高效曲面细分

均匀细分与硬件管线（17.6 节）

最简单的是均匀细分：例如在贝塞尔面片每边取 11 个点，以 $(u_k,v_l)=(0.1k,0.1l)$ 双重循环求值，每四个点生成两个三角形，共 $10\times10\times2=200$ 个。

flowchart LR
  V["顶点着色器"] --> H["外壳着色器: 计算控制点与细分因子"]
  H --> T["细分器: 在 uv 域生成点并连成三角形"]
  T --> D["域着色器: 用控制点求每个 uv 的位置"]
  D --> G["几何着色器"]

上图是带硬件细分的管线（DirectX 命名，OpenGL 中称控制着色器和求值着色器），详见 曲面细分与几何着色器。

分数细分（17.6.1 节）

• Moreton 引入分数细分因子以获得更平滑的 LOD。四条边可以有独立因子（边的细分因子 = 该边生成的点数减一）；内部取上下两边中较大者和左右两边中较大者，例如基本细分率 4×8，因子较小的边沿边缘补三角形。
• 整数因子 $n$ 在 $k/n$ 处生成 $n+1$ 个点；分数因子 $r$ 在 $k/r$（$k=0\dots\lfloor r\rfloor$）处生成 $\lceil r\rceil$ 个点，最右点吸附到端点。这种模式不对称，相邻面片可能从另一端生成点而产生裂缝，Moreton 改用对称的点模式。三角形同样支持逐边独立的分数细分率，从而实现自适应细分（例如置换地形）。

自适应细分（17.6.2 节）

按曲率、边长或屏幕尺寸等度量调整细分率，避免在平坦或远处的区域生成多余三角形。

• 裂缝：两区域细分率不同时，一侧在边上求值的点另一侧没有。分数细分通常只用边本身的信息计算边因子（这是两个面片唯一共享的数据）；但浮点误差仍可能造成裂缝，Nießner 等要求无论从 $\mathbf{p}_0$ 到 $\mathbf{p}_1$ 还是反向细分，同一条边返回完全相同的点，保证水密。
• 跳变 / 游动：某条边的因子逐帧变化太大会产生 popping 或 swimming，计算因子时要考虑。
• 平坦度判据：对边 $(\mathbf{a},\mathbf{b})$，求参数中点对应的曲面点 $\mathbf{c}$ 及其到直线 $\mathbf{ab}$ 的投影 $\mathbf{d}$，距离 $l$ 足够小即认为平坦；S 形曲线可能被误判为平坦，可随机扰动采样参数；也可用相对量 $l/\lVert\mathbf{a}-\mathbf{b}\rVert$；三角形同理用中心点到三角形平面的距离。需设细分次数上限保证终止；分数细分可把 $\mathbf{c}\to\mathbf{d}$ 向量投影到屏幕，以其（缩放后）长度作为细分率。
• 其他因素：顶点邻域是否在视锥内（用包围边的球做视锥测试）、是否正面朝向（$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 处法线定义的三个平面都背向则不再细分）、屏幕覆盖是否大、是否靠近轮廓（某点法线与视线的点积接近 0 时继续细分，轮廓对感知质量最关键）。
• 屏幕空间边长估计：把线段平移到中点位于视线上并假设平行于近平面，投影长度 $s=\frac{\sqrt{(\mathbf{a}'-\mathbf{b}')\cdot(\mathbf{a}'-\mathbf{b}')}}{\mathbf{v}\cdot(\mathbf{a}'-\mathbf{e})}$ 分子是线段长度，分母是眼睛 $\mathbf{e}$ 到线段中点沿视线 $\mathbf{v}$ 的距离。与阈值 $t$ 比较时避免开方：$(\mathbf{a}'-\mathbf{b}')\cdot(\mathbf{a}'-\mathbf{b}')>t^2(\mathbf{v}\cdot(\mathbf{a}'-\mathbf{e}))^2$ 时继续细分。另一种做法是以边中心为球心、半边长为半径的球的投影作为因子（与面积成正比）。
• 置换细分的顶点因子 (Nießner & Loop)，$\mathbf{c}$ 为相机位置，$\mathbf{e}_i$ 为顶点 $\mathbf{v}$ 的 $n$ 条边，$k_i$ 为用户常数： $f_1=k_1\lVert\mathbf{c}-\mathbf{v}\rVert,\quad f_2=k_2\sum_i\lVert\mathbf{e}_i\times\mathbf{e}_{i+1}\rVert,\quad f_3=k_3\max(\lVert\mathbf{e}_0\rVert,\dots,\lVert\mathbf{e}_{n-1}\rVert)$ 分别基于距离、相连四边形面积、最长边。边因子取两端顶点因子的最大值，内部因子取对边因子的最大值。Nießner 等建议角色使用单一全局因子 $f$（依距离而定），细分次数为 $\lceil\log_2 f\rceil$。书中建议多试几种启发式及其组合。

Split and dice

Cook 等提出，目标是让每个三角形约一个像素以避免几何混叠；实时中阈值要提高到 GPU 能承受的程度。递归地把参数域四等分，直到估计均匀细分后的三角形达到目标大小，形成四叉树。适用于例如整片地形只是一个大面片、分数细分无法让近处更密远处更疏的情况。

• 相邻子方块层级差至多为 1（受限四叉树），再用补三角形的方法填裂缝；缺点是簿记更复杂。
• Liktor 等的 GPU 变体用分数分裂：分裂点从一侧平滑移到曲线或面片边的中心，原曲线替换为两段合起来等于原曲线的三次贝塞尔曲线，避免相机靠近时突然多分一次造成的游动和跳变；到达终止条件后剩下的子面片再用分数细分。

快速 Catmull-Clark 细分（17.6.3 节）