $\mathbf{M}_{C\to P}$（行向量约定）由子空间的基向量和平移按行组成： $\mathbf{M}_{C\to P}=\begin{bmatrix}\mathbf{i}_C&0\\\mathbf{j}_C&0\\\mathbf{k}_C&0\\\mathbf{t}_C&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}i_{Cx}&i_{Cy}&i_{Cz}&0\\j_{Cx}&j_{Cy}&j_{Cz}&0\\k_{Cx}&k_{Cy}&k_{Cz}&0\\t_{Cx}&t_{Cy}&t_{Cz}&1\end{bmatrix}$

• $\mathbf{i}_C,\mathbf{j}_C,\mathbf{k}_C$ 是子空间 x/y/z 轴的单位基向量，用父空间坐标表示；$\mathbf{t}_C$ 是子坐标系相对父空间的平移。
• 验证：子空间原点 (0,0,0) 变为 $\mathbf{t}_C$；子空间绕 z 转 $\gamma$ 时 $\mathbf{i}_C=(\cos\gamma,\sin\gamma,0)$、$\mathbf{j}_C=(-\sin\gamma,\cos\gamma,0)$，代入正好得到 $\mathbf{R}_z(\gamma)$（见 基本仿射变换）。
• GEA 说上 3×3 由单位向量组成，「因此」是纯旋转矩阵。严格说还需要三个基向量两两正交且构成与父空间相同手性（$\det=+1$），即 5.3.2 定义的特殊正交矩阵；仅单位长度不够。
• 子空间缩放：直接缩放基向量，如放大 2 倍则基向量长度为 2。

从矩阵中提取基向量（卷 I 5.3.12.3）

反过来，给定任意仿射 4×4 矩阵，取出相应的行（列向量库则取列）就得到子空间基向量。例：游戏约定 +z 为物体朝向，则载具的模型到世界矩阵的第三行就是它的朝向单位向量，已经归一化（无缩放时），可直接用于点与向量运算里的前后判断。

变换坐标系还是变换向量（卷 I 5.3.12.4）

• 原书此处说第四行 $\mathbf{t}_C$ 是子坐标轴「相对世界空间轴」的平移，与 5.3.12.2「相对父空间」的定义不一致；应理解为相对父空间（父空间恰为世界空间时两者相同）。
• $\mathbf{M}_{C\to P}$ 把点和方向从子空间变到父空间，等价地也可以看成把父坐标轴变成子坐标轴——方向相反。把点向右移 20 单位等同于把坐标轴向左移 20 单位。
• GEA 选定的「规范」思路：变换作用于向量（而不是坐标轴），向量写成行。两者合用可以从左往右读：$\mathbf{r}_D=\mathbf{r}_A\mathbf{M}_{A\to B}\mathbf{M}_{B\to C}\mathbf{M}_{C\to D}=\mathbf{r}_A\mathbf{M}_{A\to D}$，中间的 B、C 像约分一样抵消。若改为想象坐标轴移动，就要从右往左读，或翻转其中一个约定。
• 有些问题按向量变换想更容易，有些按坐标轴移动想更容易，熟练后可按需切换。

GEA 的视角：虚拟相机、观察空间与投影（卷 II 11.3.2、11.3.8–11.3.9）

相机的局部坐标系与视锥

• 相机位置 $\mathbf{x}_{cam}$ 取在焦点。前向量 $\mathbf{f}_{cam}$ 只确定俯仰和偏航；还需要上向量 $\mathbf{u}_{cam}$ 确定滚转；左向量 $\boldsymbol{\ell}_{cam}=\text{normalize}(\mathbf{u}_{cam}\times\mathbf{f}_{cam})$。三者构成右手坐标系（卷 II 11.3.2.2）。
• 观察体积由穿过成像矩形四边的四个平面、成像面所在的近平面和远处平行的远平面围成，透视投影时是平截头体 (frustum)，正交投影时是长方体。远平面是渲染优化，也给深度缓冲中的深度定了上限；光线追踪引擎不太需要它（卷 II 11.3.2.3、11.3.9.1）。
• 六个平面可紧凑地存成六个四元向量 $(n_x,n_y,n_z,d)$，或点-法线对 $(\mathbf{Q}_i,\mathbf{n}_i)$。

