薄膜干涉与分层材质

衍射 (9.11.1)

• Huygens-Fresnel 原理：波前上每一点都可看作新球面波的源。遇到障碍时波会绕过边角（衍射）。平面上的反射中，各点的球面波恰好在反射方向相长、其余方向相消；表面有纳米级高度差时，球面波不再整齐对齐。
• 结果：一部分光镜面反射，其余按纳米几何的性质衍射到各方向，且随波长而异。镜面与衍射的比例取决于凸起高度分布的方差；衍射光围绕镜面方向的角度扩展取决于凸起宽度与波长之比——越宽扩展越小：大于 100 个波长时可忽略，宽度减小则扩展变大，直到小于一个波长时不再衍射。
• 周期性纳米几何的衍射最明显，重复图案相长加强，产生彩虹色（光盘、DVD、某些昆虫）。图形学多年来认为非周期表面的衍射很弱而基本忽略。
• Holzschuch 与 Pacanowski 分析测量材质发现许多材质有显著衍射，这可能解释了现有模型难以拟合它们的原因；他们随后用带衍射的微 BRDF 结合通用微表面 BRDF 建模（见微表面理论）。Toisoul 与 Ghosh 提出采集周期纳米几何的彩虹衍射效果，并在点光源和基于图像的光照下实时渲染。

薄膜干涉 (9.11.2)

• 薄电介质层上下表面反射的光路相互干涉；不同波长按与光程差的关系相长或相消。光程差随角度变化，于是各波长在相长与相消之间切换，呈现随视角变化的彩虹色偏移。
• 为什么要"薄"：相干长度是波的副本被位移后仍能与原波相干的最大距离，与光的带宽成反比。激光带宽极窄，相干长度可达数英里；宽带光波形混乱，相干长度很短。理想白光为 0，但可见光学中由人眼带宽（400–700 nm）决定，约 1 微米——因此膜厚超过约 1 微米就不再产生可见干涉。
• 过去认为只出现在肥皂泡、油渍上；Akin 指出它给许多日常表面（如皮革的镜面）带来细微着色，能提高真实感，此后 PxrSurface、Imageworks 等着色模型都加入了支持。
• 实时技术：

分层材质 (9.12)

• 表面可能覆盖灰尘、水、冰、雪，可能为装饰或保护涂漆，或本身就是多层结构（许多生物材质）。
• 清漆 (clear coat)：光滑透明层覆盖在不同材质的基底上，如粗糙木头上的清漆。Disney 原则模型、Unreal、PxrSurface、Dreamworks、Imageworks 等都有清漆项。
• 最显著的效果是双重反射（清漆层和基底各一次）。基底为金属时第二次反射最明显，因为电介质清漆与金属的折射率差最大；基底为电介质时折射率接近，第二次反射较弱——与水下材质的 $F_0$ 变化类似（见菲涅耳反射）。
• 有色清漆：物理上是吸收，按 Beer-Lambert 定律取决于光在层内的路径长度，路径长度又取决于视角、光方向和折射率。Disney 和 Unreal 等较简单的实现不模拟这种视角依赖，PxrSurface、Imageworks、Dreamworks 模拟；Imageworks 还允许任意叠加多层不同类型。
• 每层不同法线：如平坦路面上的水流、凹凸土壤上的光滑冰层、包着纸箱的皱保鲜膜。影视中的分层模型多数支持，实时应用不常见，Unreal 的清漆实现可选支持。
• 研究模型：Weidlich 与 Wilkie 的分层微表面模型假设层厚远小于微面元，支持任意层数，跟踪自上而下再返回的反射与折射，足够简单可实时实现，但不计层间多次反射。Jakob 等的框架全面准确、含多次反射，不适合实时，但可作为参考真值，其思路或能启发未来实时技术。
• **《使命召唤：无限战争》**的分层材质系统尤为突出：可合成任意数量的材质层，支持层间折射、散射和基于路径长度的吸收，以及每层不同法线，配合高效实现，在 60 Hz 游戏中做出了前所未有复杂度的实时材质。

