隐式曲面与有符号距离函数

隐式曲面用 $f(\mathbf{p})=0$ 定义：代入点结果为零即在曲面上。返回到最近表面有符号距离的 $f$ 称为有符号距离函数 (SDF)。它们便于做光线求交、构造实体几何 (CSG)、混合与变形，通常用光线步进可视化，也可用移动立方体等方法转为三角形。

定义与基本图元（17.3 节）

$f(x,y,z)=f(\mathbf{p})=0$ 相比参数曲面，隐式曲面往往更容易与光线求交，可直接做相减、与、或等 CSG 操作，也容易混合和变形。位于原点的例子：

图元	SDF
球	$f_s(\mathbf{p},r)=\lVert\mathbf{p}\rVert-r$
xz 平面	$f_{xz}(\mathbf{p})=p_y$
圆角盒	$f_{rb}(\mathbf{p},\mathbf{d},r)=\lVert\max(\lvert\mathbf{p}\rvert-\mathbf{d},0)\rVert-r$

球的值在内部为负、外部为正。圆角盒中绝对值和 max 逐分量计算， $\mathbf{d}$ 是半边长向量： $\lvert\mathbf{p}\rvert$ 把计算折到第一象限，减去 $\mathbf{d}$ 后某轴为负表示该轴方向在盒内，max 把负值夹到 0，所以长度即到盒面的最近距离，盒外多个分量为正时距离场自然变圆；减 $r$ 把盒向各方向扩张 $r$ ， $r=0$ 即普通盒。

法线

法线是梯度 $\nabla f=(\partial f/\partial x,\partial f/\partial y,\partial f/\partial z)$ ，要求 $f$ 可微。实践中常用中心差分： $\nabla f_x\approx f(\mathbf{p}+\epsilon\mathbf{e}_x)-f(\mathbf{p}-\epsilon\mathbf{e}_x)$ y、z 同理， $\epsilon$ 为小数（结果再归一化即可得方向）。

组合场景

并集：取两个操作数中的最小值，因为要找离 $\mathbf{p}$ 最近的表面，例如 $f_s(\mathbf{p},1)\cup f_{xz}(\mathbf{p})$ 是球加地面。
变换：先对 $\mathbf{p}$ 施加逆变换再调用 SDF，如 $f_s(\mathbf{p}-\mathbf{t},1)$ 为平移 $\mathbf{t}$ 的球。
无限重复：用 $\mathbf{r}=\operatorname{mod}(\mathbf{p},\mathbf{c})-0.5\mathbf{c}$ 代替 $\mathbf{p}$ 作参数。
混合（blobby 建模、软物体、metaball）：把球、椭球等简单"原子"平滑融合成"分子"。常用的两距离 $d_1,d_2$ 、混合半径 $r_b$ 的混合（书中式 17.57，按原书照录；末项符号见文末「原书问题」）： $h=\min\big(\max(0.5+0.5(d_2-d_1)/r_b,\,0),\,1\big),\qquad d=(1-h)d_2+hd_1+r_bh(1-h)$ 只混合两个距离，但可反复使用以混合更多物体。

光线步进可视化

flowchart TD
  A["光线上当前点 p"] --> B["求场景 SDF 得最近距离 d"]
  B --> C{"d 小于 epsilon?"}
  C -- "是" --> H["命中表面, 用梯度求法线着色"]
  C -- "否" --> D{"步数达到上限?"}
  D -- "是" --> BG["视为击中背景"]
  D -- "否" --> E["沿光线前进 d"] --> A

如上图： $d$ 表示以 $\mathbf{p}$ 为中心半径 $d$ 的球内没有任何物体，所以可以安全前进 $d$ 。能光线步进场景后，阴影、反射、环境光遮蔽等效果也随之可得。Shadertoy 上 Iñigo Quilez 的雨林（椭球加程序噪声位移）和蜗牛完全由 SDF 与光线步进程序生成。

转为三角形

多边形化算法有多种，著名的是移动立方体（见体素）；Wyvill 与 Bloomenthal 的代码可在网上获得；Tatarchuk 与 Shopf 的 GPU 移动四面体可在三维数据中找等值面，也可用几何着色器提取等值面；Xiao 等的流体系统在 GPU 上计算 10 万粒子并以交互帧率显示其等值面。

取舍

优点：求交简单、CSG 与混合自然、表示极其紧凑，适合程序化内容。
代价：直接显示需光线步进，每像素多次求值整个场景函数；转换为三角形则要额外多边形化步骤。

原书问题

式 17.57 的最后一项印作 $+r_b h(1-h)$ （已对照 PDF 页面图像，不是文字提取的问题），本页上文按原书照录。按混合的用途，这一项应当减去：两个表面在某点相交时 $d_1=d_2=0$ ，此时 $h=0.5$ ，加号给出 $d=r_b/4>0$ ，交界处反被判为在外面，两个形体之间会凹出一道槽；写成 $d=(1-h)d_2+hd_1-r_bh(1-h)$ 才得到 $-r_b/4$ ，把交界处填平，形成书中图 17.35 那样的平滑融合。当 $\lvert d_2-d_1\rvert\ge r_b$ 时 $h$ 取 0 或 1，两种写法都退化为 $\min(d_1,d_2)$ ，差别只在混合区内。