模型、世界与光源空间

• 模型空间的轴向随意，但通常对齐模型的前、左（或右）、上方向，例如 $\boldsymbol\ell=\mathbf{i}$、$\mathbf{u}=\mathbf{j}$、$\mathbf{f}=\mathbf{k}$；关键是全引擎统一（卷 II 11.3.8.1）。
• 网格实例引用共享的网格数据，并带一个模型到世界矩阵（世界矩阵）。按 GEA 的行向量约定 $\mathbf{v}_W=\mathbf{v}_M\mathbf{M}_{M\to W}$，矩阵各行依次是模型空间基向量 $\mathbf{i}_M,\mathbf{j}_M,\mathbf{k}_M$ 和平移 $\mathbf{t}_M$ 在世界空间中的表示（卷 II 11.3.8.2）。
• 法线要乘模型矩阵的逆转置；若矩阵没有缩放和切变，把法线的 w 设为 0 再乘模型矩阵即可。完全静态且唯一的背景网格常直接用世界坐标存顶点，世界矩阵为单位阵。
• 光源空间的构造与观察空间完全相同，常用于生成阴影贴图（卷 II 11.3.8.4，见 阴影贴图）。

观察空间与"相机矩阵要求逆"

• GEA 的映射：$\mathbf{k}_V=\mathbf{f}_{cam}$、$\mathbf{i}_V=-\boldsymbol\ell_{cam}$、$\mathbf{j}_V=\mathbf{u}_{cam}$，平移为 $\mathbf{x}_{cam}$，得到观察到世界矩阵 $\mathbf{M}_{V\to W}$（式 11.2）。这样 $x_V$、$y_V$ 对应图像的 $(X,Y)$，$z_V$ 就是深度（卷 II 11.3.8.3）。
• 世界到观察矩阵（观察矩阵）是它的逆：$\mathbf{M}_{W\to V}=\mathbf{M}_{V\to W}^{-1}$。GEA 提醒，相机矩阵相对于场景物体矩阵是"反过来"的，这是新手常见的困惑和 bug 来源。常把它与世界矩阵预先相乘成 OpenGL 所说的模型-观察矩阵 $\mathbf{M}_{M\to V}=\mathbf{M}_{M\to W}\mathbf{M}_{W\to V}$，顶点只需乘一次矩阵。

与 RTR4 的分歧：观察空间的手性与朝向

GEA 对 OpenGL 观察空间手性的描述与 RTR4 的"$-z$ 朝前"说的是同一件事的两种看法：从相机实际朝向看是 $-z$，GEA 则把它表述为对 z 轴取反。

原书问题（11.3.8.3）：GEA 说 OpenGL 的观察空间是左手系，这不对。OpenGL 的眼睛坐标（观察空间）是右手系，相机位于原点朝 $-z$ 看，x 朝右、y 朝上；手性翻转发生在投影矩阵中——glFrustum/gluPerspective 把 $-z$ 映射到 NDC 的 $+z$，所以 NDC（及裁剪空间）才是左手系（songho.ca "OpenGL Projection Matrix" / "OpenGL Transformation"；OpenGL 2.1 规范 2.11 节中 Frustum 矩阵的第三行带负号）。OpenGL 也没有定义所谓"与相机实际朝向相反的 $\mathbf{f}_{cam}$"：gluLookAt 算出 $\mathbf{f}=\text{center}-\text{eye}$ 后把 $-\mathbf{f}$ 放在观察矩阵的 z 行，相机仍朝 $-z$ 看。

