齐次坐标与矩阵约定

为什么需要 4×4 和齐次坐标

• 线性变换满足 $f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})=f(\mathbf{x}+\mathbf{y})$ 与 $kf(\mathbf{x})=f(k\mathbf{x})$。缩放、旋转等三元素向量的线性变换都能用 3×3 矩阵表示。
• 平移 $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}+(7,3,2)$ 不是线性的：作用在两个向量上再相加，会把 $(7,3,2)$ 加两次。
• 仿射变换先做线性变换再平移，通常存成 4×4 矩阵。平移、旋转、缩放、反射、切变矩阵都是仿射的；仿射变换保持直线的平行性，但不一定保持长度与角度。（RTR4 第 4 章开头）

点与方向

至此介绍的变换都保持 $w$ 不变、矩阵最后一行为 $(0\ 0\ 0\ 1)$。透视投影是例外：变换后 $w$ 通常不为 1，需要齐次化（除以 $w$）得到非齐次点。几何上，齐次化可以理解为把点投影到 $w=1$ 平面上。（RTR4 4.7）

点与方向的差别完全由 $w$ 决定：平移只作用在 $w=1$ 的点上。

flowchart TD
  In["输入四元向量"] --> W{"w 分量"}
  W -->|"w = 1 点"| Pt["经仿射变换：被旋转+缩放+平移"]
  W -->|"w = 0 方向"| Dir["经仿射变换：只被线性部分作用，平移项乘 0"]
  Pt --> Out1["结果仍为点 w=1"]
  Dir --> Out2["结果仍为方向 w=0"]

列向量与行向量

• RTR4 用列向量：$\mathbf{p}'=\mathbf{M}\mathbf{p}$，平移量在最右一列，复合矩阵 $\mathbf{TRS}\mathbf{p}=\mathbf{T}(\mathbf{R}(\mathbf{S}\mathbf{p}))$ 从右往左作用。
• DirectX 等把平移放在最下一行，向量是行向量（书中称 row-major form），矩阵顺序反过来、从左往右读；DirectX 文档中的投影矩阵因此是本书矩阵的转置形式。
• 书中强调这纯粹是记法差异：矩阵存入内存时，16 个值中最后 4 个都是三个平移量加一个 1。（RTR4 4.1.1）

列向量与行向量只是记法镜像：变换顺序对向量「最近的矩阵先作用」这一口诀两边通用。

flowchart LR
  subgraph Col["列向量约定 Mp"]
    direction TB
    C1["p"] --> C2["先 S"]
    C2 --> C3["再 R"]
    C3 --> C4["再 T"]
    C4 --> C5["写作 T R S p"]
  end
  subgraph Row["行向量约定 pM"]
    direction TB
    R1["p"] --> R2["先 S"]
    R2 --> R3["再 R"]
    R3 --> R4["再 T"]
    R4 --> R5["写作 p S R T"]
  end
  Col -.->|"矩阵互为转置"| Row

右手与左手坐标系

• 书中假设观察者沿相机的 $-z$ 轴看，$y$ 向上、$x$ 向右，这是右手系；绕 z 轴的正角度旋转为逆时针（z 轴指出纸面）。
• DirectX 等使用左手系，观察方向为 $+z$。两种都正确，最终效果相同。
• 投影后的视口通常是左手系（z 指入屏幕），正交投影矩阵里因此隐含一次镜像。（RTR4 4.7.1）

世界的"上"方向

• 制造业、3D 打印、建筑和 GIS 通常 z 朝上；航空与船舶以 $-z$ 为上；面向媒体的建模系统常以 y 为上，与屏幕的上方向一致。RTR4 默认 y-up。
• 两种约定只差一个 90° 旋转（可能还有一次镜像），但不知道对方用哪种就会出问题。
• 相机观察空间里的"上"与世界的"上"无关：俯瞰地面的相机在 y-up 世界中的上方向是 $(0,0,-1)$，但在观察空间里依然是 y 朝上。（RTR4 4.2.1）

取舍与常见坑

• 在不同 API 或工具间移植时，矩阵记法、手性、上方向三件事都要核对。
• 用右下角元素 $(3,3)=1/5$ 也能实现均匀放大 5 倍，但必须再做齐次化，多出除法；若系统总是做除法则没有额外开销。（RTR4 4.1.3）

GEA 的视角：矩阵基础与行向量约定（卷 I 5.3）

GEA 第 5 章从游戏引擎程序员的角度讲同样的内容，但采用行向量约定，与本页上文 RTR4 的列向量约定相反。下面按 GEA 小节整理，并标出与 RTR4 的差异。

