点与向量运算

游戏程序员最常用的数学是三维向量与矩阵（三维线性代数）。本页按 GEA 第 5 章整理点与向量的基础：坐标系与手性、点与方向的区别、标量乘与 Hadamard 积、加减、模长与归一化、点积与投影、叉积、伪向量与外代数，以及线性插值 (lerp)。贯穿全章的两条经验是：能在二维里想清楚的问题先在二维里想，以及能不开方就不开方。

先在二维里解决（卷 I 5.1）

大多数向量运算在 2D 与 3D 中同样成立，所以可以先画二维图想清楚，再推广到三维；有时二维结果直接适用，有时能找到一个让问题真正变成二维的坐标系。例外：叉积只在 3D 中定义，有些问题必须三维才有意义。

坐标系（卷 I 5.2.1）

要选最贴合问题的坐标系。作者在 Midway 的《Crank the Weasel》里让战利品绕角色螺旋飞入：在以角色为原点的柱坐标中给 $\theta$ 恒定角速度、$r$ 很小的向内速度、$h$ 很小的向上速度，就得到好看的螺旋动画，比用笛卡尔坐标建模简单得多。

左手系与右手系（卷 I 5.2.2）

• 右手系：右手四指绕 z 轴、拇指指向 +z 时，四指从 x 转向 y；左手系同理用左手。两者只差一根轴的方向（如 y 上、x 右时，右手系 z 指出纸面，左手系 z 指入纸面），翻转任一根轴即可互换。
• 数学规则不随手性改变，改变的只是数字到三维空间的「想象映射」。例外是物理模拟中的叉积，因为叉积结果是伪向量（见下）。
• 轴的朝向完全由人约定，选定后保持一致即可。GEA 说 3D 图形程序员通常用左手系：y 上、x 右、+z 指向相机前方，于是 z 越大越深，正合 z 缓冲深度遮挡的需要。
• 与 RTR4 的分歧：齐次坐标与矩阵约定 记录 RTR4 使用右手系、相机沿 $-z$ 看，并说 DirectX 等使用左手系；GEA 则把左手、+z 向前描述为图形程序员的典型做法，同时承认 OpenGL 等使用右手观察空间（卷 I 5.3.11.3）。两书都认为这只是约定。

点与向量（卷 I 5.2.3）

• 向量有大小和方向，可画成从尾到头的有向线段；标量只有大小。向量可以任意平移，只要大小和方向不变就是同一个向量。
• 尾部固定在原点的向量叫位置向量 (position vector) 或半径向量，用来表示点。可以说点是绝对的，向量是相对的。
• 多数游戏程序员和数学库把点和方向都叫「vector」；GEA 在需要区分时称「方向向量」。两者在转换为齐次坐标时处理不同（点 $w=1$，方向 $w=0$），混用会导致 bug。
• 笛卡尔基向量：沿 x、y、z 的单位向量 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$，任意向量都可写成它们的线性组合，如 $(5,3,-2)=5\mathbf{i}+3\mathbf{j}-2\mathbf{k}$。

基本运算（卷 I 5.2.4.1–5.2.4.6）

• 标量乘：$s\mathbf{a}=(sa_x,sa_y,sa_z)$，只改长度不改方向，乘 $-1$ 翻转方向。
• 非均匀缩放与 Hadamard 积：$\mathbf{s}\otimes\mathbf{a}=(s_xa_x,s_ya_y,s_za_z)$。缩放向量 $\mathbf{s}$ 只是 3×3 对角缩放矩阵 $\mathbf{S}$ 的紧凑写法，即 $\mathbf{a}\mathbf{S}$。RGB 颜色相乘也用 Hadamard 积。
• 加减：逐分量相加减；几何上把 $\mathbf{b}$ 的尾接在 $\mathbf{a}$ 的头上。点与方向的规则：

• 模长：$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$。
• 例：显式欧拉积分：$\mathbf{P}_2=\mathbf{P}_1+\mathbf{v}\Delta t$（严格说只在速度恒定时成立）。
• 例：球-球相交：$\mathbf{d}=\mathbf{C}_2-\mathbf{C}_1$，若 $|\mathbf{d}|<r_1+r_2$ 则相交。开方在多数计算机上很贵，应比较 $|\mathbf{d}|^2$ 与 $(r_1+r_2)^2$。比较相对长度或与另一个平方量比较时，用平方模长；不需要时绝不开方。
• 归一化：$\mathbf{u}=\mathbf{v}/|\mathbf{v}|$，即乘以模长的倒数。
• 法向量 (normal) 指垂直于表面的向量，不一定是单位长度；「归一化 (normalized)」指单位长度。两个术语不要混淆。平面可由一点加一个法向量定义，光照大量依赖法向量。

点积与投影（卷 I 5.2.4.7）

游戏中最常用两种向量乘法：点积（又称标量积 scalar product、内积 inner product）与叉积（又称向量积 vector product；GEA 还称其为「外积 outer product」，见下文原书问题）。 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$

