双向反射分布函数

BRDF $f(\mathbf{l},\mathbf{v})$ 量化局部反射：只依赖入射方向 $\mathbf{l}$ 和出射（观察）方向 $\mathbf{v}$，涵盖表面反射与局部次表面散射。它通过反射方程把入射辐射亮度转换为出射辐射亮度，物理上需满足 Helmholtz 互易性与能量守恒，用方向反照率检验。方向光和精确光源可从小面光源的极限推导，使积分变为对光源的求和。本页对应 RTR4 9.3–9.4 节。

定义与参数化

• 目标是计算 $L_i(\mathbf{c},-\mathbf{v})$；按约定 $L_i()$ 的方向向量背离给定点，$\mathbf{v}$ 总指向相机。无参与介质时 $L_i(\mathbf{c},-\mathbf{v})=L_o(\mathbf{p},\mathbf{v})$，$\mathbf{p}$ 为视线与最近表面的交点。
• BRDF 最初针对均匀表面定义；随位置变化的称空间变化 BRDF (SVBRDF)，但实践中通常直接叫 BRDF 并默认依赖位置。
• 入射、出射方向各两个自由度（相对法线的仰角 $\theta$ 和绕法线的方位角 $\phi$），一般 BRDF 有 4 个标量变量。各向同性 BRDF 在两方向绕法线同时旋转时不变，只需 3 个变量（相对方位角 $\phi$，无需参考切线）：放在转盘上旋转外观不变。
• 不考虑荧光、磷光，同一波长进出。实时渲染总是让 BRDF 返回光谱值，即 RGB。

反射方程

$L_o(\mathbf{v})=\int_{\mathbf{l}\in\Omega}f(\mathbf{l},\mathbf{v})\,L_i(\mathbf{l})\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})\,d\mathbf{l}$

• $\Omega$ 是以 $\mathbf{n}$ 为中心的单位半球；$\mathbf{l}$ 连续扫过所有入射方向，不是某个"光源方向"。
• 球坐标下 $d\mathbf{l}=\sin\theta_i\,d\theta_i\,d\phi_i$： $L_o(\theta_o,\phi_o)=\int_{\phi_i=0}^{2\pi}\int_{\theta_i=0}^{\pi/2}f(\theta_i,\phi_i,\theta_o,\phi_o)\,L(\theta_i,\phi_i)\cos\theta_i\sin\theta_i\,d\theta_i\,d\phi_i$
• 用 $\mu=\cos\theta$ 代换时 $d\mathbf{l}=d\mu_i\,d\phi_i$，被积式变为 $f\,L\,\mu_i$，$\mu_i$ 从 0 积到 1。

背面方向的处理

• BRDF 只在光和视线都在表面上方时有定义。光在下方可乘 0 或不计算。
• 理论上 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}<0$ 不会出现，但插值顶点法线和法线贴图会造成这种情况。钳制到 0 或取绝对值都可能产生瑕疵；Frostbite 用 $|\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}|$ 加 0.00001 避免除零；另一种做法是"软钳制"，在夹角超过 90° 后逐渐趋于 0。

物理约束

• Helmholtz 互易性：$f(\mathbf{l},\mathbf{v})=f(\mathbf{v},\mathbf{l})$。渲染用的 BRDF 常违反它而无明显瑕疵，只有双向路径追踪等离线算法特别需要；但它是判断 BRDF 是否物理合理的有用工具。
• 能量守恒：出射能量不超过入射（自发光表面另行处理）。路径追踪需要它保证收敛；实时渲染不必精确守恒，但近似守恒很重要，严重违反会过亮而显得不真实。
• 方向-半球反射率（衡量某入射方向的能量损失）： $R(\mathbf{l})=\int_{\mathbf{v}\in\Omega}f(\mathbf{l},\mathbf{v})(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})\,d\mathbf{v}$ 半球-方向反射率 $R(\mathbf{v})=\int_{\mathbf{l}\in\Omega}f(\mathbf{l},\mathbf{v})(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})\,d\mathbf{l}$。BRDF 互易时两者相等，统称方向反照率 (directional albedo)。
• 能量守恒要求所有 $\mathbf{l}$ 下 $R(\mathbf{l})\le1$；$R$ 每个 RGB 分量在 $[0,1]$，可看作颜色。BRDF 本身没有此限制：作为分布函数，在高光中心等方向可以任意大。

