蒙特卡洛积分与重要性采样

渲染方程里的半球积分没有闭式解，只能数值积分。蒙特卡洛积分在定义域里随机取样、按概率密度加权求平均，期望值正好等于积分真值，误差随样本数 $N$ 按 $1/\sqrt{N}$ 下降，而且与积分维数无关，所以成了光线追踪类渲染的数学基础。降低误差的主要手段是让采样分布接近被积函数的形状，也就是重要性采样（GEA4 卷 II 12.6.2、12.6.4）。

两类数值积分

GEA 把求解渲染方程的数值积分方法分成两类（卷 II 12.6 节引言）：

• 有限元方法：把问题切成足够小的有限单元，假设被积函数在单元内近似常数，把积分化成可解的求和。用在辐射度量学里就是辐射度方法 (Radiosity)，见 渲染方程。
• 随机方法（统计方法）：在定义域内随机取样点求被积函数，靠概率论保证样本平均随样本数增加收敛到真值。渲染中最常用的是蒙特卡洛估计器；用到几何光学上，就是在场景里随机发射光线来估计相机传感器收到的辐射亮度（或亮度）。

Kajiya 除了提出渲染方程，另一大贡献就是证明可以用随机方法近似半球积分（卷 II 12.6.2）。

直观例子与基本估计器

• 估计圆面积：在边长 $2r$ 的正方形内随机撒点，落入圆内的比例近似 $\pi r^2/4r^2$（卷 II 12.6.2.1）。
• 一维积分：要求 $Y=\int_a^b y(x)\,dx$，在 $[a,b)$ 内均匀随机取 $X$，$(b-a)\,y(X)$ 就是一个很粗的矩形近似；取 $N$ 个样本求平均得到蒙特卡洛估计器（书中例子 $y=-x^3+5x^2-4x+20$，$a=0.5$，$b=4$，真值约 80.974）：

$\langle Y^N\rangle=(b-a)\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y(X_i)$

尖括号表示估计器，上标 $N$ 只是样本数的记号，不是指数（卷 II 12.6.2.2）。

概率论回顾

• 随机变量把随机过程的结果映射成数值；累积分布函数 $F_X(x)=\Pr\{X\le x\}$ 从 0 单调增到 1；概率密度函数 (PDF) 是它的导数 $p_X=dF_X/dx$。
• 期望 $E[X]=\sum p_iX_i$；连续情形 $E[Y]=\int_\Omega y(x)\,p_X(x)\,dx$；方差 $\sigma^2[Y]=E[Y^2]-E[Y]^2$（卷 II 12.6.2.3）。

一般形式与无偏性

$(b-a)$ 其实是均匀分布 PDF 的倒数，换成任意采样分布的 PDF 就得到一般形式（卷 II 12.6.2.4）：

$\langle Y^N\rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{y(X_i)}{p_X(X_i)}$

利用 $E[aY]=aE[Y]$ 和"和的期望等于期望的和"，可以推出估计器的期望正好是积分真值（卷 II 12.6.2.5）。同样的估计器可以直接用于 $n$ 维积分；渲染方程里的积分对立体角或面积是二维的，但由于光会多次反弹，整个光传输问题的维数理论上是无穷的，实践中靠限制反弹次数让问题可解（卷 II 12.6.2.6）。

误差与收敛速度

估计器的标准差与 $1/\sqrt{N}$ 成正比，并且等于样本本身的标准差除以 $\sqrt{N}$：

$\sigma[\langle F^N\rangle]=\frac{\sigma_{\text{samples}}}{\sqrt{N}}$

因此误差减半需要样本数翻四倍。这个收敛速度不算快，但多数其他数值积分方法的收敛速度依赖维数，高维问题上蒙特卡洛因此占优（卷 II 12.6.2.7、12.6.4）。在光线追踪器里，误差表现为图像噪点。