• 满足交换律、对加法的分配律，$s\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot s\mathbf{b}=s(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$。
• 若 $|\mathbf{u}|=1$，$\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}$ 是 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{u}$ 方向直线上的投影长度。
• $|\mathbf{a}|^2=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}$。

常用测试：

应用：

• 敌人在前还是在后：$\mathbf{v}=\mathbf{E}-\mathbf{P}$，与玩家朝向 $\mathbf{f}$（可直接从模型到世界矩阵中取出，见 坐标空间）点积，正为前、负为后。
• 点到平面的高度：平面由面上一点 $\mathbf{Q}$ 与单位法线 $\mathbf{n}$ 定义，$h=(\mathbf{P}-\mathbf{Q})\cdot\mathbf{n}$（书中举登月游戏为例）。平面方程形式见 几何图元的表示。

叉积（卷 I 5.2.4.8）

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_yb_z-a_zb_y,\ a_zb_x-a_xb_z,\ a_xb_y-a_yb_x)$

• 结果垂直于两个输入向量，只在三维中定义。
• 原书问题：GEA 把叉积别称为「outer product」。在线性代数的通行用法里，outer product（外积 / 张量积）指 $\mathbf{a}\mathbf{b}^T$，结果是矩阵而非向量；与叉积相关的是 exterior/wedge product（楔积），且两者在三维中也只是 Hodge 对偶关系（$\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}=i\,\mathbf{a}\times\mathbf{b}$）而非同一对象。来源：Wikipedia「Outer product」「Cross product」「Pseudovector」条目。$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$，等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为边的平行四边形面积；三角形面积 $A=\tfrac12|(\mathbf{V}_2-\mathbf{V}_1)\times(\mathbf{V}_3-\mathbf{V}_1)|$。
• 方向：右手系用右手定则，左手系用左手定则。换手性时所有数值不变、只是可视化沿翻转的轴镜像，所以恰好沿该轴的叉积在想象中也要翻过来。
• 性质：反交换 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})$，对加法分配，$(s\mathbf{a})\times\mathbf{b}=\mathbf{a}\times(s\mathbf{b})=s(\mathbf{a}\times\mathbf{b})$。
• 基向量：$\mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}$，$\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}$，$\mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}$。正旋转是 x→y（绕 z）、y→z（绕 x）、z→x（绕 y）；绕 y 的顺序「绕回来」，这就是绕 y 的旋转矩阵看起来与另两个互为转置的原因（见 基本仿射变换）。

应用：

• 由朝向构造正交基：已知物体朝向 $\mathbf{k}_{local}$ 且无横滚，$\mathbf{i}_{local}=\text{normalize}(\mathbf{j}_{world}\times\mathbf{k}_{local})$，$\mathbf{j}_{local}=\mathbf{k}_{local}\times\mathbf{i}_{local}$，三者即可组成朝向矩阵。
• 三角形法线：$\mathbf{n}=\text{normalize}((\mathbf{P}_2-\mathbf{P}_1)\times(\mathbf{P}_3-\mathbf{P}_1))$。
• 力矩：力 $\mathbf{f}$ 作用点相对质心为 $\mathbf{r}$，力矩 $\mathbf{N}=\mathbf{r}\times\mathbf{f}$；力偏离质心才会产生转动。

伪向量与外代数（卷 I 5.2.4.9）

• 叉积的结果是伪向量 (pseudovector)。在平移、旋转、缩放下与普通向量无异；只有反射坐标系（如左右手互换）时才显出区别：普通向量变为镜像，伪向量变为镜像且反向。
• 真向量（极向量 / 逆变向量）：位置及其各阶导数（速度、加速度、急动度 jerk）。伪向量（轴向量 / 协变向量 / 二重向量 bivector / 2-blade）：角速度、磁场、由叉积求出的三角形表面法线。
• 外代数 / 格拉斯曼代数 (Grassmann algebra)：引入楔积 $\mathbf{A}\wedge\mathbf{B}$。一次楔积得到伪向量，等价于叉积，表示两向量所成平行四边形的有向面积；$\mathbf{A}\wedge\mathbf{B}\wedge\mathbf{C}$ 等价于标量三重积 $\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})$，得到伪标量 (pseudoscalar)（三重向量 / 3-blade），即平行六面体的有向体积。叉积、三重积与矩阵行列式因此相互关联。
• 原书问题：
  • GEA 说在平移、旋转、缩放下看不出伪向量与向量的区别。这只对均匀缩放成立：一般线性变换 $\mathbf{M}$ 下 $(\mathbf{M}\mathbf{a})\times(\mathbf{M}\mathbf{b})=\det(\mathbf{M})\,\mathbf{M}^{-T}(\mathbf{a}\times\mathbf{b})$，所以非均匀缩放下叉积（如法线）已经不能按普通向量变换——这也是 GEA 自己后文要求法线用逆转置矩阵的原因。来源：Wikipedia「Cross product」条目（Algebraic properties 中的矩阵恒等式）。
  • GEA 把「协变向量 (covariant vector)」列为伪向量的别名、把「逆变向量」列为真向量的别名。协变 / 逆变描述的是在基变换下分量如何变换（向量 vs 对偶向量 / 余向量），与在反射下是否多一个符号（极向量 vs 轴向量）是两套独立的概念，不应等同。来源：Wikipedia「Covariance and contravariance of vectors」「Pseudovector」条目。
  • 「楔积等价于叉积」严格说是 Hodge 对偶（二重向量与其对偶向量），见上。
  • 「Grassman」应拼作 Grassmann（Hermann Grassmann）。
• 对游戏程序员主要意义在于理解点积和叉积，并记住某些向量其实是伪向量，变换时要特殊处理——这正是法线要用逆转置矩阵变换的另一种解释（见 基本仿射变换）。书中提到有团队在尝试直接在引擎中使用格拉斯曼代数。

