基本仿射变换

基本矩阵速查

$\mathbf{R}_z(\phi)=\begin{pmatrix}\cos\phi&-\sin\phi&0&0\\ \sin\phi&\cos\phi&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}$

• 任意 3×3 旋转矩阵（转角 $\phi$）的迹与轴无关：$\operatorname{tr}(\mathbf{R})=1+2\cos\phi$。
• 旋转会保持旋转轴上的点不动；刚体变换保持点间距离和手性。
• 切变 $\mathbf{H}_{xz}(s)$ 把点变成 $(p_x+sp_z,\ p_y,\ p_z)$；第一个下标是被改变的坐标，第二个是起作用的坐标。书中提到游戏里可用切变扭曲整个场景做迷幻效果。

复合操作的模式："移过去—变换—移回来"

绕任意点旋转、沿任意正交基缩放，都遵循「移到原点 → 做变换 → 移回去」的同一模式。

flowchart LR
  P["点在枢轴 p 处"] --> T1["平移 T(-p)：移到原点"]
  T1 --> X["在原点做 R 或 S"]
  X --> T2["平移 T(p)：移回"]
  T2 --> Out["复合 X = T(p) · Op · T(-p)"]

• 绕点 $\mathbf{p}$ 旋转：$\mathbf{X}=\mathbf{T}(\mathbf{p})\mathbf{R}_z(\phi)\mathbf{T}(-\mathbf{p})$。
• 沿正交基 $\mathbf{f}^x,\mathbf{f}^y,\mathbf{f}^z$ 缩放：$\mathbf{X}=\mathbf{F}\mathbf{S}(\mathbf{s})\mathbf{F}^T$。
• 绕任意单位轴 $\mathbf{r}$ 旋转：构造正交基 $(\mathbf{r},\mathbf{s},\mathbf{t})$——取 $\mathbf{r}$ 绝对值最小的分量置 0、交换另外两个并取反其一得到 $\bar{\mathbf{s}}$，归一化后 $\mathbf{t}=\mathbf{r}\times\mathbf{s}$；以它们为行组成 $\mathbf{M}$，则 $\mathbf{X}=\mathbf{M}^T\mathbf{R}_x(\alpha)\mathbf{M}$。也可以直接用 Goldman 给出的闭式矩阵。（RTR4 4.2.4）

反射（镜像）

• 缩放因子中有一个或三个为负时得到反射矩阵；只有两个为 $-1$ 等价于旋转 $\pi$。旋转与反射相乘仍是反射。
• 反射会把逆时针顶点顺序变成顺时针，导致光照和背面剔除出错，需要特殊处理。
• 检测：左上 3×3 的行列式为负即为反射。

连乘顺序

• 矩阵乘法不可交换：书中例子 $\mathbf{S}(2,0.5,1)$ 与 $\mathbf{R}_z(\pi/6)$ 两种顺序结果截然不同。
• 合并矩阵是为了效率：几百万顶点都要缩放、旋转、平移时，先合并成 $\mathbf{C}=\mathbf{TRS}$ 再逐顶点乘一次。$\mathbf{S}$ 最先作用所以写在最右；TRS 也是场景图常用顺序。 本地到世界常用 TRS（列向量下右乘）：缩放最先、平移最后；求逆则参数取反并逆序相乘。

flowchart TD
  Local["本地坐标 p"] --> S["缩放 S"]
  S --> R["旋转 R"]
  R --> T["平移 T"]
  T --> World["世界坐标：C = T R S"]
  World --> Inv["求逆：C⁻¹ = S⁻¹ R⁻¹ T⁻¹"]

• 乘法满足结合律，例如可以先算好刚体部分 $\mathbf{TR}$，再与 $\mathbf{S}\mathbf{p}$ 相乘。

刚体变换与 lookAt

$\mathbf{X}=\mathbf{T}(\mathbf{t})\mathbf{R}$ 的逆： $\mathbf{X}^{-1}=\mathbf{R}^T\mathbf{T}(-\mathbf{t})$ 即旋转部分转置、平移取负，并以相反顺序相乘；写成分块形式时平移列为 $-\bar{\mathbf{R}}^T\mathbf{t}$。

