基于图像的光照

直接光与环境光的分工

反射方程本身不区分直接光和间接光，但直接光通常立体角小、辐亮度高，间接光以中低辐亮度弥漫半球其余部分，所以分开处理。典型引擎：少数重要光源用解析面光源加阴影贴图；远处光、天空、补光、表面反弹光用环境立方体（高光）加球面基（漫反射辐照度）。

高光 IBL：预滤波环境贴图

• 也叫高光光照探针、高光立方体贴图。把环境模糊即可模仿粗糙表面，但模糊必须是非线性的：纹素间角距与立体角不恒定，AMD CubeMapGen 等工具会跨面取样并考虑纹素角度范围。
• 单纯模糊与 BRDF 无关。按 BRDF 瓣过滤至少有 5 维输入（粗糙度 + 视线与法线各两个极角），不可能全存。实践把瓣限制为绕反射向量径向对称，只随粗糙度变化：按粗糙度预卷积多张图，存进立方体贴图的 mip 链（越高 mip 越粗糙），运行时用反射向量查、按粗糙度强制选 mip，三线性过滤插值中间粗糙度。宽滤波去掉高频、只需低分辨率，与 mip 结构天然契合。
• Phong 瓣本身绕反射向量对称，可几乎精确；Phong 反射向量项换成 Blinn-Phong 半向量时，指数除以 4 拟合较好。
• 地平线裁剪：真实瓣在掠射角会被表面地平线截掉，实时方法通常忽略，导致掠射角过亮。Lagarde 建议按粗糙度把取样向量从反射方向向法线偏，部分补偿。
• mip 选择要考虑像素足迹内法线与粗糙度的变化：Ashikhmin & Ghosh 建议比较硬件缩小级别与滤波宽度级别，取分辨率更低者；更准确的是换一个拟合足迹内平均瓣的新粗糙度——与 BRDF 抗锯齿问题相同（见基于物理的着色）。
• 平面（如地板）上径向对称滤波误差明显，曲面上通常看不出。

卷积的计算

被积式 $\int_\Omega D(l,v)L_i(l)dl$ 是球面卷积，只能数值求：蒙特卡洛 $\approx\frac1N\sum_k\frac{D(l_k,v)L_i(l_k)}{p(l_k,v)}$，写入贴图时还要按纹素立体角加权。

• 低粗糙度 mip 大多数样本 $D\approx0$ 被浪费，用匹配瓣形的重要性采样；还可联合考虑环境辐亮度分布。点采样通常要数百样本，只适合离线。
• 用锥代替点：按锥的立体角取对应 mip 采样，有偏但样本少，GPU 上可交互。McGuire 等混合未滤波立方体的多个 mip 重建 Phong 瓣，Hensley 用求和面积表，Kautz 层次化生成抛物面图；Manson & Sloan 用二次 B 样条过滤 mip，实时结果与重要性采样参考解难以区分。
• 快速卷积使动态渲染的立方体贴图可每帧或隔几帧更新。替代方案：在静态预滤波图上叠加动态光的预滤波"斑点"（只适用远光）；或几何静态而太阳移动时，存 G-buffer 环境贴图（位置、法线、材质）重新着色——《Call of Duty: Infinite Warfare》《巫师 3》《Far Cry 4》使用。

Split-Integral（Split Sum）近似

旧做法用 Phong 瓣再乘镜面菲涅耳 $F(n,v)$，丢掉了 $G_2$ 与 $F(h,l)$；Lazarov 指出用 $F(n,v)$ 的误差比不用菲涅耳还大。Gotanda、Lazarov、Karis 各自推出：

$\int_\Omega f_{smf}(l,v)L_i(l)(n\cdot l)dl\approx\int_\Omega D(r)L_i(l)(n\cdot l)dl\;\int_\Omega f_{smf}(l,v)(n\cdot l)dl$

• 并非拆成两个不相交项：$D$ 和 $n\cdot l$ 在两边都出现，凡绕反射向量对称的项都放进两个积分。
• 第一项只依赖粗糙度和 $r$，假设 $n=v=r$，存入立方体 mip。
• 第二项是高光的方向反照率 $R_{spec}(v)$，依赖仰角、粗糙度和 F0。Gotanda 存三维表；Karis 与 Lazarov 发现 F0 可分离出去，得到两个二维因子——Karis 存为双通道二维纹理，Lazarov 用拟合函数，Iwanicki & Pesce 给出更准确简单的近似。$R_{spec}$ 也可用于改进漫反射模型，两处共用。
• 对常数环境精确；低频环境（户外常见）经验上也成立。最大误差来源是 $n=v=r$ 的径向对称、不裁剪假设。

