参与介质与体积散射

参与介质是充满粒子、通过吸收和散射参与光传输的体积，如空气、水、雾、烟、云；皮肤、蜡等致密材质也有强烈散射——"一切都是散射"。实时渲染主要考虑单次散射：沿视线积分透射率衰减后的内散射光，内散射由相位函数和对光源的可见性（不透明阴影 × 体积阴影）决定。通用实时方案把介质材质和散射结果体素化到相机视锥体素 (froxel) 中逐片累积（RTR4 14.1、14.3、14.8 节）。

介质材质

• 四类事件改变沿光线的辐射亮度：吸收（转为热）、外散射（按相位函数弹走）、发射（如火的黑体辐射）、内散射（其他方向的光散射进当前路径）。加入光子靠内散射与发射，移除靠消光。各系数是辐射亮度导数的系数，取值 $[0,+\infty]$。
• 反照率接近 0：多被吸收，介质浑浊（如黑色尾气）；接近 1：多被散射，介质明亮（空气、云、大气）。牛奶散射高、反照率 > 0.999，显得白而不透明；红酒几乎不散射而吸收高，显得透明有色。
• 都与波长有关；实时（以及大多数离线）用 RGB，尽量由光谱数据经颜色匹配函数预计算。

单次散射积分

没有介质时可假设进入相机的亮度等于最近表面出射亮度；有介质时（点光源情况）：

$L_i(\mathbf{c},-\mathbf{v})=T_r(\mathbf{c},\mathbf{p})L_o(\mathbf{p},\mathbf{v})+\int_{t=0}^{\|\mathbf{p}-\mathbf{c}\|}T_r(\mathbf{c},\mathbf{c}-\mathbf{v}t)\,L_{scat}(\mathbf{c}-\mathbf{v}t,\mathbf{v})\,\sigma_s\,dt$

透射率（Beer-Lambert 定律）：

$T_r(\mathbf{x}_a,\mathbf{x}_b)=e^{-\tau},\qquad \tau=\int_{\mathbf{x}_a}^{\mathbf{x}_b}\sigma_t(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$

光学深度 $\tau=1$ 约去掉 60% 的光。例：$\sigma_t=(0.5,1,2)$ 时穿过 1 m 得 $T_r\approx(0.61,0.37,0.14)$。透射率要作用于 (i) 不透明表面亮度（雾状遮挡），(ii) 内散射光（体现介质厚度），(iii) 每个散射点到光源的路径（体积自阴影）。

内散射（$n$ 个点光源）：

$L_{scat}(\mathbf{x},\mathbf{v})=\pi\sum_{i=1}^{n}p(\mathbf{v},\mathbf{l}_{c_i})\,v(\mathbf{x},\mathbf{p}_{light_i})\,c_{light_i}(\|\mathbf{x}-\mathbf{p}_{light_i}\|)$

可见性 $v=\text{shadowMap}\cdot\text{volShad}$，体积阴影项就是到光源的透射率。

• 光线步进：沿主光线用 $n$ 个样本积分散射和透射，并从每个样本向各光源再步进一条阴影光线，复杂度 $O(n^2)$，很快变贵；因此常用专门的体积阴影表示存储光源出射方向的透射率。
• 直觉：$\sigma_s=(0.5,1,2)$、$\sigma_a=0$ 时，薄处内散射主导、显蓝色；越深透射率指数下降比散射线性增长快，红色（消光最小）占优。这正是天空白天蓝、日出日落红的原因。

相位函数

在单位球上积分必须为 1（能量守恒）。由相对粒径 $s_p=2\pi r/\lambda$ 区分：$s_p\ll1$ 瑞利散射（空气），$s_p\approx1$ 米氏散射，$s_p\gg1$ 几何散射。

• 米氏散射与波长无关，单一粒径时有尖锐复杂的瓣，但介质粒径连续分布，平均后很平滑，所以可用平滑函数。可混合多个 HG/Schlick 同时表现强前向与后向瓣（如云）。
• 几何散射：粒子内折射反射，可能需要复杂相位函数，偏振也有影响；彩虹即水滴内反射在约 3° 的后向散射角内色散。可用 MiePlot 模拟。