线性插值 lerp（卷 I 5.2.5）

$\mathbf{L}=\text{lerp}(\mathbf{A},\mathbf{B},\beta)=(1-\beta)\mathbf{A}+\beta\mathbf{B},\quad 0\le\beta\le1$

• 几何上 $\mathbf{L}$ 位于线段 $AB$ 上 $100\beta\%$ 处；数学上是权重为 $(1-\beta)$ 与 $\beta$ 的加权平均，权重之和为 1（任何加权平均的要求）。
• 例：以 30 帧/秒在 2 秒内从 A 平滑移到 B，需要 60 个中间位置。
• 旋转的插值（四元数 lerp/slerp）见 四元数。

小结：取舍与常见坑

PBRT 的视角：类型安全的几何类与数值稳健的向量运算（PBRT 4e 3.1–3.6）

坐标系与手性（3.1）

坐标系由原点 $p_o$ 和 $n$ 个线性无关的基向量组成的标架 (frame) 定义：向量 $v=s_1v_1+\cdots+s_nv_n$，点 $p=p_o+s_1v_1+\cdots+s_nv_n$，所以点和向量虽然都存三个数，却不能随意互换。定义标架本身又需要点和向量，于是需要一个原点 $(0,0,0)$、基为三根单位轴的规范标架，即世界空间。pbrt 使用左手系。

用类型系统区分点、向量和法线（3.2–3.5）

• Tuple2/Tuple3 模板同时以分量类型和子类类型为参数（CRTP），使 operator+ 只接受同一子类、返回同一子类：两个 Vector3 相加得到 Vector3，不可能把结果赋给 Point3；分量类型按 C++ 提升规则（整数 + Float 得 Float）。分量是公开成员，因为隐藏"三个浮点数"这一设计毫无好处。调试版构造时用 DCHECK 检查 NaN，尽早发现错误。
• 点 − 点 = 向量，点 + 向量 = 点；法线不能加到点上，两条法线也不能做叉积；法线不一定是单位长度。FaceForward(n, v) 把法线翻到 $v$ 所在半球；两个参数都是 Vector3 的版本要注意参数顺序。
• 光线 $r(t)=o+t\,d,\ 0\le t<\infty$，另存时间和起点所在介质；RayDifferential 多带 $x$、$y$ 方向各偏一个像素的两条辅助光线，供纹理估计滤波面积。每像素多样本时要按样本间距缩小微分，否则纹理会过糊。

数值稳健的写法（3.3）

• 夹角：两单位向量接近平行或反向时 $\arccos(v\cdot w)$ 精度很差。pbrt 的 AngleBetween() 用 $2\arcsin(\|v-w\|/2)$（点积为负时用 $\pi-2\arcsin(\|v+w\|/2)$），在原点附近计算，浮点精度更高 (Hatch 2003)。本页用 float32 实测：真实夹角 $3\times10^{-4}$ rad 时 acos 得到 $3.45\times10^{-4}$（误差约 15%），而 arcsin 写法得到 $3.0\times10^{-4}$。
• 叉积：用 DifferenceOfProducts(a,b,c,d) 计算 $ab-cd$（附录 B.2.9）以减少相消误差；pbrt 早期版本曾不得不用双精度算叉积来消除图像瑕疵。$\|v\times w\|=\|v\|\|w\||\sin\theta|$ 即平行四边形面积。
• Gram–Schmidt：$v_\perp=v-(v\cdot\hat w)\hat w$（式 3.2），要求 $w$ 已归一化。
• 由一个向量建坐标系：对单位向量 $v$，$\big(1-\frac{v_x^2}{1+v_z},-\frac{v_xv_y}{1+v_z},-v_x\big)$ 与 $\big(-\frac{v_xv_y}{1+v_z},1-\frac{v_y^2}{1+v_z},-v_y\big)$ 和 $v$ 构成正交标架（Frisvad 2012；本页对随机单位向量验算三者两两正交、均为单位长）。$v_z\approx-1$ 时 $1/(1+v_z)$ 误差大，pbrt 用带 copysign 的改写，书中说它由 Duff 等 (2017) 和 Max (2017) 同时独立得出。该式在线版曾把"1−"错放进分子，经 pbr-book-website issue #18 指出后已修正（https://github.com/mmp/pbr-book-website/issues/18，已关闭）。