多光源采样与光源 BVH

离散蒙特卡洛估计

$\sum_{i=1}^{n}f_i\approx\frac{f_j}{p(j)},\qquad j\sim p,\quad f_j\ne0\Rightarrow p(j)>0\quad(12.2)$ 这是积分蒙特卡洛估计的离散版本（见 蒙特卡洛积分与重要性采样）。理想的 $p$ 随位置、法线、BSDF 变化：背向或被遮挡的光源概率应为 0，又远又暗的光源概率应低，但小而暗的光源对紧邻它的点仍很重要。光源采样器还要提供 PMF()，供 BSDF 采样碰到光源时计算 MIS 权重；以及与着色点无关的采样，供双向方法从光源出发。

三种采样器

按功率采样的缺陷：一个辐射亮度很低的巨大三角形光源，面积越大功率越大，但对任何一点最多只张满一个半球，按功率会给它过多样本。光谱尖峰（如荧光灯）可能让功率被低估，作者说实践中没遇到问题。

光源包围 LightBounds

对每个非无穷远光源记录：空间包围盒、功率 $\phi$、主法线方向 $\omega$、法线偏离角 $\theta_o$、在 $\theta_o$ 之外仍可发光的附加角 $\theta_e$、是否双面。与 $\omega$ 夹角超过 $\theta_o+\theta_e$ 的方向肯定收不到光。

• 点光源：$\theta_o=\pi$，$\omega$ 任意；聚光灯：$\omega$ 为朝向，$\theta_o$ 为内锥、$\theta_e$ 为衰减带宽度；面光源：$\omega,\theta_o$ 来自 Shape::NormalBounds()，$\theta_e=\pi/2$。
• 两个细节：聚光灯的 $\phi$ 按各向同性点光源算（$4\pi I$），不乘锥角，因为锥已经在重要性函数里计入——否则同样强度的窄锥灯会被少采样；双面面光源的 $\phi$ 不乘 2，因为双面也已在重要性里计入（书中图 12.29：去掉这个多余的 2 后 MSE 改善 1.42 倍）。
• 合并两个包围：任一方功率为 0 则直接返回另一方；方向锥取并集，$\theta_e$ 取较大者（存余弦所以取较小的余弦）。
• 存储：LightBounds 52 字节；CompactLightBounds 24 字节：八面体编码单位向量 4 字节（见 球面几何与方向参数化），两个余弦各量化为 15 位并与双面标志打包成 4 字节，包围盒每坐标 16 位共 12 字节，$\phi$ 不压缩。量化都取保守方向：余弦向下取整（角度变大），包围盒下界向下、上界向上取整。

重要性函数

给定着色点 $p$（介质中法线为 0）：

1. 距离：取包围盒中心的距离平方，但不小于包围盒对角线长度的某个比例，避免点在盒内时 $1/r^2$ 趋于无穷、两个子节点无法比较；
2. 角度：$\theta_w$ 为 $\omega$ 与"盒中心→$p$"的夹角，$\theta_b$ 为盒子相对 $p$ 的张角，发光端的最小角 $\theta'=\max(0,\theta_w-\theta_o-\theta_b)$；若 $\theta'\ge\theta_e$，重要性为 0；
3. 重要性 $=\phi\cos\theta'/d^2$，表面上再乘入射余弦的保守上界 $\cos\max(0,\theta_i-\theta_b)$。 $\cos(\max(0,\theta_a-\theta_b))$ 不调用三角函数：若 $\cos\theta_a>\cos\theta_b$ 返回 1，否则用 $\cos\theta_a\cos\theta_b+\sin\theta_a\sin\theta_b$。这个重要性等于假设表面是漫反射的，不考虑 BSDF（练习 12.11；Liu 等 2019b 把 BSDF 纳入）。

构建与遍历

• 构建沿用几何 BVH 的分桶 SAH 框架（见 空间数据结构），代价改为 $\phi\cdot M_\Omega\cdot K_r\cdot\text{表面积}$，其中方向测度 $M_\Omega=2\pi\Big(\int_0^{\theta_o}\sin\theta'd\theta'+\int_{\theta_o}^{\min(\theta_o+\theta_e,\pi)}\cos(\theta'-\theta_o)\sin\theta'd\theta'\Big),$ $K_r$ 惩罚细长包围盒。笔者对三组 $(\theta_o,\theta_e)$ 数值积分，与 pbrt 代码中的闭式完全一致。这里没有光线，表面积不再有几何概率的依据；作者认为体积更合理，但表面积实践中更好，因为它惩罚"两维很大、第三维很薄"的盒子，这类盒子张角大、重要性估计不确定。
• 节点 LightBVHNode 28 字节，按 32 字节对齐，一条 64 字节 CPU 缓存行放 2 个、128 字节 GPU 缓存行放 4 个；第一个子节点紧跟父节点，只存第二个子节点的下标。
• 采样：无穷远光源（含方向光）不进 BVH，"每个无穷远光源"与"整棵 BVH"等概率；进入 BVH 后在每个内部节点按两子节点重要性用 SampleDiscrete() 选一个，并把均匀样本重映射回 $[0,1)$ 继续使用。只走一条路径，不需要栈；叶子的概率是路径上概率的乘积。两个子节点重要性可能都为 0（越往下界越紧），此时不返回光源。
• PMF：建树时为每个光源记录位轨迹 (bit trail)（Laine 2010），最低位表示根节点的选择；求 PMF 时按位确定性地走到叶子并累乘。

与实时渲染的对照与取舍

延伸阅读还列出：Ward 1991、Shirley 等 1996 的早期工作；Wald 等 2003 用低采样率预渲染统计光源贡献；Tokuyoshi–Harada 2016 随机光源剔除；Conty Estevez–Kulla 2018（pbrt 实现的直接来源，另有介质专用重要性和自适应分裂，pbrt 未实现）；Iray 也用光源 BVH（Keller 等 2017）；Vévoda 等 2018 贝叶斯回归、Guo 等 2020 体素间可见性缓存。