毛发渲染

毛发由角质层、皮质、髓质三层构成，可看作用曲线离散化的体积。几何上用沿引导曲线挤出的四边形条带并配合 alpha/顺序无关透明；着色用 BSDF（R、TT、TRT 分量），再加体积自阴影与多次散射近似；动物短毛可用壳与鳍或几何着色器挤出（RTR4 14.7 节）。

结构

• 角质层：纤维表面，由与发丝方向约成 $\alpha=3^\circ$ 的重叠鳞片组成，使法线偏向发根。
• 皮质：含决定颜色的黑色素——真黑素（棕）$\sigma_{a,e}=(0.419,0.697,1.37)$，褐黑素（红）$\sigma_{a,p}=(0.187,0.4,1.05)$。
• 髓质：人发中小而常被忽略，动物毛中占比更大、更重要。
• 光照交互用 BSDF 描述（类似 BRDF，但在整个球面上积分）。

几何与 alpha

• 顶点着色器沿美术绘制的引导曲线挤出四边形条带，每条代表一簇头发，适合胡须或短而静态的头发；细长、物理模拟的头发用成千上万条更细的条带，并以发丝切线为轴的圆柱约束朝向视点；少量引导线可插值出新发丝。
• 透明排序：预排序索引缓冲（近头皮的先画）适合短而静态的发型；alpha 测试会严重混叠，可用 MSAA 逐样本 alpha 测试；或用顺序无关透明——TressFX 存最近 $k=8$ 个片元、保留前七层有序，实现多层 alpha 混合。
• mip 缩小导致的 alpha 测试瑕疵：更聪明的 alpha mip 生成或哈希 alpha 测试；细发可按像素覆盖率调整不透明度。睫毛、眉毛可蒙皮跟随，用不透明 BRDF 或 BSDF 着色。

发丝 BSDF

• Kajiya-Kay：有序的无穷小圆柱纤维的 BRDF，最初用于在体积纹理中光线步进渲染毛皮。
• Marschner 等：基于实测的 R/TT/TRT 模型，考虑菲涅尔，但忽略 TRRT 等更长路径，且不守恒。d'Eon 等考虑粗糙度和镜面锥收缩使其能量守恒，扩展 TR*T 路径，用实测黑色素消光系数控制透射。Chiang 等给出对美术更直观的粗糙度与多次散射颜色参数化。为艺术控制，可把 R/TT/TRT 与多次散射分成两套参数，并用简单数学形状表示各分量，按入射/出射方向归一化保持守恒。
• 实时版本：Scheuermann 的经验模型适合大条带；把 Marschner BSDF 存进按入射/出射方向索引的 LUT（难以空间变化外观）；Karis 用简化数学近似前人分量。与离线相比仍有差距，尤其缺少高级体积阴影和多次散射，对低吸收的金发影响最大。

体积阴影、多次散射与环境光

• 简单方案：沿光线方向从第一根头发到当前纤维的距离 $d$，按常数 $\sigma_a$ 求透射率，直接利用普通阴影贴图；但无法表现发簇造成的局部密度变化（太平滑），可改用深阴影贴图，或再结合 PCSS 得到更柔和结果。
• Karis 的多次散射近似：假法线（类似弯曲法线）、包裹漫反射，以及按深度升幂的头发基色乘光照，模拟多次散射后的颜色饱和。
• 双重散射（Zinke 等）：全局透射因子 $\Psi_G$ 由着色点到光源之间每根头发的 BSDF 组合得到，GPU 上统计光路上发丝数与平均朝向（深不透明度贴图或占用图）；局部散射 $\Psi_L$ 近似周围纤维的散射贡献；以 $\Psi_G+\Psi_G\Psi_L$ 送入像素发丝 BSDF。更贵但准确，可配合任意 BSDF。
• 环境光：常用球谐辐照度，乘以静止姿态预积分的非方向性 AO；Karis 也用同一假法线给出经验环境光模型。

毛皮

• 壳 (shells)：Lengyel 等用八层纹理表示离表面不同高度的毛发切片，模型渲染八次、每次沿顶点法线外移；轮廓处毛发碎成点，再在轮廓边上生成带毛发纹理的鳍 (fins) 掩盖。鳍挤出也可给树木网格做复杂轮廓（配合浮雕映射）。
• 几何着色器（《失落的星球》）：先存每像素毛色、长度、角度，再把每个像素变成半透明折线，自动 LOD；先画屏幕上朝下的毛（自下而上排序），再画朝上的（自上而下），保证从后往前混合。
• 蒙皮表面挤出四边形（《星球大战：前线》楚巴卡、TressFX 老鼠演示）。Ling-Qi 等证明动物毛不能视为均匀圆柱：髓质更大更暗，提出双圆柱纤维 BSDF，考虑 TttT、TrRrT、TttRttT 等路径（小写为与髓质的交互）。Ryu 按运动幅度与距离削减发丝实例数作为 LOD。

