渲染方程

渲染方程 (Kajiya, 1986) 把"某点接收到的光就是其他点发出或反射的光"写成递归积分，概括了光从光源出发经任意次反弹到达眼睛的所有路径。反射方程是它的受限特例。离线用辐射度 (Radiosity) 或蒙特卡洛路径追踪求解；实时渲染则靠简化和预计算逼近它（RTR4 第 11 章）。

从反射方程到渲染方程

前面各章用的反射方程把入射辐射亮度 $L_i$ 当作已知：

$L_o(\mathbf{p},\mathbf{v})=\int_{\mathbf{l}\in\Omega} f(\mathbf{l},\mathbf{v})\,L_i(\mathbf{p},\mathbf{l})\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^+\,d\mathbf{l}$

渲染方程加入自发光项 $L_e$，并把入射亮度替换为另一点的出射亮度：

$L_o(\mathbf{p},\mathbf{v})=L_e(\mathbf{p},\mathbf{v})+\int_{\mathbf{l}\in\Omega} f(\mathbf{l},\mathbf{v})\,L_o(r(\mathbf{p},\mathbf{l}),-\mathbf{l})\,(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^+\,d\mathbf{l}$

其中 $r(\mathbf{p},\mathbf{l})$ 是光线投射函数，返回从 $\mathbf{p}$ 沿 $\mathbf{l}$ 射出的光线击中的第一个表面点。z-buffer 实际上就在为从眼睛出发的光线计算它。唯一的新东西是递归项 $L_o(r(\mathbf{p},\mathbf{l}),-\mathbf{l})$：要算它又需要在 $r(r(\mathbf{p},\mathbf{l}),\mathbf{l}')$ 处再积分，无穷无尽。

关键性质：渲染方程对发光量是线性的——光源加倍，结果加倍；各光源对材质的作用互不影响。这条性质是预计算辐射传输的基础。

局部光照与全局光照

GPU 最擅长的是局部光照：图元独立处理、光栅化后丢弃，算点 b 时拿不到点 a 的光照结果。透明、反射、阴影都是需要其他物体信息的全局光照算法，能大大增加真实感和空间关系线索，但往往需要预计算或多遍渲染。

Heckbert 光路表示法

把光子从光源 (L) 到眼睛 (E) 路径上的每次交互标为漫反射 (D) 或镜面 (S)，可再加"光泽"(glossy) 等类型，用正则表达式概括算法模拟了哪些路径：

书中建议从眼睛往回推更容易写出表达式。实时全局光照最常用的两种策略是简化（比如假设到达眼睛前的反弹都是漫反射）和预计算（离线把光照存进纹理等）。

为什么实时渲染也要了解离线算法

1. 静态或部分静态场景可以把它们当预处理运行（烘焙），游戏中很常见；
2. 它们有严格的理论基础，近似都经过分析。设计实时方案时也应知道捷径的后果和正确做法是什么。

辐射度 (Radiosity)

• 第一个模拟漫反射表面间光线反弹的图形学技术，可计算面光源的相互反射和软阴影。假设所有间接光来自漫反射表面（抛光大理石、大镜子会失效，建筑场景通常可接受），可跟踪实际上无限次漫反射反弹。
• 表面分成若干面片，每片一个平均值；面片要小到能捕捉阴影边缘等细节，但不必与三角形一一对应或等大。

$B_i=B_i^e+\rho_{ss}\sum_j F_{ij}B_j$

$B_i^e$ 为面片 $i$ 的辐射出射度（只有光源非零），$\rho_{ss}$ 为次表面反照率，$F_{ij}$ 为形状因子：

$F_{ij}=\frac{1}{A_i}\int_{A_i}\int_{A_j}V(i,j)\,\frac{\cos\theta_i\cos\theta_j}{\pi d_{ij}^2}\,da_i\,da_j$

$V$ 为可见性（0/1），$\theta$ 为两面片法线与连线的夹角，$d_{ij}$ 为距离。形状因子是纯几何量：面片 $i$ 均匀漫射出的能量落到 $j$ 上的比例，所有比例之和为 1。所有方程组成线性系统求解；面片增多后求解代价极高，所以经典辐射度很少再用，但"预计算形状因子、运行时传播光"的思路仍是现代实时 GI（如 Enlighten）的基础。