相机朝向（gluLookAt 的做法）：相机在 $\mathbf{c}$、看向 $\mathbf{l}$、给定大致向上 $\mathbf{u}'$：

• $\mathbf{v}=(\mathbf{c}-\mathbf{l})/\|\mathbf{c}-\mathbf{l}\|$，$\mathbf{r}=-(\mathbf{v}\times\mathbf{u}')/\|\mathbf{v}\times\mathbf{u}'\|$，$\mathbf{u}=\mathbf{v}\times\mathbf{r}$；
• 观察矩阵先平移 $-\mathbf{t}$（相机位置移到原点），再用以 $\mathbf{r},\mathbf{u},\mathbf{v}$ 为行的矩阵换基，平移列为 $(-\mathbf{t}\cdot\mathbf{r},-\mathbf{t}\cdot\mathbf{u},-\mathbf{t}\cdot\mathbf{v})$。

法线变换

• 同一矩阵能正确变换点、线、三角形和切线，但不能总是正确变换法线：例如沿 x 缩放 0.5 后，直接变换的法线不再垂直于表面。
• 正确方法是用矩阵伴随矩阵的转置；传统说法是逆的转置。伴随矩阵总存在，而逆矩阵在行列式为 0 时不存在。变换后法线一般需要重新归一化。
• 平移不影响法线，常见的模型变换是仿射的，所以只需计算左上 3×3 的伴随矩阵。
• 若只由平移、旋转、均匀缩放组成，可以直接用原矩阵变换法线；只有平移和旋转时长度不变无需归一化；已知均匀缩放因子（如放大 5.2 倍）时，除以该因子即可，或预先把 3×3 部分除以该因子。
• 切线与法线性质不同，总是直接用原矩阵变换。（RTR4 4.1.7）

切向与点一样用原矩阵 $M$；法线要保持与切向垂直，必须用 $(M^{-1})^T$（或伴随转置）。

flowchart LR
  T0["切向 t"] --> Mt["t' = M t"]
  N0["法线 n"] --> Mn["n' = (M⁻¹)ᵀ n"]
  Mt --> Orth["要求 n' · t' = 0"]
  Mn --> Orth

求逆的选择（RTR4 4.1.8）

若逆矩阵只用来变换向量，通常只需求左上 3×3 部分的逆。

矩阵分解（RTR4 4.2.3）

只拿到一个合成矩阵时，可能需要：提取缩放因子、判断是否只有刚体变换、在只有矩阵的关键帧之间插值、去除旋转矩阵中的切变等。平移直接取最后一列；行列式为负说明有反射；分离旋转、缩放、切变需要专门算法（Thomas、Goldman、Shoemake）。

GEA 的视角：行向量形式的基本变换矩阵（卷 I 5.3.9、5.3.13）

GEA 用行向量约定（$\mathbf{r}'=\mathbf{r}\mathbf{M}$，平移在最下一行），所以下列矩阵是上文 RTR4 列向量矩阵的转置；约定对照见 齐次坐标与矩阵约定。

分块形式

任何仿射 4×4 矩阵都可以由纯平移、纯旋转、纯缩放（和很少用的切变）串接而成，并分为四块： $\mathbf{M}_{affine}=\begin{bmatrix}\mathbf{U}_{3\times3}&\mathbf{0}_{3\times1}\\\mathbf{t}_{1\times3}&1\end{bmatrix},\qquad [\mathbf{r}\ 1]\,\mathbf{M}_{affine}=[\mathbf{r}\mathbf{U}+\mathbf{t}\ \ 1]$ $\mathbf{U}$ 表示旋转和/或缩放，$\mathbf{t}$ 是平移。GEA 省略切变，理由是游戏中很少用。

平移、旋转、缩放（行向量形式）

• 平移：$\begin{bmatrix}\mathbf{I}&\mathbf{0}\\\mathbf{t}&1\end{bmatrix}$，求逆只需把 $\mathbf{t}$ 取负。
• 旋转：$\begin{bmatrix}\mathbf{R}&\mathbf{0}\\\mathbf{0}&1\end{bmatrix}$，角度用弧度。按行向量约定，三个 3×3 旋转块为