PBRT 的视角：薄电介质、分层与波动光学的延伸（PBRT 4e 9.5.1、第 9 章延伸阅读）

• 薄电介质：两层平行、互逆（$\eta$ 与 $1/\eta$）的光滑界面，如窗玻璃、保鲜膜。Stokes（1860）对"玻璃板堆"的分析：忽略层内侧向位移，把无穷次内反射求和得 $R'=R+T^2R/(1-R^2)$、$T'=1-R'$；$T=1-R$ 时化简为 $R'=2R/(1+R)$，正入射 $\eta=1.5$ 时由 0.04 增到 0.077。pbrt 的 ThinDielectricBxDF 只用一个几何面表示两层界面，透射方向就是 $-\omega_o$，省去层间光线求交。注意它是非相干求和（能量相加），不产生上文的薄膜干涉色；后者需要相位，属于波动光学。
• 分层材质的研究脉络（延伸阅读）：Hanrahan–Krueger 1993（每层单次散射，用于皮肤）；Dorsey–Hanrahan 1996（Kubelka–Munk，假设辐亮度与方向无关）；Pharr–Hanrahan 2000（用蒙特卡洛解 adding equations）；Weidlich–Wilkie 2007（上文已述）；Guo 等 2018（层内随机游走，pbrt 14.3 节 LayeredBxDF 即基于此）；Jakob 等 2014、Zeltner–Jakob 2018（离散散射矩阵 + adding equations）；Belcour 2018（统计算子映射为 TR 波瓣之和，可实时）。
• 波动光学：当几何特征接近光的波长时（油膜、细小划痕、微米级结构）会出现结构色。FDTD 需要小于 100 nm 的网格和亚飞秒时间步，只适合微米尺度的局部研究；图形学的做法是在几何模拟中重新引入波动效应，如 Belcour–Barla 2017 的粗糙表面薄膜虹彩（可在 RGB 渲染中高效计算）、Werner 等 2017 的划痕虹彩、Yan 等 2018 的相干区域闪点。
• 与上文 RTR4 的关系：RTR4 侧重实时清漆与薄膜近似；PBRT 第 9 章只实现非相干薄电介质，分层材质留到第 14 章，薄膜干涉完全不实现（需要相位信息）。

PBRT 的视角：用一维传输方程随机求值的 LayeredBxDF（PBRT 4e 14.3）

• 模型：两个界面（各自任意 BxDF）夹一层均匀介质，底面在 $z=0$。假设光在同一点进出（层足够薄），于是介质只随深度变化、光照在平面上均匀，传输方程退化为一维：$T_r(z_0\to z_1,\omega)=e^{-\sigma_t|z_0-z_1|/|\omega_z|}$。用户只指定厚度和单次散射反照率，$\sigma_t$ 固定为 1（避免难调的系数，也不需要零散射）。更多层可嵌套 LayeredBxDF，或用 Gamboa 等 2020 的方法（练习 14.8）。
• BSDF 即虚拟光源下的出射亮度：取 $L_i(\omega)=\delta(\omega-\omega_i)/|\cos\theta_i|$，代入反射方程得 $L_o(\omega_o)=f(\omega_o,\omega_i)$。因此 f()、PDF() 都是随机的，返回 nSamples 个独立估计的平均；BSDF 内部多采样不用多追光线、不用多查纹理，比提高像素采样率便宜。方法来自 Guo 等 2018（position-free Monte Carlo）。
• 求值流程：双面材质把两方向一起取反（而不是递归调用，避免 GPU 线程分歧）；入射一侧的界面视为"顶"（TopOrBottomBxDF）；同侧时先直接加上顶面反射；随后沿随机游走：从顶面 BTDF 采样进入方向，出口界面的 BTDF 只采样一次（用相反的 TransportMode，以正确处理非对称散射）。每个介质散射点对虚拟光源做两种连接——按相位函数采样、按出口 BTDF 采样——再用 MIS 合并；碰到出口界面只采样反射（透射出去就无法再从 $\omega_i$ 方向离开）；俄罗斯轮盘比路径积分器更保守，因为每次弹跳很便宜。按 $p(\Delta z)=e^{-\Delta z/|\omega_z|}/|\omega_z|$ 精确采样深度，落在层内取介质散射，否则夹到下一界面。f() 没有均匀样本参数，只能用按两方向与全局种子哈希的 RNG（保证可复现、无相关），因而用不上低差异序列（练习 14.7）。
• 采样与 PDF：Sample_f() 随机游走到离开介质，吞吐量/PDF 之比等于真实 $f/p$，但单独的 PDF 值不可用于 MIS，故设 pdfIsProportional。PDF() 是无穷级数 $p=p_r^++\iint p_t^+p_r^-p_t^+\,d\omega'd\omega''+\cdots$（14.36）：只随机估计 TRT 一项（两种采样策略 MIS），更高阶项和介质散射用均匀球面 PDF $1/4\pi$ 混合近似——多次散射后分布趋于各向同性；只用于 MIS 权重，所以近似不影响无偏性。PDF() 的 RNG 种子要与 f() 不同，避免相关。
• CoatedDiffuseBxDF / CoatedConductorBxDF：电介质界面分别盖在漫反射和导体上，几乎只是模板实例化。书中图 14.22：加光滑涂层后蓝色漫反射更饱和（光在层内多次反射），粗糙涂层不那么亮但仍饱和；图 14.17：导体上加反照率 0.7 的散射层，厚度 0.15 时略暗，0.5 时明显变暗且更漫射。
• 与上文 RTR4 的分歧：RTR4 的实时清漆把顶层与基底的贡献解析相加（通常只计一次透射—反射—透射，Weidlich–Wilkie 也不计层间多次反射）；PBRT 用随机游走计入任意阶层间反射和层内散射，正是这些多次反射造成图 14.22 中的颜色饱和，而简单相加模型得不到。代价是 BSDF 本身带噪声、每次求值成本随层内弹跳数增长。