光线追踪与路径追踪

• 经典光线追踪：从相机穿过像素发射光线找最近交点，向各光源发射阴影光线（不透明物体遮挡、透明物体衰减），光滑表面沿反射方向、透明体沿折射方向递归。只能做锐利反射/折射和硬阴影。
• Kajiya 意识到发射光线可以用来计算渲染方程积分：蒙特卡洛方法在定义域随机点上评估被积函数来估计积分，只需要点评估，样本越多越准。每条光线就是对被积函数的一次点采样，交点处的积分不必求出最终值，再点采样即可；光线在场景中弹跳形成一条路径，这就是路径追踪。
• 路径追踪能处理光泽和漫反射材质、软阴影、透明与焦散；扩展到体积采样后还能处理雾和次表面散射。
• 缺点：只得到估计值，路径太少时方差高，表现为图像噪点；电影级画面可能需要数十亿条路径（书中示例：每像素两千多条、每条最多 64 段，渲染两小时仍有少量噪点）。重要性采样在光多的方向多发光线，可大幅降低方差。
• 离线 GI 中光线追踪远比辐射度流行：能在同一框架里处理一般光传输（包括体积散射），也更易扩展和并行。

统一方法：实时路径追踪的前景

• 各种实时 GI 技术组合起来能出好图，但每部分都有不同折中，许多情况下幻觉会破灭，缺少路径追踪的优雅。
• 实时路径追踪已用于建筑漫游和电影预览（可接受较低帧率、相机静止时渐进细化、多 GPU）；游戏需要每帧在预算内给出最终质量，GPU 还要做粒子模拟等工作，书中认为纯路径追踪当时尚不实用。圈内俗语："光线追踪是未来的技术，而且永远都是！"——GPU 为光栅化而设计，缺少光线追踪的固定功能支持。
• 更现实的是混合：光栅化主可见性，用路径追踪做反射、面光源阴影等光栅化难处理的效果。"帧率不可妥协"，为几毫秒牺牲一些优雅是正确选择。
• GPU 上 BVH 遍历要减少 warp 内分支分歧、复用提前结束的线程；每像素一条路径的噪声图可用降噪算法（如时空方差引导滤波 SVGF）得到接近 2048 spp 参考的结果。PowerVR Wizard GPU (2014) 已含构建和遍历加速结构的硬件单元。

GEA 的视角：光照问题、渲染方程的推导与辐射度方法（卷 II 12.1、12.2.1.1、12.3、12.6.1）

光照问题、直接与间接光照

• GEA 把渲染问题拆成可见性问题和光照问题：先找到每个虚拟传感器能直接看到的表面点 $\{\mathbf{x}_j\}$（发射光线或深度缓冲光栅化），再求这些点送到传感器的光的颜色和强度（卷 II 12.1，见 图形栈与渲染引擎架构）。
• 直接光照指光子从光源发出、恰好在一个表面反射一次后进入相机；间接光照指进入相机前反射多于一次。间接光要递归计算、还要考虑来自所有方向的入射光，代价高得多。实践中可以忽略间接光或粗略近似它来得到"可信但不照片级"的图像，追求真实感的历史，主要就是不断改进间接光近似的历史（卷 II 12.1.3）。
• 只考虑直接光源叫局部光照模型，同时考虑间接光的叫全局光照模型；全局光照模型通常还包括次表面散射和参与介质中的散射与吸收。照片级真实感只能靠全局光照（卷 II 12.1.4）。这与本页上文 RTR4 从"GPU 擅长局部光照"角度的说法一致。

光路表示法：GEA 的写法

GEA 用的符号是 L（光源）、D（漫反射）、G（半漫反射或光泽反射）、S（镜面）、E（眼睛或相机），并只用 * 和 +。所有光路为 L(D|G|S)*E；直接光照为 L(D|G|S)E 或 LE；间接光照为 L(D|G|S)+E；辐射度方法只能处理 LD*E（卷 II 12.2.1.1）。

