PN 三角形与 Phong 细分

PN 三角形（17.2.4 节）

Vlachos 等提出，"PN" 即点 (point) 与法线 (normal)，也称 N-patch，基于 van Overveld 与 Wyvill 的工作。输入三角形顶点 $\mathbf{p}_{300},\mathbf{p}_{030},\mathbf{p}_{003}$ 和法线 $\mathbf{n}_{200},\mathbf{n}_{020},\mathbf{n}_{002}$，$w=1-u-v$，构造三次贝塞尔三角形： $\mathbf{p}(u,v)=u^3\mathbf{p}_{300}+v^3\mathbf{p}_{030}+w^3\mathbf{p}_{003}+3u^2v\mathbf{p}_{210}+3u^2w\mathbf{p}_{201}+3uv^2\mathbf{p}_{120}+3v^2w\mathbf{p}_{021}+3vw^2\mathbf{p}_{012}+3uw^2\mathbf{p}_{102}+6uvw\mathbf{p}_{111}$

• 边控制点：把 $\tfrac23\mathbf{p}_{300}+\tfrac13\mathbf{p}_{030}$ 沿 $\mathbf{n}_{200}$ 投影到由 $\mathbf{p}_{300}$、$\mathbf{n}_{200}$ 定义的切平面（法线已归一化）： $\mathbf{p}_{210}=\frac13\Big(2\mathbf{p}_{300}+\mathbf{p}_{030}-\big(\mathbf{n}_{200}\cdot(\mathbf{p}_{030}-\mathbf{p}_{300})\big)\mathbf{n}_{200}\Big)$ 边控制点只依赖边两端的点和法线，相邻三角形共享法线时即保证 $C^0$。
• 内部控制点： $\mathbf{p}_{111}=\frac14(\mathbf{p}_{210}+\mathbf{p}_{120}+\mathbf{p}_{102}+\mathbf{p}_{201}+\mathbf{p}_{021}+\mathbf{p}_{012})-\frac16(\mathbf{p}_{300}+\mathbf{p}_{030}+\mathbf{p}_{003})$
• 法线二次插值（而不是从曲面求导）： $\mathbf{n}(u,v)=u^2\mathbf{n}_{200}+v^2\mathbf{n}_{020}+w^2\mathbf{n}_{002}+2(uv\,\mathbf{n}_{110}+uw\,\mathbf{n}_{101}+vw\,\mathbf{n}_{011})$ 线性插值法线无法表达拐点（凸面没问题，S 形会出错），所以用二次。$\mathbf{n}_{110}$ 不能简单取两端法线平均（两端法线相同时问题重现），而是把平均法线在法线平行于 $\mathbf{p}_{030}-\mathbf{p}_{300}$ 的平面 $\pi$ 中反射： $\mathbf{n}'_{110}=\mathbf{n}_{200}+\mathbf{n}_{020}-2\frac{(\mathbf{p}_{030}-\mathbf{p}_{300})\cdot(\mathbf{n}_{200}+\mathbf{n}_{020})}{(\mathbf{p}_{030}-\mathbf{p}_{300})\cdot(\mathbf{p}_{030}-\mathbf{p}_{300})}(\mathbf{p}_{030}-\mathbf{p}_{300})$ 再归一化。van Overveld 与 Wyvill 原本用 3/2 而非 2，用 2 恰好是真正的平面反射。
• LOD：原始数据为 LOD 0，LOD $n$ 在每条边插入 $n$ 个新顶点，生成 $(n+1)^2$ 个子三角形。

PN 三角形的坑

• 为避免裂缝，所有三角形必须用相同 LOD，小三角形和大三角形细分得一样多；可用分数细分和自适应细分解决（见 高效曲面细分）。
• 折痕难控制，常需在折痕附近插入额外三角形；Boubekeur 等允许顶点有两条法线，两个这样的相连顶点形成折痕。
• 三角形之间只有 $C^0$，但法线连续，看起来近似 $G^1$，多数情况可接受；但良好纹理需要 $C^1$。相邻三角形法线不共享会出现裂缝。改进：Grün 提高连续性；PNG1 三角形处处 $G^1$；McDonald 与 Kilgard 支持相邻三角形法线不同；Dyken 等只对视点下的轮廓自适应细分。

Phong 细分（17.2.5 节）

Boubekeur 与 Alexa 提出。基础三角形上的点 $\mathbf{p}(u,v)=(u,v,1-u-v)\cdot(\mathbf{p}_0,\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2)$。先定义把点 $\mathbf{q}$ 投影到顶点 $i$ 切平面的函数 $\mathbf{t}_i(\mathbf{q})=\mathbf{q}-\big((\mathbf{q}-\mathbf{p}_i)\cdot\mathbf{n}_i\big)\mathbf{n}_i$ 用它们代替顶点做线性插值，再用形状因子 $\alpha$ 与基础三角形混合： $\mathbf{p}^*(u,v)=(u,v,1-u-v)\cdot\big(\mathbf{t}_0(\mathbf{p}),\mathbf{t}_1(\mathbf{p}),\mathbf{t}_2(\mathbf{p})\big),\qquad \mathbf{p}^*_\alpha=(1-\alpha)\mathbf{p}+\alpha\mathbf{p}^*$ 推荐 $\alpha=0.75$。生成的是二次三角面片（次数低于 PN 三角形），法线像 Phong 着色那样线性插值。

对比