降低误差有两条路：增加样本数，或降低样本本身的方差，也就是更聪明地选随机光线方向（选一个让样本方差更小的 PDF）。

在半球上均匀采样

直接把两个球坐标角各自均匀随机，点不会均匀分布在半球上，因为立体角微元 $d\omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$ 里有 $\sin\theta$。正确做法是取两个 $[0,1)$ 均匀随机数 $u,v$，令方位角 $=2\pi u$、极角 $=\arccos v$；反余弦正好"抵消"了 $\sin\theta$ 因子。均匀分布时 PDF 为常数，在半球上积分为 1，得 $p=1/2\pi$（卷 II 12.6.3.6）。

重要性采样

估计器的每一项是 $y/p$。如果 $p$ 与 $y$ 形状完全一样（成正比），每个样本取值相同，方差为零。$y$ 本身未知，但可以利用场景、BRDF 和光源位置的知识，让 $p$ 尽量接近 $y$ 的形状，这就是重要性采样（卷 II 12.6.4.1）：

• 余弦采样：朗伯反射在掠射角附近贡献接近零、法线附近最亮，所以把光线集中在法线附近，$p(\ell)=(\mathbf{n}\cdot\ell)/\pi$。被省掉的方向本来贡献就接近零。
• 向"有意思"的方向发射光线，例如沿每个光源的理想镜面反射方向、沿理想折射方向各发一条。
• 多重重要性采样 (MIS)：组合几种各自都不错的采样策略，保留各自的长处（卷 II 12.6.4.2）。

俄罗斯轮盘赌

递归光线追踪需要终止条件。固定最大深度会引入偏差，因为最重要的光路不一定最短。俄罗斯轮盘赌给每条光线引入一个"吸收"概率：掷骰子，结果小于阈值 $P$ 才继续递归，否则当作光被吸收；为了不改变期望，继续的那部分要除以 $P$ 补偿（卷 II 12.6.3.7）。

GEA 原书中的问题（原书问题）

以下按原文与常规定义并列，未直接改写原书结论。概率论定义的依据：Pharr, Jakob, Humphreys《Physically Based Rendering》第 4 版 2.1 节（PDF 定义、估计器方差 $\propto 1/N$、标准差 $\propto 1/\sqrt N$，在线版 pbr-book.org）；Wikipedia "Probability density function"、"Monte Carlo integration"。

PBRT 的视角

pbrt 第 4 版（下称 PBRT）第 2 章把蒙特卡洛当作全书的数学底座来讲，比 GEA 更形式化，并且直接给出 pbrt 里用到的方差缩减手段。下面按节归纳；采样分布的构造（逆变换法、雅可比变换、边缘/条件密度）放在 随机变量变换与逆变换采样。

估计器、无偏与收敛（2.1 节）

• 随机算法分两类：拉斯维加斯 (Las Vegas) 算法结果总是一样（如随机选主元的快排），蒙特卡洛算法结果随随机数变化、但平均意义上正确（第 2 章引言）。
• 一般估计器 $F_n=\frac1n\sum_{i=1}^n f(X_i)/p(X_i)$（式 2.7），唯一要求是 $|f(x)|>0$ 处 $p(x)>0$。pbrt 里 RandomWalkIntegrator 的 $1/(4\pi)$ 因子就是球面均匀采样的 PDF（2.1.3）。
• 方差 $V[F]=E[F^2]-E[F]^2$（式 2.9）；独立样本的方差可加（式 2.10），所以方差按 $1/n$、误差（标准差）按 $O(n^{-1/2})$ 下降，且与维数无关（2.1.4）。
• 效率 $\epsilon[F]=1/(V[F]\,T[F])$：方差减半但耗时三倍的估计器反而更差，因为同样时间里前者可以取三倍样本、得到 3 倍方差缩减（2.1.4）。
• 偏差 $\beta=E[F]-\int f$；有偏但误差随 $n\to\infty$ 趋零的估计器叫一致 (consistent)。Kalos & Whitlock 的例子：估计 $U[0,1]$ 的均值，$\frac1n\sum X_i$ 无偏、方差 $O(n^{-1})$；$\frac12\max(X_1,\dots,X_n)$ 的期望为 $0.5\,n/(n+1)$（$n=10$ 时 $\approx0.4545$），有偏但方差 $O(n^{-2})$。pbrt 的估计器基本都无偏，例外是 SPPMIntegrator（随机渐进光子映射）。
• 均方误差 $\mathrm{MSE}=E[(F-\int f)^2]$ = 方差 + 偏差²；样本方差用 $\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$（Bessel 修正，式 2.11），数值稳定算法见附录 B.2.11。样本方差本身也有方差：一个 99.99% 取 1、0.01% 取 $10^6$ 的变量，十个样本全是 1 时样本方差为 0。pbrt 自带的 imgtool diff 可以对参考图算 MSE。