体数据可视化

CT、MRI 等标量场（如 256³ 体素）：实体可转为隐式表面多边形；半透明可用垂直视线的等距切片从后往前混合，密度超阈值视为实体，法线取密度梯度。传递函数：一维纹理把密度映射为颜色和不透明度；Kniss 等用以密度和梯度长度 $\|\nabla d\|$ 为索引的二维传递函数，更好地区分材质过渡（如骨-空气与骨-软组织）。半角切片：切片朝向光与视线的中间方向，每片可用上一片的光源方向遮挡做体积阴影、用辐射亮度估计锥内前向多次散射，质量高，但每片都有光栅化带宽成本；着色器光线步进只付一次。

实时参与介质渲染

• 单光源大尺度阴影散射：Yusov 沿极线采样内散射，用光源深度图判断阴影，沿光线的 min/max 层次跳过空区，只在深度不连续处步进；也可在视空间渲染由光源深度图生成的网格，加正面、减背面的散射。都快且可高分辨率，但只支持均匀介质，不能表现介质自阴影或粒子的透明阴影。
• 溅射：Crane 等对流体模拟的烟、火逐像素步进收集颜色和遮挡，水在第一次击中表面时停止、法线取密度梯度、三立方插值平滑。Valient（《杀戮地带：暗影坠落》）把各光源的散射包围体渲染到半分辨率缓冲，步进起点逐像素随机偏移以消除条带，每帧换噪声并经重投影平均掉；非均匀介质把粒子体素化到 1/8 分辨率的视锥三维纹理；用双边高斯模糊 + 双边上采样合成到全分辨率。改用蓝噪声分布更均匀；也可四个随机样本上采样再交给 TAA。溅射细节锐利，但与其他透明表面的排序永远不完全正确，带宽也更高。
• 视锥体素 (froxel)：Wronski 把散射体素化到映射在裁剪空间的三维纹理 $V_0$（典型 x、y 为屏幕的 1/8，z 方向 64 片），存内散射 RGB 与 $\sigma_t$；再从近到远逐片累积得到 $V_f$。原式只用前面片的透射率 $T_r'$ 衰减本片内散射，忽略了本片内的消光。Hillaire 给出常数消光下的解析积分：本片贡献为 $\dfrac{L_{scat_{in}}-L_{scat_{in}}T_{r_{slice}}}{\sigma_t}$，$T_{r_{slice}}=e^{-\sigma_t d_s}$，透射率累乘为 $T_{r_{slice}}T_r'$。不透明表面最终 $L_o=T_rL_s+L_{scat}$。$V_f$ 粗糙，相机运动和高频亮光/阴影会混叠，用指数滑动平均与上一帧重投影结果混合。
• Hillaire 的物理材质：$\sigma_s$、$\sigma_a$、$g$、发射 $L_e$ 存入视锥材质体积 $V_{pm}$（相当于体积版 G-buffer）；美术放置的介质体积（带三维密度纹理）用计算着色器体素化进去。只考虑单次散射也接近路径追踪结果。虚幻引擎用粒子（球体）作为介质来源；材质体积也可用稀疏结构。缺点是分辨率低。
• 间接光：虚幻可烘焙体积光照贴图（存辐照度）让其散射回介质；也可用 LPV 实现动态 GI。
• 体积阴影：没有它，浓雾场景会太亮太平。Hillaire 把介质体积和粒子体素化到围绕相机、按 clipmap 分布的三级消光体积，作为统一数据源配合不透明度阴影贴图，使粒子与介质互相投影、自阴影，并给不透明和透明物体投影。高分辨率体积纹理受限时可用傅里叶或 DCT 等正交基表示透射率。

统一表示的展望

用很高的 $\sigma_s$ 配合复杂各向异性相位函数可以得到不透明表面，因此有望统一实体和体积材质。目前因 GPU 算力只能分开处理（不透明网格、alpha 混合网格、粒子公告板、光线步进）。Dupuy 等暗示可用 SGGX（GGX 的对称扩展）的微薄片 (microflake) 理论表示体积中有朝向的薄片粒子；LOD 变成对材质属性做体积过滤，例如用体积过滤的树表示森林，可消除网格 LOD 切换、平滑过滤细枝、避免混叠，并给出正确的背景遮挡。

