漫反射与次表面 BRDF

次表面反照率 $\rho_{ss}$

• 定义：从表面逸出的光能与进入材质内部的光能之比，范围 0（全吸收）到 1，随波长变化，用 RGB 表示；创作时常称漫反射色（对应镜面色 $F_0$），与第 14 章的散射反照率密切相关。
• 电介质大部分入射光被透射而非反射，所以 $\rho_{ss}$ 通常比 $F_0$ 更亮、视觉上更重要。二者来自不同物理过程（内部吸收 vs 表面菲涅耳反射），光谱和颜色通常不同：有色塑料是透明基质加颜料颗粒，红色塑料球的高光是白色的。
• 可理解为吸收与散射的"赛跑"。泡沫比液体亮得多：起泡不改变吸收率，但大量气-液界面增加散射。参考值：新雪 0.8 以上，白漆约 0.7，混凝土、石头、土壤平均 0.15–0.4，煤接近 0。
• 变湿变暗与泡沫相反：多孔材质中水填充原来的空气空隙，电介质折射率与水比与空气接近得多，相对折射率降低使内部散射减少，光在逸出前平均走得更远，被吸收更多，$\rho_{ss}$ 变暗。
• 常见误解：$\rho_{ss}$ 不应低于约 0.015–0.03（8 位 sRGB 的 30–50）。这一下限基于同时包含镜面和漫反射的测量，偏高。例如 "OSHA Black" 漆的 Y 值为 0.35（满分 100），考虑测量条件与光泽后对应 $\rho_{ss}$ 约 0.0035（sRGB 8 位值 11）。
• 从真实表面采集时要分离镜面反射（受控光照与偏振滤镜），并做颜色校准。
• 反射光谱任何波长都不超过 1 且通常很平滑，因此合理的 $\rho_{ss}$ 只占色彩空间的一部分；sRGB 色域中也有超出该范围的颜色。应避免过饱和、过亮的值，否则既不真实，又会在预计算全局光照时造成过亮的二次反射（参考 Meng 等 2015 年的论文）。

尺度与粗糙度：选哪类模型

下图概括书中的判断依据：比较的是微几何不规则的尺寸与次表面散射距离。

flowchart TD
  A["比较微几何不规则尺寸与次表面散射距离"] -->|"不规则更大"| B["粗糙表面漫反射模型: 微表面理论 + 漫反射微 BRDF, 有逆反射"]
  A -->|"散射距离更大"| C["光滑表面漫反射模型: 无逆反射"]
  A -->|"两种尺度都有"| D["粗糙表面模型, 但只用大于散射距离的不规则构成的有效表面, 漫反射粗糙度低于镜面粗糙度"]

• 观察尺度也决定什么算"微几何"：从地球看月亮时，五英尺大的巨石也是微几何，所以月亮呈现明显逆反射。

光滑表面模型

• Lambert：$f_{\text{diff}}=\dfrac{\rho_{ss}}{\pi}$。它没有考虑表面反射掉的光不能参与次表面散射。
• 基本修正是乘以一减去镜面项的菲涅耳部分：镜面项是平面镜时 $f_{\text{diff}}=(1-F(\mathbf{n},\mathbf{l}))\frac{\rho_{ss}}{\pi}$，是微表面项时 $f_{\text{diff}}=(1-F(\mathbf{h},\mathbf{l}))\frac{\rho_{ss}}{\pi}$。它们的出射分布均匀，但有两个理由怀疑并非完全均匀：BRDF 随入射方向变化，互易性要求它也随出射方向变化；光射出时的折射也会带来方向偏好。
• Shirley 等的耦合漫反射项（平面，假设 Schlick 菲涅耳，满足能量守恒与互易）： $f_{\text{diff}}(\mathbf{l},\mathbf{v})=\frac{21}{20\pi}(1-F_0)\,\rho_{ss}\Big(1-\big(1-(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^+\big)^5\Big)\Big(1-\big(1-(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})^+\big)^5\Big)$
• Ashikhmin-Shirley / Kelemen-Szirmay-Kalos 的通用形式（可配合任意镜面项）： $f_{\text{diff}}(\mathbf{l},\mathbf{v})=\rho_{ss}\frac{\big(1-R_{\text{spec}}(\mathbf{l})\big)\big(1-R_{\text{spec}}(\mathbf{v})\big)}{\pi\big(1-\bar R_{\text{spec}}\big)}$ $R_{\text{spec}}$ 是完整镜面项（含菲涅耳，若使用也含多次反射项 $f_{\text{ms}}$）的方向反照率，可预计算成表；$\bar R_{\text{spec}}$ 是其余弦加权平均。Imageworks 的多次反射镜面项正是由此导出；不同的是这里的表还依赖菲涅耳，维数更高。Imageworks 用以折射率为第三轴的 16×16×16 三维表（加入多次反射项后更平滑）。若使用 Schlick 且无多次反射项，$F_0$ 可提出积分外，用每项存两个量的二维表（Karis），或用 Lazarov 拟合的解析函数；二者的 $R_{\text{spec}}$ 也用于基于图像的光照（第 10.5.2 节），同时实现时可共用查表。
• 基于物理原理的模型多依赖 Chandrasekhar 的半无限各向同性散射体 BRDF；Kulla 与 Conty 证明平均自由程足够短时它与任意形状的散射体完全吻合。它不含折射，只适用于折射率匹配的表面；非匹配表面需考虑进出时的折射（Hanrahan-Krueger、Wolff）。