分层采样（2.2.1）

把定义域 $\Lambda$ 切成互不重叠、覆盖全域的层 $\Lambda_i$（体积占比 $v_i$），每层取 $n_i$ 个样本。取 $n_i=v_in$ 时分层估计器方差为 $\frac1n\sum v_i\sigma_i^2$，而不分层的方差是

$V[F]=\frac1n\Big[\sum v_i\sigma_i^2+\sum v_i(\mu_i-Q)^2\Big]\quad(\text{式 2.12})$

（$\mu_i$ 为层内均值，$Q$ 为全域均值）。右边第二项非负，所以分层永远不会增大方差，只有各层均值完全相同时才没有收益；层越紧凑、各层均值差得越多越好。缺点是维数灾难：$D$ 维每维 $S$ 层需要 $S^D$ 个样本，实际做法是各维分别分层再随机配对（第 8 章 8.5），并优先分层对被积函数影响相关性最强的维度（Owen 1998）。

重要性采样的数值例子（2.2.2）

$p\propto f$ 时 $p=f/\int f$，每个样本 $f/p$ 都等于积分本身，方差为零，但需要先知道答案；实际只求 $p$ 与 $f$ 形状相近。书中例子：$f(x)=e^{-1000(x-1/2)^2}$ 在 $[0,1]$ 上积分（真值 $\sqrt{\pi/1000}\approx0.05605$）。

• 均匀采样：方差约 0.0365（本页复算 0.03649，一致）。
• 好的分段常数 PDF（$[0.45,0.55)$ 上 9.1，其余 0.1，积分为 1）：书中说方差降约 6.7 倍。
• 差的 PDF（$[0.4,0.6)$ 上 0.2，其余 1.2）：书中说比均匀采样高约 5.4 倍（复算 5.34，一致），比好的 PDF 高"近 36 倍"。
• 复算出入见下文"原书问题"。

多重重要性采样（2.2.3）

被积函数常是乘积 $f_af_b$（BSDF × 入射辐亮度 × 余弦）。只按 $p_a$ 采样，方差正比于 $f_b$ 的方差，反之亦然；两种估计器简单平均也没用，因为方差可加，加进来的方差去不掉。MIS 估计器：

$F_n=\sum_{i}\frac1{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}w_i(X_{i,j})\frac{f(X_{i,j})}{p_i(X_{i,j})}$

无偏条件：$f\ne0$ 处 $\sum_iw_i=1$，且 $p_i=0$ 处 $w_i=0$。

• 平衡启发式 (Balance Heuristic) $w_i=n_ip_i/\sum_jn_jp_j$（式 2.14）：每个样本除以"所有策略在该点的 PDF 之和"，某策略低概率撞到的高值样本被自动压低。
• 幂启发式 (Power Heuristic) $w_i=(n_ip_i)^\beta/\sum_j(n_jp_j)^\beta$（式 2.15），pbrt 固定 $\beta=2$，通常方差更低。pbrt 只实现两分布版本（BalanceHeuristic()、PowerHeuristic()）。
• 单样本模型 (Single-Sample Model)：以概率 $q_i$ 选一种策略取一个样本，估计 $\frac{w_i(X)}{q_i}\frac{f(X)}{p_i(X)}$（式 2.16）；此时平衡启发式可证明最优。
• 如果某一策略本身已与被积函数完美匹配，MIS 会略增方差；渲染中几乎总是值得用。
• MIS 补偿 (MIS Compensation)：只要求至少一个 PDF 在 $f\neq0$ 处非零，所以可以把其中一个分布"削尖"：$p'(x)=\max(0,p(x)-\delta)/\int\max(0,p-\delta)$，把低值区域交给其他策略。对表格化分布特别容易，pbrt 用于环境贴图光源采样（12.5 节）。