GEA 的视角：参与介质与光线步进（卷 II 12.1.2.2、12.2.1、12.5.13）

• 不完全透明的介质会影响穿过它的光，所以叫参与介质。它们常是不同分子的混合物，例如烟就是空气加上悬浮的灰烬和煤烟颗粒；光子穿过时很可能被颗粒吸收、折射或反射，所以参与介质会散射并衰减光（卷 II 12.1.2.2）。
• GEA 把透光材质分为透明（空气、玻璃、清澈平静的水）与半透明（磨砂玻璃、蜡、皮肤、雾、烟）（卷 II 12.1.2）。
• 光穿过参与介质时能量和光谱分布沿路径变化，需要更复杂的计算；GEA 说明这超出本书范围，推荐 RTR4（卷 II 12.2.1）。在 GEA 的着色方程用法里，通常假设空间是真空或洁净空气，烟雾等用 alpha 混合和粒子卡片近似（卷 II 12.5.1）。
• 实时体积渲染靠光线步进，用于天空大气和体积云；吸收、外散射、内散射、消光、透射率和相位函数等概念 GEA 在大气部分给出，见 天空与云渲染 的「GEA 的视角」（卷 II 12.5.13）。这些与本页「介质材质」「相位函数」中的 RTR4 定义一致。

PBRT 的视角：离线渲染器中的体积散射（PBRT 4e 第 11 章）

基本过程与源函数（11.1）

• 吸收、发射、散射都按连续过程建模（与辐射度量学的假设一致）；蒙特卡洛求解时落到具体点上，称为"散射事件"（也包括吸收）。所有模型都假设粒子位置不相关（白噪声分布），真实介质并不满足，相关介质见延伸阅读。
• 介质吸收系数 $\sigma_a$ 与导体复折射率里的吸收系数（9.3.6）是两回事；单位 m⁻¹，可以大于 1。pbrt 只让系数随位置变化，不随方向。
• 发射写成 $dL_o=\sigma_a L_e\,dt$（式 11.1）：$\sigma_a$ 因子来自"吸收越强、发射越强"（基尔霍夫，见 4.4.1），也让积分后的量纲是辐射亮度。PBRT 这里的 $L_e$ 是单位辐射亮度，与 RTR4 直接把发射作为加项的写法差一个 $\sigma_a$ 因子，迁移参数时要注意。
• 平均自由程 $1/\sigma_t$；单次散射反照率 $\rho=\sigma_s/\sigma_t$。
• 源函数（式 11.3）：$L_s=\frac{\sigma_a}{\sigma_t}L_e+\frac{\sigma_s}{\sigma_t}\int_{S^2}p(\omega_i,\omega)L_i\,d\omega_i$，$dL_o=\sigma_tL_s\,dt$。它与散射方程相似，但没有余弦项，因为相位函数作用于辐射亮度而不是微分辐照度。
• "真实散射"（吸收之外的内/外散射）与 11.2.1 的"零散射"相对；透射率的无偏估计见 零散射与透射率估计。

透射率性质（11.2）

$T_r(p\to p)=1$；真空中为 1；$\sigma_t$ 方向对称时 $T_r(p\to p')=T_r(p'\to p)$；任何介质中都满足乘性 $T_r(p\to p'')=T_r(p\to p')T_r(p'\to p'')$，所以可以沿光线逐段累乘。负指数即光学厚度 $\tau$；均匀介质为 Beer 定律 $e^{-\sigma_td}$。阴影光线计入透射率后，纯体积物体也能在地面投下阴影（书中图 11.10）。