原书问题（12.2.1.1）：按正则表达式语义，L(D|G|S)+E 也匹配只反弹一次的 L(D|G|S)E，与同一句里的"直接光照"重叠，并非"其余所有光路"。按 GEA 自己在 12.1.3 的定义（间接光照＝反弹多于一次），间接光照应写成 L(D|G|S)(D|G|S)+E（即 L(D|G|S){2,}E）。+ 表示"一次或多次"的含义见 Heckbert, "Adaptive Radiosity Textures for Bidirectional Ray Tracing", SIGGRAPH 1990 引入的光路正则表示法，以及任一正则表达式规范（如 POSIX ERE）。与上表 RTR4 的 Heckbert 表示法相比，GEA 把光泽反射提升为基本符号 G，RTR4 只说可以"再加光泽类型"。

推导：从"魔法因子"到 BRDF

GEA 的推导路线是：出射亮度 = 自发光 + 反射（$L=L_e+L_r$）；反射部分必须对半球上所有入射方向积分，先写成 $L_r\approx\int_\Omega F\,L(\mathbf{x}\leftarrow\Psi)\,d\omega_\Psi$。从单位分析可知 $F$ 的单位是 sr⁻¹。把 BRDF 定义为反射亮度对入射辐照度的导数 $f_r=dL_r/dE$，再代入 $dE=L\cos\theta\,d\omega$，就得到 $F=f_r\cos\theta$ 和完整的渲染方程（卷 II 12.3.1–12.3.2）：

$L(\mathbf{x}\to\Theta)=L_e(\mathbf{x}\to\Theta)+\int_\Omega f_r(\mathbf{x},\Psi\to\Theta)\,L(\mathbf{x}\leftarrow\Psi)\cos\theta\,d\omega_\Psi$

渲染方程由 Immel 等与 Kajiya 在 1986 年独立提出，是线性积分方程（卷 II 12.3）。本页开头只提 Kajiya，GEA 补充了 Immel 等的同期工作。

各种写法其实是同一个方程

GEA 专门对比了文献中的写法（卷 II 12.3.3）：

• 向量形式：方向写成单位向量，出射方向为视线向量 $\mathbf{v}$、入射方向为光照向量 $\ell$，两者都约定背离表面（对 $\ell$ 来说与光子行进方向相反）；余弦写成 $(\mathbf{n}\cdot\ell)^+$，即 HLSL 的 saturate。（原书问题：GEA 说 HLSL 提供 sat() 或 saturate()；HLSL 内建函数表中只有 saturate，没有 sat（MS Learn "Intrinsic Functions (HLSL)"）。另外 saturate 钳到 $[0,1]$，对单位向量点积而言上限无影响，等价于 $\max(0,\cdot)$。）$\ell$ 不一定真指向光源，$\mathbf{v}$ 也不一定指向观察者。
• RTR4 的写法 $L_i(\mathbf{c},-\mathbf{v})=L_e(\mathbf{p},\mathbf{v})+\int f(\mathbf{l},\mathbf{v})L_i(\mathbf{p},\mathbf{l})(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})\,d\mathbf{l}$：左边是相机成像面点 $\mathbf{c}$ 收到的亮度，等价于可见表面点 $\mathbf{p}$ 的出射亮度，与本页上文一致。
• Kajiya 原文用"传输强度"（对源点面积和目标点面积的二阶导数），配几何项 $g$、发射项 $\epsilon$ 和类似 BRDF 的 $\rho$，作用与辐射亮度相同。Kajiya 的原式是 $I(x,x')=g(x,x')\left[\epsilon(x,x')+\int_S\rho(x,x',x'')\,I(x',x'')\,dx''\right]$。 注意几何项 $g$（不可见为 0，可见为 $1/r^2$）乘的是发射与散射两项之和（Kajiya, "The Rendering Equation", SIGGRAPH 1986 式 (1)；Wikipedia "Path tracing"）。GEA 电子版文本层中此式没有方括号，看起来像 $g\,\epsilon+\int\rho I$；由于积分号、$\epsilon$、$\rho$ 等数学字体字符在文本层中同样缺失，无法确认是排版丢失还是原书漏写，阅读时以 Kajiya 原式为准。
• 面积形式（Dutré 等）：对场景所有表面积分，$G(\mathbf{x},\mathbf{y})=\dfrac{(\mathbf{n}_x\cdot\ell)(\mathbf{n}_y\cdot-\ell)}{r_{xy}^2}$，再乘可见性 $V$。单位分析：$d\omega_\ell=(\mathbf{n}_y\cdot-\ell)\,dA_y/r_{xy}^2$，所以 $G\,dA_y$ 的量纲仍是 sr，与 BRDF 的 sr⁻¹ 相消。面积形式是辐射度方法的基础，也适合光线追踪，因为 $\mathbf{y}=R(\mathbf{x},\ell)$ 正是光线投射函数（本页上文的 $r(\mathbf{p},\mathbf{l})$）。