俄罗斯轮盘赌与分裂（2.2.4–2.2.5）

• 俄罗斯轮盘赌：以概率 $q$ 不求估计器、用常数 $c$（常取 0）代替；否则求值并按 $F'=(F-qc)/(1-q)$ 加权。$E[F']=(1-q)\frac{E[F]-qc}{1-q}+qc=E[F]$。它从不降低方差（除非 $c=F$），只是通过跳过贡献小的昂贵样本（如可见性光线）提升效率。
• 分裂 (Splitting)：对 $\int_A\int_Bf$，每个外层样本 $X_i$ 配 $m$ 个内层样本 $Y_{i,j}$，估计 $\frac1n\sum_i\frac1m\sum_j\frac{f(X_i,Y_{i,j})}{p_x(X_i)p_y(Y_{i,j})}$。渲染中的例子：每条相机光线（像素面积积分）配多条光照积分样本，摊薄相机光线的成本。

与 GEA 的对照

原书问题（PBRT 第 2 章）

PBRT 的视角（第 8 章）：频域方差分析与拟蒙特卡洛

方差的傅里叶分析（8.2.1）

假设：样本均匀、等权（不做重要性采样），估计器无偏，样本性质在环面平移下均匀。用傅里叶级数（而非傅里叶变换，避免定义域边界的不连续带来 Gibbs 误差）表示 $[0,1)$ 上的函数，把估计器写成 $\int f(x)s(x)dx$，其中 $s(x)=\frac1n\sum_i\delta(x-x_i)$。由于 $s_0=1$，误差为 $\big|\sum_{j\ne0}\overline{f_j}s_j\big|$，方差为 $V\Big[\frac1n\sum_i f(x_i)\Big]=\sum_{j\ne0}\mathcal P_f(j)\,\mathcal P_s(j).$ 推论：

• 采样模式的功率谱应在函数功率谱大的地方小。函数能量通常集中在低频，所以采样模式应在低频能量小，也就是蓝噪声，与抗锯齿的要求相同（见 抗锯齿）。
• 白噪声采样 $\mathcal P_s=1/n$，方差 $O(1/n)$，与第 2 章结论一致。二维抖动对光滑被积函数可达 $O(n^{-2})$。
• 带限函数只要采样率超过最高频率就能零方差积分，约为完美重建所需采样率的一半（Durand 2011）。书中说"至少等于"，差一个边界情形，见下文原书问题。
• 泊松圆盘采样多年被认为优于抖动，但其 PSD 在低频一直残留少量能量，渐近方差不会好于 $O(n^{-1})$，比抖动差（小 $n$ 时可能更好）。

差异度、QMC 与 RQMC（8.2.2）

• 星差异度 $D_n^*$：对所有以原点为一角的盒子，取"盒内点数占比"与"盒子体积"之差的上确界。例：一维 $x_i=i/n$ 的 $D_n^*=1/n$，改为 $(i-\tfrac12)/n$ 后为 $1/(2n)$，这是一维最优。书中图 8.19：4 个点中 1 个落在 $0.3\times0.3$ 的盒内，该盒的差异为 $0.25-0.09=0.16$。
• 低差异：$D_n^*=O((\log n)^d/n)$。Koksma–Hlawka 不等式 $|\int f-\frac1n\sum f(x_i)|\le D_n\,\mathcal V_f$（$\mathcal V_f$ 为全变差）。所以 QMC 误差渐近接近 $O(n^{-1})$，优于 MC 的 $O(n^{-1/2})$。
• 一维中均匀网格差异度最优，但傅里叶分析却偏好抖动，两种分析视角在这里不一致。高维低差异点远不如一维均匀，实践中效果好，但规则性仍可能带来走样。
• QMC 是确定性的，不能用方差衡量；随机化 QMC (RQMC) 在不破坏差异度的前提下随机化，又可以谈方差，而且可能提高收敛率。RQMC 是 pbrt 大多数积分算法的基础。各种序列的构造见 低差异序列。
• 隐患：采样器给出的拟随机点若被不适合 QMC 的算法使用，可能引入细微错误；书中的积分器都没有这种情况。