非对称与各向异性瓣

微表面瓣定义在半向量上，从不具备所需对称性；只有正视 ($n=v$) 时结果有保证。改进：Kautz & McCool 为当前视线找最佳单个瓣或多个瓣平均，并给能量修正；Iwanicki & Pesce 用 Nelder-Mead 为 GGX 拟合，并研究用硬件各向异性过滤加速；Revie 把单样本移到复杂 BRDF 峰值用于延迟着色下的毛发，McAuley 推广到所有表面；McAllister 利用 Lafortune BRDF（多个扰动的 Phong 瓣）实现各向异性和逆反射，Green 等用高斯瓣。

漫反射 IBL：辐照度环境贴图

• 以法线索引、存辐照度（高光图以反射向量索引、存辐亮度）。法线包含漫反射所需全部信息，不存在高光图的歧义；与钳制余弦卷积是精确的。极度模糊，可低分辨率存储，常直接用预滤波高光图的最低 mip 之一。
• 使用：辐照度乘漫反射率，高光图乘高光反射率；可加菲涅耳在掠射角增高光、减漫反射。
• 宽滤波难以实时采样生成；King 变换到频域在 2004 年硬件上超过 300 FPS。用 64×64 小立方体生成时面光源可能"落在纹素之间"闪烁，Wiley & Scheuermann 改用大卡片表示光源。Brennan：向辐照度图中直接渲染一个朝光方向的半球（余弦瓣）以加入动态光。

球谐辐照度

• Ramamoorthi & Hanrahan：前 9 个 SH 系数（RGB 共 27 个浮点数）表示辐照度误差约 1%；只存间接光时 4 个系数（常数 + 线性带）常已足够。重建只需算几个多项式，不必采样纹理。
• 辐照度是辐亮度与钳制余弦的球面卷积。钳制余弦绕 z 轴对称，每个频带只有一个非零系数（带谐函数）；卷积结果系数 = 两者系数之积再乘 $4\pi/(2l+1)$。
• 钳制余弦在 $\pi/2$ 处突变，9 项近似在 $\pi/2$ 到 $\pi$ 间轻微振荡（振铃），极端光照下表现为色偏或背光面亮斑；只存间接光时一般不成问题，可加窗预滤波。
• 动态立方体投影：$k_{Lj}=\sum_t f_j(r[t])L[t]d\omega[t]$，再乘缩放后的余弦系数得辐照度系数；因子 $k'_{cos^+j}f_j(r[t])d\omega[t]$ 只依赖纹素，可离线存成立方体贴图（每通道一个基）。
• 动态光：点、圆盘、球光的系数有解析式，以带谐给出后旋转（只需点积），直接加到已有系数上；复杂形状可画成图像后数值投影；Habel 给出 Preetham 天空光的 SH 展开。补光 (fill light) 常只算漫反射。反过来可从 SH 中提取方向光（Sloan，仅用线性带即可选近似最优方向，也可提取多个），用于光源合并；lightcuts 是聚合次要光源的系统方法。
• SH 也可做视角相关的光泽光照（Ramamoorthi & Hanrahan、Kautz），但占空间大或只适合低频。

其他辐照度表示

• 半球光照（Parker 等）：上半球 $L_{sky}$、下半球 $L_{ground}$，$\theta<90^\circ$ 时 $E=\pi[(1-\frac12\sin\theta)L_{sky}+\frac12\sin\theta L_{ground}]$，$\theta\ge90^\circ$ 时两者互换。Baker & Boyd 的更快近似 $E=\pi[\frac{1+\cos\theta}{2}L_{sky}+\frac{1-\cos\theta}{2}L_{ground}]$，轴为坐标轴时 $\cos\theta$ 就是法线的一个分量，多数应用更可取。
• Forsyth 的 trilight 涵盖方向、双向、半球和包裹光照；Valve 最早用环境立方体存辐照度。
• 要处理遮挡或光泽反射需要高频表示，即预计算辐射传输 (PRT) 与全频光照；Ng 等用 Haar 小波存环境与自阴影函数，可看作立方体贴图压缩。

下图概括一个典型引擎中环境光照的数据流：

flowchart TD
  A["HDR 环境 / 动态渲染的立方体贴图"] --> B["按粗糙度 GGX 预卷积到 mip 链"]
  A --> C["投影到 SH 或辐照度立方体"]
  D["二维 LUT：仰角 × 粗糙度"] --> E["高光 = 预滤波值 × R_spec"]
  B --> E
  C --> F["漫反射 = 辐照度 × 漫反射率"]