光度学 RGB 形式与颜色向量

• 把方程拆成 R、G、B 三个独立方程，用光度学量（流明为基础的单位）计算，是"物理上可信但不严格正确"的近似；严格做法要把波长 $\lambda$ 作为额外自变量（卷 II 12.3.4）。
• 颜色像向量一样可以相加、数乘，但：模长不是亮度，sRGB 下灰度亮度 $Y=0.212639R+0.715169G+0.072192B$（系数只适用于线性 sRGB 分量，即解码 gamma 之后的值，见 显示编码与 sRGB）；GEA 说分量不能为负（物理上可信的颜色必在颜色空间第一卦限）——这只对谱色都在 sRGB 色域内的情况成立：sRGB 原色三角形之外的真实颜色（例如高饱和的青绿色谱色）换算成线性 sRGB 时必然有负分量（IEC 61966-2-1 色域；Wikipedia "sRGB"/"Gamut"），这也是宽色域渲染改用 ACEScg 等工作空间的原因；可以大于 1（HDR），最终写入帧缓冲前要色调映射或钳制到 $[0,1]$；颜色之间不做点积叉积，相乘是逐分量的 Hadamard 积。严格地说颜色相乘应乘光谱功率分布再转回 sRGB，但逐分量相乘的精度损失可以忽略（卷 II 12.3.4.1）。
• 因为积分没有闭式解、且递归可能成环，GEA 在下一节做两条简化得到着色方程，见 着色方程与经典光照模型。

辐射度方法：GEA 的补充

• 辐射度方法源自辐射传热的有限元方法，与视角无关，计算一次后相机移动时可以重复使用，但几何一变就要重算，不适合动态场景；它假设表面都是朗伯面，只能处理 LD*E，做不了镜面反射和硬阴影。PRT 和光照贴图都是受它启发的混合用法（卷 II 12.6.1，见 预计算辐射传输、预计算光照与光照贴图）。
• 只有朗伯面时，面积形式可以写成辐射度形式 $B(\mathbf{x})=B_e(\mathbf{x})+f_{\text{diff}}(\mathbf{x})\int_A V\,G\,B(\mathbf{y})\,dA_y$，离散成面片后 $B_i=B_{e,i}+f_{\text{diff},i}\sum_j F_{ji}B_j$（卷 II 12.6.1.1）。
• 形状因子可以用半立方体 (hemicube) 计算：把单位半球换成以面元为中心的半个立方体，划分成方形"像素"，把远处面片投影上去，统计各自可见的比例。

原书问题（12.6.1.1）：GEA 把 $V(x,y)G(x,y)$ 称作形状因子 $F_{xy}$，再把积分直接改写成 $\sum_j F_{ji}B_j$。但 $G=\cos\theta_x\cos\theta_y/r^2$ 的量纲是 m⁻²（乘 $dA_y$ 才无量纲），离散求和时必须乘面片面积 $A_j$（或在面片上积分）才能代替 $\int dA_y$；书中的离散式漏了这一项。标准写法里形状因子是无量纲的面积平均量 $F_{ij}=\frac{1}{A_i}\int_{A_i}\int_{A_j}\frac{V\cos\theta_i\cos\theta_j}{\pi r^2}dA_j\,dA_i$，满足互易关系 $A_iF_{ij}=A_jF_{ji}$，离散方程为 $B_i=E_i+\rho_i\sum_j F_{ij}B_j$（Cohen & Wallace,《Radiosity and Realistic Image Synthesis》第 2、4 章；Wikipedia "Radiosity (computer graphics)" 数学推导一节）。按 GEA 的 $f_{\text{diff}}=\rho/\pi$ 写法，应为 $B_i=B_{e,i}+f_{\text{diff},i}\sum_j B_j\int_{A_j}VG\,dA_y$。