相位函数与方向约定（11.3）

• 自然介质的相位函数多是夹角的一维函数 $p(\cos\theta)$（"各向同性/对称介质"），并满足互易；晶体、定向纤维等有序结构是 4D 函数。术语重载："各向同性介质"可以有"各向异性相位函数"；各向同性相位函数只有一个：$1/4\pi$。
• 方向约定：pbrt 的 $\omega_o$、$\omega_i$ 都背离散射点（与 BSDF 相同），散射文献中入射方向指向散射点。因此 pbrt 的 HG 写作 $p_{HG}(\cos\theta)=\frac{1}{4\pi}\frac{1-g^2}{(1+g^2+2g\cos\theta)^{3/2}},$ 分母是 $+2g\cos\theta$；上文 RTR4 的写法是 $-2g\cos\theta$。两者不矛盾，只是 $\theta$ 的定义差了 $\pi$：$g>0$（前向散射）时 pbrt 中 $\omega_i\approx-\omega_o$，$\cos\theta\to-1$ 处取峰值。混用两套代码时最常见的错误就是 $g$ 的符号反了。
• $g$ 是平均余弦 $g=\int p(-\omega,\omega')(\omega\cdot\omega')d\omega'$；同一个 $g$ 可对应无数相位函数，复杂分布可用权重和为 1 的多个 HG 加权和（pbrt 未实现）。pbrt 要求 $g\in(-1,1)$，上文 RTR4 写的是 $[-1,1]$（$|g|=1$ 时 HG 退化为 delta）。
• 精确采样：$\phi$ 均匀，$\cos\theta=-\frac{1}{2g}\Big(1+g^2-\big(\frac{1-g^2}{1+g-2g\xi}\big)^2\Big)$，$g=0$ 时 $\cos\theta=1-2\xi$；PDF 等于相位函数值。笔者对 $g=0.7$ 采 200 万样本，经验 CDF 与解析 CDF 在 4 个检查点上相差 $<2\times10^{-4}$，数值积分得归一化 1、平均余弦 0.7。
• 延伸阅读：Gkioulekas 等 2013a 用 HG 与 von Mises–Fisher 瓣的和描述半透明外观；van de Hulst 1981 有米氏与瑞利散射的完整讨论。

介质在场景中的表示（11.4）

• 相机和光源各存一个 Medium（nullptr 为真空）；图元存 MediumInterface（内、外两个介质）。只有真正的介质过渡才写入交点，否则沿用光线的介质，所以"充满薄雾的场景"只要给相机和光源指定介质即可。不一致的配置（例如相机与图元外侧介质不同又没有界面）不做检查，交给用户保证。
• 只用来界定介质范围、本身不可见的边界（如包住云的盒子）用空材质 (nullptr)，GetBSDF() 返回未设置的 BSDF，积分器只切换当前介质；理论上也可以用两侧折射率相同的完美镜面透射 BTDF，但会加重积分器负担。书中图 11.16：同样的介质，带电介质外壳的版本更暗。
• Medium 接口三个方法：IsEmissive()（仅用于检查场景是否有光源）、SamplePoint()（返回 $\sigma_a,\sigma_s,L_e$ 与相位函数，默认值表示无散射）、SampleRay()（返回 majorant 迭代器）。各介质用 MajorantIterator 类型别名声明自己的迭代器，让调用方把它放在栈上（便于放进寄存器，见第 14、15 章）；类型未知时借 TaggedPointer 分派和 ScratchBuffer 分配。
• 五种实现：HomogeneousMedium、GridMedium、RGBGridMedium（书中讲解），CloudMedium（仅在线版），NanoVDBMedium（不讲第三方 API）。
  • Homogeneous：常数系数与 $g$；光谱转成 DenselySampledSpectrum（每个约 1 KB，换取无需二分查找）；单段 majorant $=\sigma_a+\sigma_s$。
  • Grid：密度网格三线性插值后缩放基准 $\sigma_a,\sigma_s$；发射可以是黑体温度网格或单一光谱，再乘 LeScale 网格；majorant 用 MajorantGrid + DDA。
  • RGBGrid：网格里存 RGBUnboundedSpectrum 而不是 RGB。原因：RGB→光谱（4.6.6）不保证光谱值不超过 RGB 分量最大值，而且两个 RGB 线性插值后的光谱也不是两条光谱的线性插值，所以按 RGB 求的上界不是光谱的上界；存光谱再插值光谱才能保证 majorant 有效。$\sigma_a$ 与 $\sigma_s$ 的界分别求，若二者相关（如 $\sigma_s=c-\sigma_a$）则界偏松。sigmaScale 可整体调密度。