PBRT 的视角：Curve 形状（PBRT 4e 6.7）

PBRT 用专门的 Curve 形状表示毛发、毛皮和草叶，不做三角化，也就不需要很多存储（书中图 6.31 的兔子有一百多万条曲线）：

• 表示：三次贝塞尔曲线（见 贝塞尔曲线）加从起点到终点线性插值的宽度，构成一条平的二维带子。其他基（Hermite、B 样条）要先转换成贝塞尔基。多段共享一个 CurveCommon（控制点、宽度、法线），每段只存 $[u_{min},u_{max}]$，节省内存；把长曲线拆成几段还能让 AABB 包得更紧。
• 三种类型：Flat 总是面向射线（适合远处的头发、毛）；Cylinder 在 Flat 的基础上旋转 $\partial p/\partial v$ 生成着色法线，看起来像圆柱（适合占几个像素的意大利面）；Ribbon 在两端给定法线，中间用球面线性插值，宽度乘以视线与带子法线夹角的余弦（适合草叶）。原书提醒：Flat 和 Cylinder 并不是一个物理上存在的三维形状，和真实圆柱对比时可能有细微差异。
• 求交：变换到射线坐标系后，射线的二维包围盒只是原点；与曲线段 AABB 不相交就剔除，否则递归二分（变差缩减性），深度上限按"线性化误差小于固定值"计算；最底层用首末点线段近似求最近点，与半宽比较，并用端点处切线的垂线作边函数，避免相邻段重复报告。阴影光线找到任意交点即返回。
• 局限：曲线不能做面光源（没有采样方法）；因为它总朝向射线，新光线必须偏移整个宽度才能保证不自相交，宽曲线应改用双线性面片。
• 与实时做法对照：实时渲染常把发丝展开成面向相机的带子或细三角形条（上文所述），离线渲染直接对曲线求交，思路一致（都是"朝向视线的带子"），区别在于是否预先三角化。更快的离线求交算法有 Reshetov (2017)、Reshetov & Luebke (2018)（Phantom），GPU 友好的剔除见 Binder & Keller (2018)。

PBRT 的视角（二）：HairBxDF 的完整模型（PBRT 4e 9.9）

几何（9.9.1）

Curve 按"始终朝向光线的扁平带"求交，但 BSDF 把交点解释为扫掠圆柱上的点。坐标：纵向角 $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ 为方向与法平面（垂直于发丝切线的平面）的夹角，$\sin\theta=\omega_x$（$\partial p/\partial u$ 对齐 $+x$）；方位角 $\phi$ 为方向在法平面内的投影与 $y$ 轴（$\partial p/\partial v$）的夹角。横向偏移 $h=-1+2v\in[-1,1]$，$\sin\gamma=h$，$\gamma$ 是方向与圆柱法线的夹角。

结构与假设（9.9.2）

角质层（与空气的边界，鳞片倾角 $\alpha$ 约 2–4°）、皮质（约占 90% 体积，色素主要吸收）、髓质（中心，粗发与动物毛中更显著，散射远强于皮质）。模型把角质层当作鳞片倾角一致的粗糙电介质圆柱，内部只吸收不散射，并假设入射与出射在同一点（BSDF 而非 BSSRDF）。按内部路径段数 $p$ 分解，半可分离形式： $f(\omega_o,\omega_i)=\sum_{p=0}^{\infty}\frac{M_p(\theta_o,\theta_i)\,A_p(\omega_o)\,N_p(\phi)}{|\cos\theta_i|}\quad(\text{式 9.47–9.48})$ $p=0$ 为 R，$p=1$ 为 TT，$p=2$ 为 TRT……；前 pMax（=3）项单独计算，其余合成一项。参数：$h$、$\eta$（约 1.55）、按直径度量的 $\sigma_a$、$\beta_m$、$\beta_n$、$\alpha$（度，典型 2）。