矩阵、行列式与矩阵种类（卷 I 5.3、5.3.1–5.3.2）

• 矩阵是 $m\times n$ 的标量数组，元素记作 $M_{rc}$（行 r、列 c），便于表示平移、旋转、缩放等变换。
• 原书问题：GEA 开头称矩阵便于表示「平移、旋转、缩放等线性变换」。平移不是线性变换（见本页上文 RTR4 的反例），而是仿射变换；GEA 自己在 5.3.8 也说明 3×3 矩阵无法表示平移、必须借助 4×4 齐次坐标。
• 行列式：$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$；3×3 按第一行展开：$\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$。行列式为 0 时矩阵不可逆。
• 正交矩阵 (orthogonal / orthonormal)：3×3 的行、列都是两两正交的单位向量；再加 $\det=+1$ 即特殊正交矩阵，表示纯旋转。
• 仿射矩阵：保持直线平行性与距离比例、不一定保持绝对长度和角度的 4×4 变换矩阵，是旋转、平移、缩放、切变的任意组合。

乘法、单位阵、逆与转置（卷 I 5.3.3、5.3.5–5.3.7）

• $\mathbf{P}=\mathbf{AB}$ 的元素是 $\mathbf{A}$ 的行与 $\mathbf{B}$ 的列的点积，要求内维相等。两个变换矩阵之积同时执行两个变换，因此可预先合并一长串变换再批量作用于大量向量；矩阵乘法因此也叫串接 (concatenation)。不满足交换律：$\mathbf{AB}\ne\mathbf{BA}$。
• 单位阵 $\mathbf{I}$：$\mathbf{AI}=\mathbf{IA}=\mathbf{A}$。
• 逆：$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$。并非所有矩阵可逆，但所有仿射矩阵都可逆；一般用高斯消元或 LU 分解求逆。
• 原书问题：「所有仿射矩阵（旋转、平移、缩放、切变的组合）都可逆」不严格：含零缩放（某轴缩放因子为 0，把物体压成平面或点）的仿射矩阵行列式为 0，不可逆。仿射变换可逆当且仅当其左上 3×3 线性部分可逆（$\det\ne0$）——这正是 GEA 5.3.1 自己给出的行列式判据。$(\mathbf{ABC})^{-1}=\mathbf{C}^{-1}\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$。
• 转置：行列互换，$(\mathbf{ABC})^T=\mathbf{C}^T\mathbf{B}^T\mathbf{A}^T$。正交（纯旋转）矩阵的逆就是转置，远比一般求逆便宜；在行向量库与列向量库之间搬数据时，矩阵也要互相转置。

行向量还是列向量（卷 I 5.3.4）

• 行向量 $1\times n$ 必须写在矩阵左边：$\mathbf{v}'=\mathbf{v}\mathbf{M}$；列向量写在右边：$\mathbf{v}'=\mathbf{M}\mathbf{v}$。
• 多个变换 A、B、C 依次作用：行向量 $\mathbf{v}'=((\mathbf{v}\mathbf{A})\mathbf{B})\mathbf{C}$ 从左往右读；列向量 $\mathbf{v}'^T=\mathbf{C}^T(\mathbf{B}^T(\mathbf{A}^T\mathbf{v}^T))$ 从右往左读。记法口诀：离向量最近的矩阵最先作用。
• GEA 选择行向量，理由是从左到右的变换顺序对英语读者最直观；并提醒读者核对所用引擎、书籍和网页的约定——向量写在矩阵左边是行向量，右边是列向量；用列向量时要把书中所有矩阵转置。
• 与 RTR4 的对照：RTR4 用列向量（$\mathbf{TRS}\mathbf{p}$ 从右往左），GEA 用行向量（$\mathbf{r}\mathbf{S}\mathbf{R}\mathbf{T}$ 从左往右），两书矩阵互为转置；两书都强调这只是记法。