与上文（RTR4、GEA）的对照与分歧

本章未涉及与延伸

本章不讲光照计算与多次散射，它们在第 14 章。介质参数获取见 Jensen 等 2001b、Narasimhan 等 2006（稀释法）、Gkioulekas 等 2013b、Frisvad 等 2020 综述；密度获取见 Atcheson 等 2008、Gu 等 2013a。

原书问题（第 11 章）

• 11.2 节称"估计光学厚度再取指数"会低估透射率，按 Jensen 不等式应为高估（数值验证见 零散射与透射率估计）。
• 11.4.2 节说每个 DenselySampledSpectrum 约占"一千字节左右"，12.1.2 节说覆盖可见光波段约 2 KB。按 pbrt 的 360–830 nm、1 nm 间隔计算为 471 个 float ≈ 1.9 KB，12.1.2 的数字正确，11.4.2 偏低（前后不一致）。
• 11.4.3 节在线版 DDA 的一处旁注文字损坏（"…DDA.6.1.4 and carefully consider how the components of rayGrid are initialized."），引用的章节号与 HTML 标签混在一起（网页排版问题）。
• 11.4 节说 "The Medium interface is also defined in the file base/media.h"。pbrt-v4 源码中 Medium 与 PhaseFunction 接口都在 src/pbrt/base/medium.h（不存在 base/media.h；media.h 是不在 base 下的实现文件，见 GitHub mmp/pbrt-v4），应为 base/medium.h（11.3 节对相位函数的说法是对的）。
• 11.2.1 节推导 delta 追踪时说把俄罗斯轮盘的 termination probability 设为 $\sigma_n/\sigma_{maj}$，但紧接着的式 (11.18) 是以概率 $\sigma_n/\sigma_{maj}$ 继续递归、否则返回 0；权重恰好抵消的也是继续概率。应为"继续（存活）概率"，终止概率是 $\sigma_t/\sigma_{maj}$（措辞问题，公式正确）。

PBRT 的视角：体积光传输与体积路径追踪（PBRT 4e 14.1–14.2）

传输方程 (equation of transfer)

把第 11 章的四种过程合起来： $\frac{\partial}{\partial t}L_o(p',\omega)=-\sigma_t(p',\omega)L_i(p',-\omega)+\sigma_t(p',\omega)L_s(p',\omega)\quad(14.1)$ 加上"光线在 $t$ 处碰到表面 $p_s$"的边界条件，得到积分形式 $L_i(p,\omega)=T_r(p_s\to p)L_o(p_s,-\omega)+\int_0^tT_r(p'\to p)\,\sigma_t(p')\,L_s(p',-\omega)\,dt'.\quad(14.2)$ 表面光传输方程（渲染方程）是它在真空中的特例。上文 RTR4 的单次散射积分就是把 (14.2) 的源函数 $L_s$ 只保留"光源直接照射 × 相位函数"一项、并忽略介质发射得到的近似。

零散射形式与体积路径追踪

用 $\sigma_t=\sigma_{maj}-\sigma_n$ 代入，得到 $L_i=T_{maj}(p_s\to p)L_o(p_s,-\omega)+\sigma_{maj}\int_0^tT_{maj}(p'\to p)L_n(p',-\omega)dt',\quad L_n=\tfrac{\sigma_a}{\sigma_{maj}}L_e+\tfrac{\sigma_s}{\sigma_{maj}}\!\int\!pL_i+\tfrac{\sigma_n}{\sigma_{maj}}L_i,$ $T_{maj}=e^{-\sigma_{maj}d}$ 低估真实透射率，差额由 $L_n$ 的第三项（零散射）补回。按 $\sigma_{maj}T_{maj}$ 采样距离 $t'$：$t'>t$（概率恰为 $T_{maj}$）时取表面项 $L_o$，否则取 $L_n$；再以 $\sigma_a,\sigma_s,\sigma_n$ 与 $\sigma_{maj}$ 之比为概率选一项——吸收返回发射并终止，真实散射按相位函数采样新方向并递归，零散射从原方向继续。这就是常说的"用 delta 追踪解传输方程"。分段 majorant 下的采样细节见 零散射与透射率估计。

