欧拉角与万向节锁

欧拉变换用 head（yaw）、pitch、roll 三个角度构造朝向矩阵，直观、易于用日常语言讨论，适合小角度调整和观察者朝向。但它依赖旋转顺序，两组欧拉角难以组合和插值，并且会出现万向节锁，因此更复杂的朝向处理需要四元数。

欧拉变换

默认观察方向沿 $-z$ ，头部朝 $y$ ： $\mathbf{E}(h,p,r)=\mathbf{R}_z(r)\mathbf{R}_x(p)\mathbf{R}_y(h)$

head 改变像摇头"不"，pitch 像点头，roll 像歪头。head 在飞行模拟里也叫 yaw。
矩阵顺序有 24 种选法，书中用的是常见的一种。 $\mathbf{E}$ 是旋转的连乘，所以正交，逆为 $\mathbf{E}^T$ 。
这些旋转可以相对世界轴，也可以相对局部坐标系。
建模系统常用 x/y/z 顺序，动画中也用 z/x/y，动画与物理中用 z/x/z。z/x/z 的优点是只有绕 x 转半圈（ $\pi$ ）时才会锁。**没有能完全避免万向节锁的顺序。**动画师偏爱用曲线编辑器编辑角度随时间的变化，所以欧拉角仍被广泛使用。（RTR4 4.2.2）

从矩阵提取欧拉角

展开 $\mathbf{E}$ 可得 $\sin p=e_{21}$ ， $e_{01}/e_{11}=-\tan r$ ， $e_{20}/e_{22}=-\tan h$ ，于是： $h=\operatorname{atan2}(-e_{20},e_{22}),\quad p=\arcsin(e_{21}),\quad r=\operatorname{atan2}(-e_{01},e_{11})$

特殊情况 $\cos p=0$ ：即万向节锁， $r$ 与 $h$ 绕同一根轴旋转，只需求一个角。任取 $h=0$ ，则 $r=\operatorname{atan2}(e_{10},e_{00})$ 。
$\arcsin$ 把 $p$ 限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$ ，若原矩阵的 $p$ 超出此范围就无法还原原参数；多组参数可能对应同一个变换。
这种简单方法有数值不稳定问题，可以用更慢的方法避免。

万向节锁

旋转使某个自由度丢失。例如顺序为 x/y/z 时，第二步绕 y 转 $\pi/2$ 会让局部 z 轴与原 x 轴对齐，最后的 z 旋转变得多余。
数学上： $p=\pm\pi/2+2\pi k$ 时矩阵只依赖一个角 $r+h$ 或 $r-h$ （不能同时两者）。

中间轴转到 $\pm 90°$ 时，第一轴与第三轴在空间中重合，两个自由度塌成一个，这就是万向节锁。

flowchart TD
  G0["三轴万向节：外环 / 中环 / 内环"] --> Pitch["中间轴转到 ±90°"]
  Pitch --> Align["内环轴与外环轴空间重合"]
  Align --> Lost["两轴转动效果相同：丢失 1 个自由度"]
  Lost --> Lock["万向节锁：只剩 r±h 一个有效角"]

其他局限

两组欧拉角难以组合；插值并非逐角度插值那么简单。甚至两组不同的欧拉角可能表示同一朝向，此时正确的插值应该完全不旋转。
这些是改用四元数的理由。

应用：约束变换

书中例子：虚拟扳手只能绕 x 轴转动，但输入设备给出的是任意旋转矩阵 $\mathbf{P}$ 。做法是从 $\mathbf{P}$ 中提取欧拉角，只用 $p$ 重新构造 $\mathbf{R}_x(p)$ 作为扳手的变换。

GEA 的视角（卷 I 5.3.11.1、5.5.1）

用物体自身的轴定义角度：GEA 指出 pitch/yaw/roll 无法用任意朝向的 $(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$ 定义，而要用模型空间的自然轴 $(\boldsymbol{\ell},\mathbf{u},\mathbf{f})$ ：pitch 绕左/右轴，yaw 绕上轴，roll 绕前轴（见坐标空间）。这与上文 RTR4 的 head（yaw）/pitch/roll 定义一致，只是 RTR4 直接绑定到「沿 −z 看、y 朝上」的默认朝向。
优点：简单、只需 3 个浮点数、直观；绕单一轴的旋转很容易插值（如在两个偏航角之间直接 lerp $\theta_Y$ ）。但绕任意轴的旋转无法简单插值。
万向节锁：GEA 的例子是绕 x 轴转 90° 后 y 轴「塌缩」到 z 轴上，之后绕原 y 轴的旋转与绕 z 轴等价，失去一个自由度。
旋转顺序：PYR、YPR、RYP 等每种顺序可能得到不同的复合旋转；各学科没有统一标准（个别学科有自己的约定），所以 $[\theta_Y\ \theta_P\ \theta_R]$ 三个数不足以唯一确定旋转，必须同时知道顺序。RTR4 给出 24 种顺序的说法，两书一致。
依赖轴映射：yaw 总是绕 up 轴，但没有额外信息就不知道 up 是 x、y 还是 z。
与其他表示的比较见旋转表示的比较。