齐次坐标与方向向量（卷 I 5.3.8）

• 引子：2×2 矩阵可表示二维旋转（正角度为逆时针），行向量写法 $[r'_x\ r'_y]=[r_x\ r_y]\begin{bmatrix}\cos\phi&\sin\phi\\-\sin\phi&\cos\phi\end{bmatrix}$；它其实就是绕 z 轴的三维旋转，扩成 3×3 即可。三维旋转能用 3×3 表示，平移却不能。
• 3×3 矩阵无法表示平移：无论怎样排列 $\mathbf{t}$ 的分量，乘法都得不到 $r_x+t_x$ 这样的和。改用 4×4、把 $\mathbf{t}$ 放在最下一行（行向量约定）、向量第四分量 $w=1$，第一列点积即为 $1\cdot r_x+t_x\cdot1$；右下角为 1、第四列其余为 0，结果的 $w$ 仍为 1。点在齐次坐标中总有 $w=1$；游戏引擎的大部分 3D 矩阵运算都用 4×4 矩阵与齐次四元素向量。（原书此处一句话说「与列向量 r 相乘」，与上下文的行向量写法不一致，属笔误。）
• 方向向量 $w=0$，与矩阵相乘时 $0\cdot\mathbf{t}$ 消去平移：$[\mathbf{v}\ 0]\begin{bmatrix}\mathbf{U}&\mathbf{0}\\\mathbf{t}&1\end{bmatrix}=[\mathbf{v}\mathbf{U}\ 0]$。平移方向向量会改变其大小，通常不是想要的。
• 齐次到三维：$(x,y,z,w)\equiv(x/w,y/w,z/w)$。$w=1$ 时除法无影响；方向除以 $w=0$ 得无穷，纯方向向量就像四维齐次空间中的无穷远点——能旋转、不能平移。

4×3 矩阵（卷 I 5.3.10）

仿射 4×4 矩阵（行向量约定下）最右一列恒为 $(0,0,0,1)^T$，游戏程序员常省去这一列以节省内存，数学库中常见 4×3 仿射矩阵。

矩阵在内存中的存储（卷 I 5.3.14）

• C/C++ 二维数组 float m[4][4] 第一个下标是行、第二个是列，列下标在内存中变化最快。
• 两种布局：(1) 把基向量 $\mathbf{i}_C,\mathbf{j}_C,\mathbf{k}_C,\mathbf{t}_C$ 各放一行，连续存储；(2) 各放一列，跨步存储。
• 布局 (1) 可以直接把一行当作 4 元素向量取出，并与行向量公式一致；布局 (2) 有时用于 SIMD 下的快速矩阵-向量乘法（见 SIMD 向量化）。作者遇到的多数引擎用布局 (1)。
• 快速判断法：调用库函数构造平移 (4, 3, 2)，若第 3 行（从 0 数）为 4.0f, 3.0f, 2.0f, 1.0f，则向量存于行，否则存于列。这与 RTR4「内存中最后 4 个值都是三个平移量加 1」的说法一致。

PBRT 的视角：列向量、行主序存储与随身携带的逆矩阵（PBRT 4e 3.9.1–3.9.3、3.10）

• 记法：PBRT 与 RTR4 一样用列向量 $p'=Mp$；矩阵的各列就是原坐标系的基向量和原点变换后的位置（$Mx=[m_{0,0}\ m_{1,0}\ m_{2,0}\ m_{3,0}]^T$）。下标从 0 开始，与代码对应。复合 $T=ABC$ 表示先 $C$ 后 $A$。PBRT 的"延伸阅读"特别提醒：Rogers & Adams 等经典教材用行向量 $pM$，矩阵要转置——与 GEA 的行向量约定（上文）是同一个差别。
• 同一矩阵的两种解读："在同一标架内移动点"和"把坐标从一个标架换到另一个"，两者不兼容；pbrt 的大部分用法是后者。
• 齐次坐标只藏在变换实现里：pbrt 没有齐次点类，变换函数内部隐式补 $w=1$（点）或 $w=0$（向量），只有 $w\ne1$（第 5 章的投影变换）时才做除法。$[1,3,-2,1]$ 与 $[-2,-6,4,-2]$ 是同一个点。
• 存储：SquareMatrix<4> 按行主序存（m[i][j] 是第 $i$ 行第 $j$ 列）——内存布局与列向量记法是两回事，不要混淆。Transform 同时存矩阵和逆矩阵，单精度下共 128 字节；几百万个形状往往只有几千个不同变换，所以形状只存指针，场景构建时用 InternCache 去重。求逆失败时逆矩阵填 NaN，只要不调用用到逆的方法仍可使用；能写出解析逆的变换（平移、缩放、旋转）都直接传入逆矩阵，避免通用 4×4 求逆的开销和精度损失。$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，所以复合变换的逆就是 t2.mInv * mInv。

原书小问题（PBRT 第 3 章参考文献）：RTR4 的作者之一写成 "A. Peesce"，应为 A. Pesce（Angelo Pesce）。来源：https://pbr-book.org/4ed/Geometry_and_Transformations/Further_Reading 与 RTR4 封面署名（Akenine-Möller, Haines, Hoffman, Pesce, Iwanicki, Hillaire）。