原书问题（8.2 节；2026-10-13 按书中式 8.8 的 $e^{-i2\pi jx}$ 约定复核，均成立）

• 8.2.2 写"随着被积函数维度 $d$ 增大，低差异积分误差趋近 $O(n^{-1})$"。由 $(\log n)^d/n$ 可知 $d$ 越大界越差；趋近 $O(n^{-1})$ 的是固定 $d$ 时样本数 $n$ 增大的极限。
• 式 (8.9) 傅里叶级数合成式写成 $f(x)=\sum_j f_je^{-i2\pi jx}$，与分析式 (8.8) 的 $e^{-i2\pi jx}$ 同号，应为 $e^{+i2\pi jx}$（SVG 解码确认负号）。
• 8.2.1 零方差条件差一个边界（2026-10-13 审读新增）：书中说带限函数（$f_j=0$，$|j|>j_{\max}$）只要采样率"至少等于"最高频率，就有"$s_j=0$ 对所有 $0<j<j_{\max}$"并得到零方差估计。均匀网格 $n$ 点的 $s_j$ 在 $n\mid j$ 时为 1、否则为 0；要消掉误差需要 $s_j=0$ 对 $0<|j|\le j_{\max}$ 成立，即 $n>j_{\max}$。反例：$f=\cos(2\pi\cdot2x)$（$j_{\max}=2$，积分为 0），取 $n=2$ 个等距点 $\{0,\tfrac12\}$ 得估计值 1，取 $\{\tfrac14,\tfrac34\}$ 得 $-1$，都不是 0。所以条件应是采样率严格大于最高频率，范围也应包含 $j_{\max}$。延伸阅读对 Durand（2011）的转述（"只需等于"）也是同样的问题。
• 8.2 延伸阅读文献表 "Singh et al. 2019a ... 38 (2), 473–71" 页码有误，应为 473–491（Crossref，https://doi.org/10.1111/cgf.13653）。
• 式 (8.11) 最右端 $\sum_{j\in\mathbb Z^*}\overline{f_j}s_j$ 少了绝对值。
• 8.4 说独立均匀随机点的差异度"为 1，最坏"，论据是所有点都取 0 或 1 这种极端情形，指的是最坏情况。随机点集差异度的典型量级其实约为 $O(\sqrt{\log\log n/n})$（重对数律），远小于 1。属于表述过强。

取舍

• PBRT 的补充：俄罗斯轮盘赌与分裂是用方差换时间（或时间换方差）的效率工具，比较估计器时看 $1/(V\cdot T)$ 而不是只看方差。
• 优点：只需对被积函数做点评估、实现简单、与维数无关、样本越多越准，可以渐进细化。
• 缺点：收敛慢，交互帧率下每像素只有很少样本，必然有噪点，因此实时路径追踪离不开降噪（见 随机光线追踪与路径追踪）。
• 采样策略要无偏：截断深度、只采部分方向等做法会让图像系统性偏暗或偏色，而不是仅仅更"噪"。

GPU Gems 的视角：实时 BRDF 重要性采样与 mip 过滤（GPU Gems 3 第 20 章）

来源：同 Colbert & Křivánek；摘录见 Chapter 20. GPU-Based Importance Sampling — Colbert, Křivánek。把经典 MC 估计量搬进单通道片元着色器。

Phong 光泽瓣归一化为 PDF 后，用边际/条件概率把二维均匀随机数映成球坐标方向（式 7–8），再转到世界系。低差异序列降低 discrepancy；样本数少时用环境图 mip 当滤波器抑制走样，等价于「每个样本代表一块立体角」。这是实时路径上「重要性采样 + 预过滤」的早期实用配方，与 PBRT 离线多技术 MIS 目标相同但约束在固定样本预算与 GPU 常量寄存器。