Lambert BRDF

• 常数 BRDF，其方向-半球反射率也是常数：$R(\mathbf{l})=\pi f(\mathbf{l},\mathbf{v})$。这个常数称漫反射色 $\mathbf{c}_{\text{diff}}$ 或反照率 $\rho$，本章称次表面反照率 $\rho_{ss}$： $f(\mathbf{l},\mathbf{v})=\frac{\rho_{ss}}{\pi}$
• $1/\pi$ 来自余弦在半球上积分为 $\pi$。Lambert 着色中的 $(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})$ 属于反射方程，不属于 BRDF。它常用于表示局部次表面散射，但正被更准确的模型取代。
• 可视化 BRDF 时固定入射方向：球形部分是漫反射分量，椭球形部分是镜面波瓣（宽度对应反射的模糊度）；书中示例还有 Blinn-Phong、Cook-Torrance（高光并不在反射方向最强）、Ward 各向异性（波瓣倾斜）、Hapke/Lommel-Seeliger 月面 BRDF（强逆反射）。

从面光源推导精确光源 (RTR4 9.4)

• 全局光照用渲染方程计算 $L_i$（反射方程是其特例，见第 11 章）；本章与下一章做局部光照，$L_i$ 已知，并限定为方向光与精确光源。它们是非物理的抽象，但从物理光源推导出来，才能清楚误差所在。
• 取一个小而远的面光源，$\mathbf{l}_c$ 指向其中心；把光色 $\mathbf{c}_{\text{light}}$ 定义为正对光源的白色 Lambert 表面的反射辐射亮度（直观，光色直接对应视觉效果）。保持 $\mathbf{c}_{\text{light}}$ 不变把面积缩到 0，得到方向光，积分化为一次 BRDF 求值： $L_o(\mathbf{v})=\pi f(\mathbf{l}_c,\mathbf{v})\,\mathbf{c}_{\text{light}}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l}_c)^+$
• 精确光源同理，只是不要求远处，且 $\mathbf{c}_{\text{light}}$ 按距离平方反比衰减。多光源时求和：$L_o(\mathbf{v})=\pi\sum_{i=1}^{n}f(\mathbf{l}_{c_i},\mathbf{v})\,\mathbf{c}_{\text{light}_i}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l}_{c_i})^+$。
• 这里的 $\pi$ 与 BRDF 中常见的 $1/\pi$ 抵消，把除法移出着色器、公式更易读；但移植学术论文中的 BRDF 时通常要先乘以 $\pi$。

GEA 的视角：BxDF 家族、物理约束与 BRDF 图（卷 II 12.3.2、12.4.3.2、12.4.3.6）

• 定义方式：GEA 把 BRDF 定义为反射亮度对来自某方向的入射辐照度的导数 $f_r(\mathbf{x},\Psi\to\Theta)=dL_r(\mathbf{x}\to\Theta)/dE(\mathbf{x}\leftarrow\Psi)$，与本页的定义等价。名字的三部分：双向，因为 Helmholtz 互易；反射，因为描述反射或散射；分布，因为描述给定入射方向时出射光在半球上的分布。GEA 强调 BRDF 并不直接把辐照度换成亮度，一般必须对所有入射方向积分（卷 II 12.3.2）。

  原书问题（12.3.2）："双向"一词来自 BRDF 是入射、出射两个方向的函数（Nicodemus 等, Geometrical Considerations and Nomenclature for Reflectance, NBS Monograph 160, 1977），并不是因为 Helmholtz 互易；互易性是物理 BRDF 额外满足的性质（pbrt 第 3 版 5.6.1 节把它列为"物理 BRDF 的重要性质"之一），而且 BTDF 一般不满足这种简单互易，却同样叫"双向"。

• BxDF 家族：只描述单点反射的叫 BRDF；描述穿过透光界面并折射的叫 BTDF（双向透射分布函数）；描述从一点进入、另一点射出的次表面散射叫 BSSRDF；类型不重要时统称 BxDF。随表面位置变化的叫空间变化 BxDF（SVBxDF），不过多数人对两者都笼统地叫 BxDF（卷 II 12.3.2.1，见 漫反射与次表面 BRDF）。真实材质大多非均匀（$f_r$ 随 $\mathbf{x}$ 变），图形学里常假设均匀从而省掉 $\mathbf{x}$；BxDF 一般是各向异性的（绕法线旋转会变），但许多真实材质是各向同性的——放在转盘上转动外观不变。

  原书问题（12.3.2.1）：GEA 说式 (12.14) 中的 $f_r$ 也可以是 BSSRDF。BSSRDF $S(\mathbf{x}_o,\omega_o;\mathbf{x}_i,\omega_i)$ 联系的是不同的入射点与出射点，代入渲染方程时除了对入射方向积分还必须对表面积分（2D 积分变成 4D），不能直接放进只对单点半球积分的式 (12.14)（pbrt 第 3 版 5.6.2 节）。BTDF 也需要把积分域扩展到整个球面。