粗糙表面模型

• Disney 漫反射（Burley，含粗糙度效应并匹配测量材质）： $f_{\text{diff}}=\chi^+(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})\chi^+(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})\frac{\rho_{ss}}{\pi}\big((1-k_{ss})f_d+1.25\,k_{ss}f_{ss}\big)$ $f_d=\big(1+(F_{D90}-1)(1-\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^5\big)\big(1+(F_{D90}-1)(1-\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})^5\big),\quad F_{D90}=0.5+2\sqrt{\alpha}(\mathbf{h}\cdot\mathbf{l})^2$ $f_{ss}=\Big(\frac{1}{(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})}-0.5\Big)F_{SS}+0.5,\quad F_{SS}=\big(1+(F_{SS90}-1)(1-\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^5\big)\big(1+(F_{SS90}-1)(1-\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})^5\big),\quad F_{SS90}=\sqrt{\alpha}(\mathbf{h}\cdot\mathbf{l})^2$ $\alpha$ 为镜面粗糙度（各向异性时取中间值）。$f_{ss}$ 受 Hanrahan-Krueger 启发，作为远处物体全局次表面散射的廉价替代，用 $k_{ss}$ 混合。用于电影，也用于游戏（Frostbite，不含次表面项）。完整 Disney 漫反射还有 sheen 项（主要用于织物，也补偿缺少多次反射镜面项的能量损失，见布料着色）；后来 Burley 又提出与全局次表面散射配合的更新模型。由于与镜面共用粗糙度，某些材质难以表现，但改用单独的漫反射粗糙度很容易。
• Oren-Nayar：Lambert 微 BRDF + 球面高斯 NDF + V 形腔遮蔽阴影，完整形式模拟一次二次反弹，另有简化的"定性"模型；后续有优化、使定性模型更接近完整模型、以及把微 BRDF 换成更准确的光滑表面漫反射模型等改进。它假设的 NDF 和遮蔽函数与当前镜面模型差别很大。
• Gotanda：GGX + 高度相关 Smith，以 Shirley 耦合项为微 BRDF 数值积分通用微表面方程后拟合解析函数；不计面元间相互反射，拟合函数较复杂。
• Hammon：同样的 NDF、遮蔽函数和微 BRDF，但数值模拟中计入相互反射——对较粗糙表面它可占总反射的一半，而第二次反弹几乎包含全部缺失能量，所以用两次反弹的数据，并拟合出较简单的函数： $f_{\text{diff}}=\chi^+(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})\chi^+(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})\frac{\rho_{ss}}{\pi}\big((1-\alpha_g)f_{\text{smooth}}+\alpha_gf_{\text{rough}}+\rho_{ss}f_{\text{multi}}\big)$ $f_{\text{smooth}}=\tfrac{21}{20}(1-F_0)\big(1-(1-\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^5\big)\big(1-(1-\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})^5\big),\quad f_{\text{rough}}=k_{\text{facing}}(0.9-0.4k_{\text{facing}})\frac{0.5+\mathbf{n}\cdot\mathbf{h}}{\mathbf{n}\cdot\mathbf{h}}$ $k_{\text{facing}}=0.5+0.5(\mathbf{l}\cdot\mathbf{v}),\quad f_{\text{multi}}=0.3641\,\alpha_g$ $\alpha_g$ 为 GGX 镜面粗糙度，$f_{\text{smooth}}$ 即去掉 $\rho_{ss}/\pi$ 的 Shirley 耦合项；也可换成其他光滑模型（"混合" BRDF）以提速或兼容旧资产。它便宜且理论扎实，但没有与测量数据对比；推导基于不规则大于散射距离的假设，限制了适用材质。

取舍

• 许多实时应用仍用 Lambert：计算便宜，更容易与间接光和烘焙光照配合，与更复杂模型的视觉差异常常很细微；但对照片级真实感的追求正推动更准确模型的使用。

PBRT 的视角：Lambert 的实现与改进方向（PBRT 4e 9.2、第 9 章延伸阅读）

• DiffuseBxDF：$f_r=R/\pi$，$R\in[0,1]$，$\int_{H^2}\frac R\pi\cos\theta'\,d\omega'=R$。采样用余弦加权半球，书中测试 MSE 比均匀半球低 2.34 倍、无额外开销。
• 局限：掠射角下真实表面有明显镜面反射，偏离均匀；PTFE（聚四氟乙烯）粉末是接近理想的 Lambert 反射体，用于校准。
• 改进方向：Oren–Nayar（1994，Lambert 微面元，可调粗糙度）；Simonot（2009，介于 Oren–Nayar 与 Torrance–Sparrow 之间：Lambert 面元上加一层从全透射到全镜面可调的界面）；d'Eon（2021，由 Lambert 球形散射体聚集推导的解析 BRDF，与许多材质吻合，书中列为习题）。
• 与上文（RTR4）的关系一致：都把 Lambert 视为理想化模型；RTR4 更关注与镜面项的能量权衡和实时粗糙漫反射模型，PBRT 第 9 章只实现 Lambert，更复杂的"漫反射基底 + 粗糙电介质涂层"用第 14 章的分层 BSDF 实现。