几何图元的表示

直线、射线与线段（卷 I 5.6.1）

• 直线：点 $\mathbf{P}_0$ 加单位方向 $\mathbf{u}$，参数方程 $\mathbf{P}(t)=\mathbf{P}_0+t\mathbf{u},\ -\infty<t<\infty$。（原文此处正文把方向写作 $\mathbf{v}$、公式写作 $\mathbf{u}$，应为笔误，本页统一用 $\mathbf{u}$。）
• 射线：同一方程加约束 $t\ge0$。
• 线段：两端 $\mathbf{P}_0$、$\mathbf{P}_1$，令 $\mathbf{L}=\mathbf{P}_1-\mathbf{P}_0$、$L=|\mathbf{L}|$、$\mathbf{u}=\mathbf{L}/L$，有两种写法：
  1. $\mathbf{P}(t)=\mathbf{P}_0+t\mathbf{u},\ 0\le t\le L$；
  2. $\mathbf{P}(t)=\mathbf{P}_0+t\mathbf{L},\ 0\le t\le1$。
• 第 2 种更方便：参数归一化到 [0, 1]，不必另存长度 $L$——它已编码在必须存储的 $\mathbf{L}=L\mathbf{u}$ 中。

球（卷 I 5.6.2）

中心 $\mathbf{C}$ 加半径 $r$，正好装进一个四元素向量 $[C_x\ C_y\ C_z\ r]$。能把数据打包成 4 个 32 位浮点（128 位）对 SIMD 有明显好处（见 SIMD 向量化）。球-球相交测试见 点与向量运算。

平面（卷 I 5.6.3）

• 传统方程 $Ax+By+Cz+D=0$；也可用点法式 (point-normal form)：面上一点 $\mathbf{P}_0$ 加单位法线 $\mathbf{n}$。
• $[A\ B\ C]$ 就是法线方向。归一化后 $[a\ b\ c]=\mathbf{n}$，$d=D/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 是平面到原点的距离：法线指向原点（原点在平面「正面」）时 $d$ 为正，背离原点时为负。
• 两种形式是同一个方程：点 $\mathbf{P}$ 在平面上当且仅当 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{P}=\mathbf{n}\cdot\mathbf{P}_0$，即 $ax+by+cz+d=0$，其中 $d=-\mathbf{n}\cdot\mathbf{P}_0$。
• 点不在平面上时，左边给出点到平面的垂直有向距离：$h=(\mathbf{P}-\mathbf{P}_0)\cdot\mathbf{n}=ax+by+cz+d$，与 点与向量运算 中用点积求高度是同一公式。
• 四元素存储：$\mathbf{L}=[\mathbf{n}\ d]=[a\ b\ c\ d]$。点写成 $w=1$ 的齐次坐标时，$\mathbf{L}\cdot\mathbf{P}=0$ 是 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{P}=-d$ 的又一种写法。
• 变换平面：若 $\mathbf{M}_{A\to B}$ 变换点和普通向量，则对四元素平面向量 $\mathbf{L}$ 施加逆转置 $(\mathbf{M}_{A\to B}^{-1})^T$ 即可把平面从 A 变到 B，与法线变换同理（见 基本仿射变换）。GEA 未证明，推导参见 Lengyel 书 4.2.3 节。

轴对齐包围盒 AABB（卷 I 5.6.4）

• 六个面与某坐标系的轴对齐的长方体，用六元素向量 $[x_{min},y_{min},z_{min},x_{max},y_{max},z_{max}]$ 或两个点 $\mathbf{P}_{min}$、$\mathbf{P}_{max}$ 表示。
• 点在内部：$x_{min}\le P_x\le x_{max}$ 且 y、z 同理，六个比较全部成立。
• 因为测试极快，AABB 常作碰撞检测的 early out：两物体 AABB 不相交，就不必做更精细、更贵的测试。构建方法见 包围体构建，盒-盒等重叠测试见 包围体重叠测试。

有向包围盒 OBB（卷 I 5.6.5）

按物体某种逻辑方向（通常是局部空间轴）摆放的长方体，在局部空间里就是 AABB，在世界中不一定轴对齐。常用的点内测试：把点变换到 OBB 的对齐坐标系，再做 AABB 测试。

视锥（卷 I 5.6.6）

• 六个平面围成的平截头体：四个对应屏幕边缘，另两个是近、远裁剪面（可见点的最小和最大 z）。是透视投影下虚拟相机的可见区域。
• 常用表示：六个点法式平面的数组。
• 点在内部：用点积判断点在每个平面的哪一侧，六个都在内侧即在视锥内。
• 技巧：用相机透视投影把世界空间点变换到齐次裁剪空间，那里视锥只是一个轴对齐长方体（AABB），内外测试简单得多。
• 原书问题：严格说，齐次裁剪空间里视锥并不是固定的 AABB，内外测试是 $-w_c\le x_c\le w_c$ 等与各点自身 $w_c$ 比较的不等式（这样的测试依然很简单）；只有做完透视除法、到了归一化设备坐标 (NDC) 之后，视锥才变成固定的轴对齐长方体（如 OpenGL 的 $[-1,1]^3$，D3D 的 z 取 $[0,1]$）。来源：Khronos OpenGL Wiki「Vertex Post-Processing」、Wikipedia「Clip coordinates」条目。
• 更完整的视锥-球、视锥-盒测试见 视锥相交测试，裁剪空间见 坐标空间。

凸多面体区域（卷 I 5.6.7）

任意一组法线都朝内（或都朝外）的平面围成的区域，点内测试与视锥类似，只是平面可能更多。适合实现任意形状的触发区域；许多引擎这样做，例如 Quake 引擎无处不在的 brush 就是由平面围成的体积。

表示方式小结

GEA 第 14 章的补充：作为碰撞图元（卷 II 14.3.4）

卷 I 5.6 讲这些图元怎么表示，卷 II 14.3.4 讲碰撞引擎为什么选它们：

• 球：中心 + 半径，正好放进一个四分量浮点向量，适合 SIMD，是最高效的碰撞图元。
• 胶囊：两点 + 半径，比圆柱和盒更快，常用于人体四肢。可以看作扫掠球，但静态胶囊与随时间扫出胶囊的球并不完全等价。
• AABB：AABB 之间的相交测试极快，但物体旋转后要重算，离轴旋转时贴合很差。
• OBB：用三个半边长加一个变换表示，贴合任意朝向的物体，表示仍然简单。
• DOP（离散有向多面体）：AABB 和 OBB 都是 6-DOP；常从 OBB 出发用 45° 平面切掉 8 个角，得到 14-DOP。
• 任意凸体：美术建模，离线工具检验凸性后转换为 k 个平面方程，可以用 GJK。
• 本页未涉及的多边形汤和复合形状，以及 GEA 对 poly soup "有没有内部"的讨论，见 碰撞检测系统。