• 各向异性与各向同性：一般的 BxDF 绕法线旋转会变化（各向异性）；很多真实材质是各向同性的，放在转盘上旋转外观不变。
• 物理可信的三条要求：非负 $f_r\ge0$（原书措辞为 "strictly positive"，但给出的式子是 $\ge0$，即非负；完全吸收的方向上 BRDF 可以为 0）；满足 Helmholtz 互易 $f_r(\mathbf{x},\ell\to\mathbf{v})=f_r(\mathbf{x},\mathbf{v}\to\ell)$；能量守恒，即对所有 $\ell$，反射率 $\rho=\int_\Omega f_r(\mathbf{x},\ell\to\mathbf{v})(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})\,d\omega_v\le1$。与本页「物理约束」一节的两条一致，GEA 另把非负单独列出。
• Lambert BRDF：由 $\int_\Omega\cos\theta\,d\omega=\pi$ 得 $f_{\text{diff}}=C_{\text{diff}}/\pi$，与本页「Lambert BRDF」一致；GEA 补充说，常见做法把 $1/\pi$ 并入漫反射色，此时这个"颜色"其实是 BRDF 而不是反射率（卷 II 12.4.3.2，见 着色方程与经典光照模型）。
• BRDF 图的三种画法：三维曲面（某方向的半径等于该方向的 BRDF 值，漫反射是半球、镜面多一个拉长的波瓣）；用过原点的平面切出的二维截面；或把球面按值着色（蓝表示接近零、绿黄为中间值、红为最大）。一张 BRDF 图只对应一个固定入射方向的"快照"，入射方向变了形状也会变（卷 II 12.4.3.6）。

PBRT 的视角：BRDF、BTDF、BSDF 与 BSSRDF（PBRT 4e 4.3）

• 方向约定：PBRT 里 $\omega_i$ 永远指"所关心的量（这里是辐亮度）从哪里来"，而不是积分器从哪里到达表面。
• 定义：微分辐照度 $dE(p,\omega_i)=L_i(p,\omega_i)\cos\theta_i\,d\omega_i$（式 4.10），由线性假设 $dL_o\propto dE$，比例常数就是 BRDF：

$f_r(p,\omega_o,\omega_i)=\frac{dL_o(p,\omega_o)}{L_i(p,\omega_i)\cos\theta_i\,d\omega_i}\quad(\text{式 4.11})$

• 两条物理约束：互易性 $f_r(p,\omega_i,\omega_o)=f_r(p,\omega_o,\omega_i)$；能量守恒 $\int_{H^2}f_r(p,\omega_o,\omega')\cos\theta'\,d\omega'\le1$。BRDF 单点值可以大于 1，受约束的只是积分。
• 两个反射率：半球-方向反射率 $\rho_{hd}(\omega_o)=\int_{H^2}f_r|\cos\theta_i|\,d\omega_i$（式 4.12，由互易性，"均匀照明下往某方向的总反射"与"某方向来光在半球上的总反射"相等）；半球-半球反射率 $\rho_{hh}=\frac1\pi\iint f_r|\cos\theta_o\cos\theta_i|\,d\omega_o\,d\omega_i$（式 4.13）。$\rho_{hd}$ 在 RTR4 中称方向反照率，见上文"物理约束"。
• BTDF $f_t$：$\omega_i,\omega_o$ 在两侧半球；它不满足上面形式的互易性（PBRT 把原因留到第 9 章 9.5.2 节讨论）。BRDF 与 BTDF 合称 BSDF $f(p,\omega_o,\omega_i)$。
• 绝对值余弦：pbrt 不把法线翻到 $\omega_i$ 同侧（保留 Shape 给出的自然朝向，便于"法线朝外"等约定），所以写 $|\cos\theta_i|$。
• 散射方程：

$L_o(p,\omega_o)=\int_{S^2}f(p,\omega_o,\omega_i)L_i(p,\omega_i)|\cos\theta_i|\,d\omega_i\quad(\text{式 4.14})$

在整个球面 $S^2$ 上积分叫散射方程，只在上半球积分就是反射方程（与本页"反射方程"一节相同）。第 13–15 章积分器的核心任务就是在表面点上估计这个积分。

• BSSRDF $S(p_o,\omega_o,p_i,\omega_i)=dL_o(p_o,\omega_o)/d\Phi(p_i,\omega_i)$（式 4.15）：出射点可以不同于入射点，散射方程变成对面积和方向的四维积分（式 4.16）；$p_i,p_o$ 距离越大 $S$ 越小，这是次表面算法能高效实现的关键。次表面传输与参与介质遵循同一个传输方程（14.1 节），只是尺度更小。实时近似见 实时次表面散射。
• 游戏开发提示：引擎里常见的"N·L 钳到 0"相当于只在上半球积分的反射方程；离线/路径追踪器需要处理透射时，要像 pbrt 一样用 $|\cos|$ 并显式区分两侧半球。