• 线性系统通常迭代求解：收集法 (gathering) 每次迭代从其他面片收集辐射度来更新一个面片，属于 Gauss-Seidel 松弛；发射法 (shooting) 把一个面片的辐射度发射给所有其他面片，属于 Southwell 松弛，适合渐进细化，每次迭代后都能输出一张图，质量随纳入的反弹次数逐步提高。

两者的 $\pi$ 因子放的位置不同：GEA 的 $f_{\text{diff}}$ 已含 $1/\pi$，RTR4 把 $1/\pi$ 放进形状因子，下标顺序也不同；读公式时要按各自的定义对应，不能直接混用。另外 GEA 正文把 $f_{\text{diff}}$ 称为"漫反射反射率"，按它自己 12.4.3.2 的定义，$f_{\text{diff}}$ 是 BRDF，反射率是 $C_{\text{diff}}=\pi f_{\text{diff}}$。

PBRT 的视角：光传输方程的三种形式（PBRT 4e 13.1）

PBRT 把渲染方程称为光传输方程 (Light Transport Equation, LTE)，本节暂不考虑参与介质（第 14 章再加）。

由能量平衡推导（13.1.1）

宏观上 $\Phi_o-\Phi_i=\Phi_e-\Phi_a$；在表面上就是"出射 = 自发光 + 散射"，散射项即散射方程（见 双向反射分布函数）。真空中辐亮度沿光线不变，定义光线投射函数 $t(p,\omega)$ 为从 $p$ 沿 $\omega$ 打到的第一个表面点（场景不封闭时返回特殊值 $\Lambda$，规定 $L_o(\Lambda,\omega)=0$），则 $L_i(p,\omega)=L_o(t(p,\omega),-\omega)$，于是

$L(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{S^2}f(p,\omega_o,\omega_i)\,L(t(p,\omega_i),-\omega_i)\,|\cos\theta_i|\,d\omega_i\quad(\text{式 13.1})$

方程里只剩一个未知量：表面的出射辐亮度。

解析解与诺伊曼级数（13.1.2）

一般情况只能数值求解，但简单场景的解析解可用来调试积分器。例：球内表面处处是常数 BRDF $f=c$ 的朗伯面，且发射常数辐亮度 $L_e$。由对称性各点各方向的 $L$ 相同，LTE 化为 $L=L_e+c\pi L$；令 $\rho_{hh}=\pi c$，反复代入得

$L=L_e+\rho_{hh}(L_e+\rho_{hh}(L_e+\cdots))=\sum_{i=0}^\infty L_e\rho_{hh}^i=\frac{L_e}{1-\rho_{hh}}$

这是诺伊曼级数 (Neumann Series)，$\rho_{hh}<1$ 保证收敛；第 $i$ 项就是散射 $i$ 次的光。本页用一个 60 次反弹的随机游走模拟（$\rho=0.6$、$L_e=1$、20 万条路径）得到 2.501，理论值 2.5。只代入一次（$L_i$ 换成 $L_d(p,\omega_i)=L_e(t(p,\omega_i),-\omega_i)$）就是只算直接光照。

面积形式 / 三点形式（13.1.3）

把 $t(p,\omega)$ 的几何关系显式写进被积函数：记 $L(p'\to p)$ 为 $p'$ 射向 $p$ 的辐亮度，$f(p''\to p'\to p)$ 为 三点形式 BSDF，把立体角换成面积（雅可比 $|\cos\theta'|/r^2$，见 辐射度量学与光度学 的 PBRT 小节），与原有的 $|\cos\theta|$ 和二值可见性 $V$ 合成几何耦合项

$G(p\leftrightarrow p')=V(p\leftrightarrow p')\frac{|\cos\theta|\,|\cos\theta'|}{\|p-p'\|^2}\quad(\text{式 13.2})$