误差与取舍

• 环境光照假设无限远辐亮度源，现实中不存在；最难的是遮挡——环境光没有主方向，点光源的阴影技术用不上，漏光往往比缺光更显眼（遮蔽方法见第 11 章）。
• 预滤波立方体在特定（罕见）条件下对某 BRDF 精确，一般情况下有误差；不同光照表示之间的一致性比各自误差更重要。

PBRT 的视角：无穷远面光源与环境光重要性采样（PBRT 4e 12.5）

上文是实时 IBL 的预积分路线（预滤波、split sum、球谐）；PBRT 走采样路线：把环境贴图当作包围场景的无穷远面光源，在路径追踪中直接对它重要性采样，结果无偏，可见性（遮挡）由阴影光线自动处理。

三种实现

• UniformInfiniteLight：常数亮度。若调用方会做 BSDF 采样并用 MIS（allowIncompletePDF 为真），它不生成样本、PDF 返回 0：此时被积函数为 $c\int f|\cos\theta_i|d\omega_i$，BSDF 采样已足够好，而 MIS 在某一技术远优于其他时反而会增加方差（MIS 补偿，Karlík 等 2019）。否则均匀采样球面。
• ImageInfiniteLight：图像采用等面积八面体参数化（见 球面几何与方向参数化），用 PiecewiseConstant2D 按像素值采样，单位正方形到球面的换元因子为常数 $1/(4\pi)$。另建一份补偿分布：每个像素权重减去平均值（小于 0 则截为 0），allowIncompletePDF 为真时使用，只在亮区采样，暗区交给 BSDF 采样。书中图 12.18（晨光天空，32 spp）：按图像采样比均匀采样 MSE 低 38,000 多倍，补偿分布再好 1.52 倍，耗时几乎相同。功率 = 像素平均亮度 × $4\pi$ × 场景包围球半径圆盘面积。
• PortalImageInfiniteLight（Bitterli 等 2015）：室内场景只能通过窗户看到天空时，普通环境采样会把大量样本投向被墙挡住的太阳。用户指定一个四边形"门户"，光源改用与门户边对齐的坐标系和整流 (rectified) 参数化 $(\alpha,\beta)=(\arctan\frac{x}{z},\arctan\frac{y}{z})$：从任一点看门户四角，相邻角只差一个坐标，所以可见区域在图像上永远是矩形，可以用 WindowedPiecewiseConstant2D（附录 A.5.6）只在该窗口内采样。等距柱状、等面积映射乃至"归一化后取 $xy$"都破坏这一性质。构造时把等面积图双线性重采样成整流图（未做空间变化滤波，可能混叠）；采样分布预乘每像素的换元因子，使样本权重更均匀。Le() 对门户外的方向返回 0，防止几何漏洞造成漏光。书中图 12.19 水彩房间场景 MSE 降低 2.82 倍。多门户见 Ogaki 2020（门户 BVH）。

与上文（RTR4）的对照

延伸阅读：Blinn–Newell 1976 提出环境贴图；Miller–Hoffman 1984 首次用任意环境图照明漫反射和光泽物体；Debevec 1998 拍摄真实环境；Unger 等 2003/2008 的入射光场把位置也纳入；Subr–Arvo 2007b 计入余弦并只在法线半球采样；Conty Estevez–Lecocq 2018 做 BSDF × 环境图乘积采样。

原书问题（12.5.3，已解码网页 SVG 并数值验证）

书中把门户参数化的换元因子写作 $\frac{d(u,v)}{d\omega}=\pi^2\frac{(1-\omega_x^2)(1-\omega_y^2)}{\omega_z}.$ 右边实际是 $d\omega/d(u,v)$（单位 $(u,v)$ 面积对应的立体角），左边应倒过来。推导：令 $a=x/z,b=y/z$，$d\omega=\frac{da\,db}{(1+a^2+b^2)^{3/2}}$，$du\,dv=\frac{da\,db}{\pi^2(1+a^2)(1+b^2)}$，而 $1-\omega_x^2=\frac{1+b^2}{1+a^2+b^2}$ 等，得 $\frac{d\omega}{d(u,v)}=\pi^2\frac{(1-\omega_x^2)(1-\omega_y^2)}{\omega_z}$。笔者在 $(u,v)=(0.3,0.6)$ 处用有限差分求得 $\|\partial_u\omega\times\partial_v\omega\|=7.9858$，与该式的 7.9858 一致。pbrt-v4 代码中变量名 duv_dw 沿用了这个错误的名称，但用法是 pdf = mapPDF / duv_dw，即 $p_\omega=p_{uv}\big/\frac{d\omega}{d(u,v)}$，是正确的；正文"把 $d(u,v)/d\omega$ 计入采样分布"同理应理解为每像素立体角。