PBRT 的视角（二）：BxDF 接口与反射模型的实现约定（PBRT 4e 第 9 章 9.1–9.2）

• 反射模型的五种来源：实测数据、唯象模型（参数直观，如"粗糙度"）、微结构模拟、波动光学（解 Maxwell 方程，适用于薄膜、CD 等微米级结构）、几何光学（忽略衍射，从微几何推导闭式模型）。
• 四类反射：漫反射、有光泽镜面 (glossy specular)、完美镜面、逆反射（天鹅绒、月球）。真实表面多是混合。pbrt 的 BxDFFlags 只区分 Reflection/Transmission × Diffuse/Glossy/Specular，逆反射归入 glossy。各向同性/各向异性：绕法线旋转表面时反射是否改变（拉丝金属、头发、许多布料是各向异性的）。
• 着色坐标系：切线 $s$、$t$ 与法线 $n$ 对齐到 $x,y,z$ 轴，所有 BxDF 都在这个局部系里计算，$\cos\theta=\omega_z$，同半球测试只比较 $z$ 的符号。BSDF 类是包装：持有 Frame（由着色法线与 $\partial p/\partial u$ 构造），负责渲染空间与局部空间互转；$\omega_o$ 恰在切平面上时直接返回 0，避免 NaN。
• 方向约定：$\omega_i$、$\omega_o$ 都归一化并朝外，不表示光的实际传播方向；法线总指向物体"外侧"，pbrt 不把法线翻到 $\omega_o$ 一侧，因此 $\omega_i$ 与 $n$ 同侧即"光在进入"。Sample_f() 给定 $\omega_o$ 采样 $\omega_i$，因为路径是逆着能量传播方向构建的。
• 接口：f() 求值；Sample_f(wo, uc, u2) 用一维样本 uc 选分量（反射/透射）、二维样本 u 选方向，不要拿 uc 和 u[0] 组成方向，因为两者不保证联合分布良好；返回 BSDFSample（值、方向、对立体角的 PDF、标志，以及 pdfIsProportional：随机游走型 BxDF 如 14.3 节的 LayeredBxDF 只能给出与真值成同一比例的 $f$ 和 pdf）。PDF() 供 MIS 使用。接口假设各波长互不串扰；荧光需要 $n\times n$ 矩阵。
• 反射率估计：rho() 用蒙特卡洛估计 $\rho_{hd}\approx\frac1n\sum f_r|\cos\theta_j|/p(\omega_j)$ 与 $\rho_{hh}$（后者先均匀采样 $\omega_o$，再用 Sample_f 采样 $\omega_i$，共 5 维样本）。
• Delta 分布约定（9.1.4）：完美镜面的 $f_r$ 与 pdf 含成对的 Dirac delta，估计器 $f_r/p$ 中 delta 相消；因此 Sample_f() 返回 pdf=1（隐含 delta），而 f() 与 PDF() 对任何方向都返回 0（其他策略随机命中该方向的概率为零）。
• Lambert（9.2）：$f_r=R/\pi$，$R\in[0,1]$；用余弦加权半球采样，书中测试场景 MSE 比均匀半球采样低 2.34 倍且无额外开销。掠射角下真实表面的镜面反射使 Lambert 偏差变大；PTFE 粉末是极好的 Lambert 反射体，常用于校准实验设备。
• 各具体模型见 菲涅耳反射（镜面、导体、电介质、薄电介质）、微表面理论（粗糙导体与粗糙电介质）、测量 BRDF 与数据驱动反射模型、毛发渲染。

原书问题（9.1–9.4）

• 9.1.2 说 Sample_f() "通过 uc 和 u 取三个 $[0,1)^2$ 中的均匀样本"；uc 是一维样本，应为"$[0,1)$ 中的一个与 $[0,1)^2$ 中的一个，共三个值"（措辞问题）。
• 9.4 说 pdf 取 1 "依 9.1.2 节对 delta 分布 BSDF 的讨论"，该讨论实际在 9.1.4 节。
• 第 9 章延伸阅读与文献表：正文"Marscher's Ph.D. dissertation (1998)"应为 Marschner（文献表本身拼写正确）；"Subr and Arvo 2007a … In Pacific Graphics '97"应为 Pacific Graphics 2007；"Weyrich et al. 2009 … (Proceedings of SIGGRAPH 2008) 28 (3)"，TOG 28(3) 是 SIGGRAPH 2009 论文集；"Twomey et al. 1966 … Journal of the Atmospheric Sciences 32"，1966 年该刊为第 23 卷（第 32 卷是 1975 年，存疑）。