• 关于网站 issue #27（读者问 (14.7) 的介质项为什么没有 $1/(1-q)$）：$t'<t$ 的联合密度是 $\sigma_{maj}T_{maj}(t')$，它在 $[0,t]$ 上积分正好是 $1-q$，所以"选介质项的概率 × 条件密度"直接等于 $\sigma_{maj}T_{maj}$，与被积函数的同名因子相消，只剩 $L_n$；书中的式子没有错，只是省略了这一步。

广义路径空间（14.1.4–14.1.5）

路径顶点可以是表面 $A$、真实散射介质点 $V$ 或零散射点 $V_\varnothing$，按配置向量 $c\in\{0,1,2\}^n$ 取并集，测度是各配置下面积/体积测度之和（零散射测度含 delta，限制在两个真实顶点的连线上）。广义吞吐量 $\hat T=\prod\hat f\cdot\prod T_{maj}\cdot\prod\hat G$，其中 $\hat f$ 在表面为 BSDF、在介质中为 $\sigma_s p$、在零散射点为 $\sigma_nH(\cdot)$（Heaviside 保证零散射顶点沿直线有序）；$\hat G$ 只在真实顶点之间计算，介质端的"余弦"取 1；终点发射在介质中带 $\sigma_a$ 因子。把 delta 追踪的三种采样概率代入路径积分估计，所有 $T_{maj}$、$\sigma_{maj}$、$\sigma_{s,n}$、$\hat G$ 都相消，只剩"发射 × 相位函数与其采样 PDF 之比"（14.19）。这一框架（Miller 等 2019）让 MIS 和双向方法能用于非均匀介质。

两个积分器

• SimpleVolPathIntegrator：不到 100 行，只用 delta 追踪，不直接采样光源、不支持散射表面（场景含 delta 光源或非零 BSDF 的表面时报错；面光源须配零值 BSDF，纯介质边界用 SkipIntersection() 跳过），只算第一个波长。适合当作调试复杂算法时的参考真值。书中图 14.6 爆炸场景 256 spp 仍有亮点噪声，VolPathIntegrator 的 MSE 低 1,288 倍。
• VolPathIntegrator（pbrt 默认积分器，也是第 15 章波前积分器的模板）的三项改进：
  1. 表面散射：按 (14.7) 在介质与表面之间选择；
  2. 有色介质 (chromatic media) 的光谱 MIS：距离和事件类型都按第一个波长 $\lambda_1$ 采样；若直接对其他波长求值，会出现可任意大的 $\sigma_s'/\sigma_s$ 因子。用单样本 MIS（平衡启发式）把估计改为 $f_{\lambda}(x)\big/\frac1n\sum_ip_{\lambda_i}(x)$（14.20），书中图 14.7 MSE 降低 149 倍。若改用覆盖所有波长的 majorant，又会在低消光波长上产生大量零散射；
  3. 直接光照 MIS：两种技术——单向路径采样 $p_u$（delta 追踪 + BSDF/相位函数采样）与光源路径采样 $p_l$（光源选方向 + 阴影光线上比率追踪）。两者在最后一个真实顶点之前完全相同；零散射段概率 $p_{null}=\prod\sigma_nT_{maj}\cdot T_{maj}$，比率追踪段 $p_{ratio}=\prod T_{maj}\sigma_{maj}\cdot T_{maj}$。平衡启发式同时对两种技术和所有波长求和（14.25）。
• 数值稳定：不单独存 $\hat T$ 和 $p$（镜面链或大量零散射会上溢/下溢），而存 $\beta=\hat T/p_{u,\lambda_1}$ 与重缩放概率 $r_{u,\lambda_i}=p_{u,\lambda_i}/p_{path}$、$r_{l,\lambda_i}=p_{l,\lambda_i}/p_{path}$，MIS 权重为 $1\big/\frac1m(\sum r_u+\sum r_l)$。
• 细节：介质发射在每个采样点都累加（不只在选中吸收时），对应 $p_e=1$，再按波长做单样本 MIS；阴影光线遇到有材质的表面立即返回 0，遇到介质边界则继续；阴影光线上的俄罗斯轮盘只作用于透射率很低的光线，因为若以透射率为存活概率，比率追踪就退化成了 delta 追踪；LayeredBxDF 返回的 BSDF/PDF 只成比例正确，此时用 BSDF::PDF() 另估 PDF（pdfIsProportional）。