三个因子

• 纵向 $M_p$（d'Eon 等 2011，能量守恒）： $M_p=\frac{1}{2v\sinh(1/v)}\,e^{-\frac{\sin\theta_i\sin\theta_o}{v}}\,I_0\!\Big(\frac{\cos\theta_o\cos\theta_i}{v}\Big)\quad(\text{式 9.49})$ $v\le0.1$ 时改用 $\log I_0$ 的形式保证数值稳定。自行验证：$v=0.02,0.3$、$\theta_o=0.2,1.0$ 时 $\int M_p\cos\theta_i\,d\theta_i=1.0000$。$\beta_m\in[0,1]$ 经感知均匀映射得 $v$；$p=1$ 时减小粗糙度（圆柱折射的聚焦），$p\ge2$ 时增大。
• 衰减 $A_p$：把边界当作完美镜面（与 $M_p$、$N_p$ 的光泽假设不同，但效果合理）。修正折射率 $\eta'=\sqrt{\eta^2-\sin^2\theta_o}/\cos\theta_o$ 可直接在法平面内求 $\gamma_t$；一段内部路径长 $l=2\cos\gamma_t/\cos\theta_t$（以直径为单位），透射率 $T=e^{-\sigma_al}$。$A_0=f$（入射角余弦 $\cos\theta_o\cos\gamma_o$），$A_p=(1-f)^2T^pf^{p-1}$，剩余各项求和 $\frac{(1-f)^2T^{p_{\max}}f^{p_{\max}-1}}{1-Tf}$。
• 方位 $N_p$：完美镜面下的净偏转 $\Phi(p,h)=2p\gamma_t-2\gamma_o+p\pi$，再在其周围放截断 logistic 分布（形状类似高斯但可解析积分和采样，见 B.2.5），尺度 $s$ 由 $\beta_n$ 映射。剩余项用均匀分布 $1/(2\pi)$（通常不足总散射的 15%）。

鳞片、互易性与采样（9.9.6–9.9.7）

• 鳞片倾斜通过旋转 $\theta_o$ 模拟：R 项 $+2\alpha$，TT 项 $-\alpha$，TRT 项 $-4\alpha$；于是 R 高光偏上、TRT 偏下，形成两条颜色不同的高光（R 不带发色，TRT 经吸收带色）。预计算 $\sin(2^k\alpha)$、$\cos(2^k\alpha)$（$k=0,1,2$）用倍角公式。
• 模型不互易：鳞片旋转只作用于一个方向，透射项的 $\omega_t$ 只由 $\omega_o$ 决定；作者称实践中未见瑕疵。
• 采样：按各 $A_p$ 的亮度比例离散选 $p$（SampleDiscrete 顺带返回一个新的均匀样本），再精确采样 $M_p$ 与 $N_p$，所以 pdf 与 BSDF 形状完全一致：$\sum_p M_p\tilde A_pN_p$。
• 吸收系数：由真黑色素/褐黑色素浓度乘各自的吸收系数得到 $\sigma_a$（真黑色素约 8、1.3、0.3 分别对应黑、棕、金发）；或用 Chiang 等（2016）的拟合由期望颜色反推。浅色头发需要很多次内部反弹（图 9.55：3 次与 50 次差别明显），渲染更贵。

与上文（RTR4）的对照

RTR4 列举了 Marschner、d'Eon、Chiang 等模型和实时近似；PBRT 实现的正是 d'Eon 的 $M_p$ 加 Chiang 等的 logistic $N_p$ 与参数化。分歧：RTR4 说 TRT 闪烁来自椭圆截面；PBRT 的模型假设圆截面，椭圆截面（Khungurn 与 Marschner 2017）留作习题，并指出那时需要一致的方位坐标系（Curve 返回的 $\partial p/\partial v$ 总垂直于入射光线）。

原书问题（9.9）

• 互易性一节说"鳞片旋转只施加在 $\theta_i$ 上"，而 9.9.6 节正文和代码片段都是旋转 $\theta_o$（"Compute $\sin\theta_o$ and $\cos\theta_o$ terms accounting for scales"）。紧接着"Handle out-of-range $\cos\theta_o$"片段的正文又说 $\cos\theta_i$ 可能略为负。上述几处 $\theta_i$ 应统一为 $\theta_o$（pbrt-v3 旋转的是 $\theta_i$，第 4 版改成 $\theta_o$ 后文字未全部更新，存疑）。
• 图 9.54 图注的 $\beta_n=0.1$ 疑为 0.2：https://github.com/mmp/pbr-book-website/issues/34 （读者复现图形后报告，未经作者确认）。
• 9.9.1 说"$h=\pm1$ 为擦过圆的边缘，$h=0$ 为 edge-on 击中"。$h=0$ 是正对圆心的正面击中，"edge-on"用词与前半句矛盾（措辞问题）。
• 图 9.52 图注说 $p=1$ 时透射方向覆盖圆周"大约 2/3"。自行计算 $\eta=1.55$、$\theta_o=0$ 时 $\Phi(1,h)$ 的范围为 $[1.40,4.88]$ rad，约占 55%；$\theta_o\neq0$ 时 $\eta'$ 更大，范围略宽。"约 2/3"偏高（存疑，取决于图中参数）。