手性与行列向量的总体分歧见 齐次坐标与矩阵约定。

齐次裁剪空间与投影矩阵

• 透视和正交投影都把观察空间变到齐次裁剪空间，它本质是变形的观察空间，目的是得到与投影类型、屏幕分辨率和宽高比都无关的标准观察体积：x、y 为 $[-1,1]$，z 在 OpenGL 中为 $[-1,1]$、在 DirectX 中为 $[0,1]$。观察体积的平面在这里都与坐标轴对齐，所以便于裁剪；裁剪空间 z 朝屏幕里、y 朝上、x 朝右，通常是左手系（卷 II 11.3.9.2）。
• GEA 给出了 OpenGL 和 DirectX 的透视矩阵以及正交矩阵（行向量形式），推导则引用书中参考文献 [36] 的第 4.5.1 节。按其约定，近平面在 $z=-n$、远平面在 $z=-f$，屏幕四边在近平面上的 $x=l,r$、$y=b,t$（通常 $l=-r$、$b=-t$，但不一定）。逐项核对：书中 OpenGL 透视矩阵（行向量）第三行为 $\left(\frac{r+l}{r-l},\frac{t+b}{t-b},-\frac{f+n}{f-n},-1\right)$、第四行 $\left(0,0,-\frac{2nf}{f-n},0\right)$；DirectX 版第三、四行的 z 分量改为 $-\frac{f}{f-n}$ 和 $-\frac{nf}{f-n}$，代入 $z=-n$、$z=-f$ 分别得到 NDC 深度 0 和 1，正确。
• 书中前后不一致：推导投影时 GEA 写"若把观察空间取为右手系，近平面在 $z=-n$"，用的是 OpenGL 式的右手、朝 $-z$ 看的观察空间；而 11.3.8.3 自己定义的观察空间是左手系、相机朝 $+z$ 看（$\mathbf{k}_V=\mathbf{f}_{cam}$）。直接把这里的矩阵用于书中 11.3.8.3 的观察空间会把深度符号弄反；应把矩阵整个第三行（乘 $z_V$ 的那一行）取负，这等价于先做 $z_V\to -z_V$ 再用原矩阵。
• 原书问题（11.3.9）：GEA 说正交投影是平行投影的一种，平行投影"也叫轴测投影 (axonometric projection)"。层级关系弄反了：平行投影包括正交投影和斜投影；轴测投影（等轴、二等角、三等角）是投影方向不与任何坐标轴平行的正交投影的子类，斜投影（如卡瓦列投影）是平行投影但不是轴测投影（Wikipedia "Parallel projection"、"Axonometric projection"）。
• 为什么会透视缩短：视空间点乘透视矩阵后得到 $(a,b,c,-p_{Vz})$，除以 w 分量就是除以 $-p_{Vz}$，x、y 被深度除，于是远处的物体变小。正交矩阵只是缩放加平移，因为观察体积在两个空间里都是长方体。
• 屏幕空间以像素为单位，原点通常在左上角、y 朝下（因为 CRT 从上往下扫描）；把裁剪空间坐标缩放平移到屏幕空间叫屏幕映射。视口是投影的目标矩形，可以小于渲染目标；DirectX 的视口还包含深度范围，因而实际上是三维体积，OpenGL 则把二维矩形和深度范围分开设置（卷 II 11.3.9.3–11.3.9.4）。

PBRT 的视角：渲染空间与远离原点的精度（PBRT 4e 5.1.1、5.2）

PBRT 在世界空间之外定义了物体空间、相机空间、相机-世界空间 (camera-world space) 和渲染空间 (rendering space)，投影相机另有屏幕、NDC、光栅三个空间（约定见 投影矩阵 的 PBRT 小节）。

• 问题：浮点数越靠近原点越精确。pbrt 前几版都在世界空间里求交和着色，相机离原点很远时，看到的那部分场景精度不够。书中图 5.1 把场景和相机都平移 1,000,000 个单位后在世界空间渲染，几何上能看到浮点离散化的阶梯。本页验算：float32 在 $10^6$ 附近的间距（ULP）为 0.0625，原本 ±10 个单位的场景在每个轴上只剩约 320 个可表示位置（见 数值表示与浮点数）。
• 相机空间渲染（光栅化的传统做法）精度最好，平移会相互抵消；但建筑等场景的主要结构往往与坐标轴对齐，轴对齐包围盒在一个维度上退化、表面积小，BVH 特别高效；相机一旋转，包围盒就变松，书中该场景渲染时间增加 27%。
• 相机-世界空间（pbrt-v4 默认）：原点平移到相机位置（取帧中点时刻），但不旋转，兼得精度与紧的包围盒，渲染时间不增加（图 5.1(c) 中视点因相机位置本身的精度损失有轻微偏移）。CameraTransform 把 world-from-camera 分解为 render-from-camera（可以动画）和 world-from-render（不可动画），保证相机运动不会让静态几何也变成"动画几何"而拖慢速度。 与上文 GEA 的建议对照：GEA 主张把世界原点放在可玩区域中心附近以减少精度损失；PBRT 的做法更进一步，渲染时总是以相机为原点，相当于大世界游戏中常见的"浮动原点 / 相机相对渲染"。