$L(p'\to p)=L_e(p'\to p)+\int_A f(p''\to p'\to p)\,L(p''\to p')\,G(p''\leftrightarrow p')\,dA(p'')\quad(\text{式 13.3})$

两种形式等价，但对应两种蒙特卡洛做法：式 13.1 采样方向再投射光线；式 13.3 在表面上按面积采样点，再追踪光线判断 $V$。

路径积分形式（13.1.4）

把式 13.3 反复代入自身，得到按路径长度展开的和：

$L(p_1\to p_0)=\sum_{n=1}^\infty P(\bar p_n),\qquad P(\bar p_n)=\underbrace{\int_A\!\cdots\!\int_A}_{n-1}L_e(p_n\to p_{n-1})\,T(\bar p_n)\,dA(p_2)\cdots dA(p_n)$

路径 $\bar p_n=p_0,p_1,\dots,p_n$ 有 $n+1$ 个顶点，$p_0$ 在胶片或镜头前片上，$p_n$ 在光源上；路径通量 (throughput) $T(\bar p_n)=\prod_{i=1}^{n-1}f(p_{i+1}\to p_i\to p_{i-1})\,G(p_{i+1}\leftrightarrow p_i)$（式 13.6），即光源辐亮度经各次散射后到达相机的比例。估计时只需按某个密度采样路径并计算 $P(\bar p_n)/p(\bar p_n)$；路径从相机、从光源、从两端还是从中间生成，只影响 $p(\bar p_n)$ 怎么算。这种"测量值 = 路径空间上的显式积分"的写法比式 13.1 的递归定义更自由，是双向方法的基础。路径长度的记法与 Heckbert 表示法（上文）对应：$n=1$ 是直接看到光源（LE），$n=2$ 是直接光照（LDE 或 LSE）。

被积函数中的 δ 分布（13.1.5）

点光源、方向光以及完美镜面 BSDF 在被积函数里引入 δ 分布。随机方向永远打不到点光源，必须显式选指向光源的方向；但它也把对应的积分降成直接求值：例如单个点光源时 $P(\bar p_2)=\frac{\delta(p_{\text{light}}-p_2)L_e(p_{\text{light}}\to p_1)}{p(p_{\text{light}})}f\,G$，分子分母的 δ 抵消，无需蒙特卡洛。BSDF 中的每个 δ 分量也消掉一重面积积分。

拆分被积函数（13.1.6）

不同算法各擅长 LTE 的一部分（Whitted 光线追踪只处理 δ 镜面 BSDF，忽略漫反射与光泽面的多次散射）。为了"不漏也不重复"，可以把 LTE 拆开：

• 按路径长度：$P(\bar p_1)$ 直接取自发光，$P(\bar p_2)$ 用精确的直接光照，$\sum_{i\ge3}$ 用快而粗的方法；后者必须忽略前两项。
• 按光源：$L_e=L_{e,s}+L_{e,l}$（小光源/大光源）分别估计，每个光源只能归入一类。
• 按 BSDF 分量：$f=f_\Delta+f_{\neg\Delta}$；由于路径上有 $n-1$ 个 BSDF 因子，像 $f_\Delta f_{\neg\Delta}f_{\neg\Delta}$ 这样的混合项都要计入。pbrt 的 BxDFFlags 分类（9.1.2）正是为此。 游戏中的对应：烘焙光照贴图存间接光、运行时算直接光，就是按路径长度拆分；拆分时最常见的 bug 正是重复计算或漏算某一类路径（如自发光面既进了光照贴图又被当作动态光源）。

PBRT 的视角：传输方程是更一般的形式（PBRT 4e 14.1）

有参与介质时，光传输方程推广为传输方程（体积光传输方程）：沿光线的亮度 = 表面出射亮度 × 透射率 + 沿途各点源函数（介质发射 + 内散射）× 透射率的积分（式 14.2）。真空中透射率恒为 1、源函数为 0，就退化为本页的表面形式。路径积分形式也随之推广：顶点可以在表面、介质内的真实散射点或零散射点，几何项中介质端的余弦取 1。详见 参与介质与体积散射 的「PBRT 的视角：体积光传输与体积路径追踪」。