与上文（RTR4、实时）的对照

延伸阅读要点：Lommel 1889 首先推导传输方程，Khvolson 1890 独立得到；Kajiya–Von Herzen 1984 引入图形学；Rushmeier 1988 首次用蒙特卡洛解一般体积传输；Kulla–Fajardo 2012 针对介质内光源的采样（中子输运领域 Kalli–Cashwell 1977 已有）；体积路径引导 Herholz 等 2019；乘积采样 Wrenninge–Villemin 2020、Villeneuve 等 2021；大气与天空模型 Preetham 等 1999、Hošek–Wilkie 2012/2013、Bruneton 2017 的 8 种晴空模型评测、Wilkie 等 2021（见 天空与云渲染）；光子映射在介质中的推广 Jensen–Christensen 1998、光束辐射估计 Jarosz 等 2008b；非指数介质 Bitterli 等 2018b、d'Eon 2018、Jarabo 等 2018a；微薄片 Jakob 等 2010、SGGX（Heitz 等 2015，上文"统一表示的展望"中提到的就是它）。

原书问题（第 14 章）

• 式 (14.8) 与紧随其后的概率陈述（已解码网页 SVG 并数值验证）：分段改写中第 2、3 项多乘了 $\sigma^1_{maj}$，第 3 项还缺 $\sigma^3_{maj}$；正确为 $\sigma^1\!\int_0^{t_1}T^1f+T^1(p\to p_1)\,\sigma^2\!\int_{t_1}^{t_2}T^2f+T^1T^2\,\sigma^3\!\int_{t_2}^{t_3}T^3f+\cdots$。正文说 "$t'_1>t$ 的概率等于 $\sigma^1_{maj}T^1_{maj}(p\to p_1)$"，应为 $\Pr\{t'_1>t_1\}=T^1_{maj}(p\to p_1)$（概率无量纲，不能带 $\sigma$）。两处错误恰好互相抵消，所以"估计量化简为 $f(p')$"的结论和代码都正确。笔者用两段 majorant（$\sigma^1=0.7,\sigma^2=2$，$f=1+\cos t$）数值积分：原积分 1.4815，正确改写 1.4815，书中写法 1.3191。
• 路径测度：$\mu_n(D)=\sum_{c\in\{0,1\}^n}\cdots$ 的求和范围应为 $\{0,1,2\}^n$，与上一行 $\mathcal P_n$ 的定义和被积式中 $c_i=2$ 的分支一致（SVG 已核对）。
• 式 (14.7) 表面项写作 $L_o(p_s,\omega)$，与 (14.3) 的 $L_o(p_s,-\omega)$ 符号不一致，应为 $-\omega$。
• 式 (14.31)（14.3.1 一维传输方程）积分号内漏了 $\sigma_t(z')$：应为 $\int T_r\,\sigma_t\,L_s/|\omega_z|\,dz'$，与 (14.2) 一致（$L_s$ 按 14.33 已除过 $\sigma_t$）。LayeredBxDF 取 $\sigma_t=1$，所以实现不受影响（SVG 已核对）。
• 小笔误（网页原文已核对）：14.1.3 正文 "the probability that $t'_1>t$" 的 $t$ 应为 $t_1$；式 (14.22) 括号后多了一个逗号（$\big(\prod\cdots\sigma_{maj}\big),T_{maj}$，SVG title 可见）；14.2.1 "BDSF" 应为 BSDF；图 14.7 图注 "Scene courtesty" 应为 courtesy。
• 参考文献：Jakob 等 2010 的末位作者写成 "M. Steve"，应为 S. Marschner（Steve Marschner）；延伸阅读中 "multiple importance scattering" 应为 multiple importance sampling（笔误）。