• 第 12 章参考文献把 Bashford-Rogers 等 "Importance driven environment map sampling" 标为 2013 年、IEEE TVCG 20(6), 907–18。Crossref（DOI 10.1109/TVCG.2013.258）显示卷期页码正确，正式刊期为 2014 年 6 月；2013 是在线优先发表年份（DOI 中的 2013 即此），引用正式卷期时应写 2014。（已核实，原"存疑"撤销。）

LearnOpenGL 的视角：辐照度立方体与 Split Sum 镜面 IBL（PBR / IBL）

来源：Diffuse irradiance、Specular IBL；摘录 PBR — IBL Diffuse irradiance、PBR — IBL Specular。与上文 RTR split-sum / 预滤波立方体对照。

漫反射辐照度

环境 HDR（常 equirect）先转立方体；对每个法线方向半球卷积得 irradiance map，运行时 kD * albedo/π * irradiance(N)（再乘 AO）。需线性 + HDR 工作流。

镜面 Split Sum

Epic 把镜面积分拆成：① 按粗糙度预滤波环境立方体（mip ≈ roughness；重要性采样 GGX）；② BRDF 积分查找表（NdotV × roughness → 缩放与偏置，与 F 组合）。运行时：prefilteredColor * (F*brdf.x + brdf.y)。注意 mip 选择、立方体无缝与能量。链 环境贴图、局部反射探针、蒙特卡洛积分与重要性采样。

GPU Gems 的视角：过滤重要性采样做动态光泽 IBL（GPU Gems 3 第 20 章）

来源：Colbert & Křivánek《GPU-Based Importance Sampling》；摘录 Chapter 20. GPU-Based Importance Sampling — Colbert, Křivánek。与上文 split-sum / 预滤波立方体对照：本章是运行时蒙特卡洛，材质与环境可贴图即时更换。

按 BRDF（如归一化 Phong）PDF 采方向，估计量用 $1/\mathrm{pdf}$ 加权。用 Hammersley 拟随机序列作常量（确定性→走样）。关键技巧按 PDF 选 mip：样本立体角 $\Omega_s=1/(N\cdot\mathrm{pdf})$，再换成环境图 mip 层级；PDF 小时模糊更大区域，PDF 大时取细节。环境图用双抛物面（缩放约 1.2）而非立方体，因立方体面各自做 mip 会出接缝。漫反射仍用球谐。实践：复杂几何约 24 样本、光滑球约 40 即可观感可接受。与预滤波 IBL 比：无需长时间预处理，适合材质/灯光设计工具；固定游戏场景仍常选 split-sum。

GPU Gems 的视角：实时动态辐照度环境图（GPU Gems 2 第 10 章）

来源：Gary King《Real-Time Computation of Dynamic Irradiance Environment Maps》；摘录 Chapter 10. Real-Time Computation of Dynamic Irradiance Environment Maps — Gary King。把环境图卷积成漫反射/镜面辐照度图搬到 GPU，动态灯光与物体也能驱动「近似全局光照」。

环境图可视作大量方向光；暴力漫反射卷积 $O(MN)$（64³→32³ 立方体约 1.5 亿次）。漫反射辐照度随法线变化极慢，频域（球谐）把代价降到 $O(MK+KN)$：$l=2$ 仅 9 个系数就够漫反射，镜面约 $\sqrt{s}$。卷积定理：空间卷积 = 频域对应系数相乘；BRDF 的球谐系数可预计算。

PS 3.0 两遍：空间→频域用预计算 $Y_{lm}\,d\omega$ 权重瓦片（VPOS 映射输出像素到瓦片）；卷积+逆变换用 $A_{lm}Y_{lm}$ 权重，按立方体面迭代。输入可用双抛物面图。演示在 6800 GT 上辐照度重建 >300 FPS。阴影难做——与 环境光遮蔽（同书 Ch14）搭配。球谐系数还可线性插值/相加，混合多套光照环境。与 Gems3 重要性采样 IBL 对照：本章是低频 SH 预滤波动态更新；后者是高光 BRDF 蒙特卡洛采样。