投影矩阵

从相机空间到屏幕，透视除法发生在裁剪坐标（clip）变成 NDC 的那一步。

flowchart LR
  Cam["相机空间"] --> Clip["裁剪坐标 clip：投影矩阵乘完"]
  Clip --> Div["透视除法 ÷w"]
  Div --> NDC["NDC 规范立方体"]
  NDC --> Scr["视口变换 → 屏幕像素"]

正交投影

• 最简单的形式把 z 置 0，不可逆，且会把相机前后的点都投到平面上。
• 常用形式由 $(l,r,b,t,n,f)$ 定义的 AABB 先平移到原点再缩放：$\mathbf{P}_o=\mathbf{S}(\mathbf{s})\mathbf{T}(\mathbf{t})$，$\mathbf{s}=(\frac{2}{r-l},\frac{2}{t-b},\frac{2}{f-n})$，$\mathbf{t}=(-\frac{r+l}{2},-\frac{t+b}{2},-\frac{f+n}{2})$。
• 因为沿 $-z$ 看，$n>f$。用户习惯输入"近小远大"，可以在内部取负。
• 由于 $f<n$，正交矩阵总是包含一次镜像，把右手观察坐标转成左手的规范化设备坐标 (NDC)。 正交不改变平行线、也不靠 $w$ 做透视缩短；透视把深度写进 $w$，齐次化后远处变小、平行线汇聚。

flowchart TD
  In["相机空间图元"] --> Kind{"投影类型"}
  Kind -->|"正交"| Orth["平行线保持平行；w 通常恒为 1"]
  Kind -->|"透视"| Pers["平行线汇聚于灭点；结果 ÷w 后远处缩小"]
  Orth --> NDC1["映射到 NDC"]
  Pers --> NDC2["映射到 NDC"]

• DirectX 再乘一个把 z 从 $[-1,1]$ 映射到 $[0,1]$ 的缩放平移矩阵；其文档中矩阵以转置形式出现（行向量记法）。

透视投影

投影到平面 $z=-d$：由相似三角形 $q_x=-d\,p_x/p_z$，对应矩阵最后一行为 $(0,0,-1/d,0)$，结果除以 $w=-p_z/d$。

更常用的是把视锥 ($0>n>f$) 变换到规范视体。OpenGL 形式（$0<n'<f'$ 以正值输入，仍代表 $-z$ 方向距离）： $\mathbf{P}_{\text{OpenGL}}=\begin{pmatrix}\frac{2n'}{r-l}&0&\frac{r+l}{r-l}&0\\0&\frac{2n'}{t-b}&\frac{t+b}{t-b}&0\\0&0&-\frac{f'+n'}{f'-n'}&-\frac{2f'n'}{f'-n'}\\0&0&-1&0\end{pmatrix}$

• 只给垂直视野 $\phi$、宽高比 $a=w/h$ 时，左上两项为 $c/a$ 与 $c$，$c=1/\tan(\phi/2)$（即旧的 gluPerspective）。
• DirectX 把近平面映射到 0、远平面到 1，且使用左手系（看向 $+z$）。
• 远平面可以取到无穷远，得到另一种矩阵（Eq. 4.73）。
• 非对称视锥（$r\neq-l$ 或 $t\neq-b$）用于立体显示和 VR。

视野角

$\phi=2\arctan\left(\frac{w}{2d}\right)$

• 例：约 22 英寸宽的 25 英寸显示器，12 英寸外观看时水平视野 85°，20 英寸 58°，30 英寸 40°；35mm 相机配 50mm 镜头，$\phi=2\arctan(36/100)=39.6°$。
• 视野比物理设置窄：透视效果减弱，像放大。更宽：物体失真（像广角镜头），屏幕边缘尤甚，近处物体尺度被夸大；但会让物体显得更宏大，并给玩家更多周围信息。

深度精度

• $z_{\text{NDC}}=d-\frac{e}{p_z}$（$d,e$ 为矩阵常数），与输入深度成反比。例：$n'=10,f'=110$ 时，$p_z$ 位于中点 60 处的 NDC 深度是 0.833 而非 0。
• 近平面离原点越近，远处可用的 NDC 深度区间越小，z-buffer 在远处精度越差。
• 反向 z：存储 $1-z_{\text{NDC}}$。Reed 的模拟表明浮点深度缓冲配合反向 z 精度最好，整数深度缓冲（通常 24 位）也推荐这样做。 标准映射下 NDC 深度与观察深度成反比，精度挤在近处；反向 z 把更多浮点精度留给远处。

flowchart LR
  Near["近处几何"] -->|"标准 z"| Dense["NDC 深度码密集"]
  Far["远处几何"] -->|"标准 z"| Sparse["NDC 深度码稀疏 → 易 z-fighting"]
  Far2["远处几何"] -->|"反向 z"| Better["落在精度更好的浮点区间"]

• 不反向时，把投影矩阵与其他变换分开乘（$\mathbf{P}(\mathbf{M}\mathbf{p})$ 优于预先合成的 $\mathbf{T}\mathbf{p}$）可降低误差。在 $[0.5,1]$ 区间 fp32 和 int24 精度相近（fp32 有 23 位尾数）。
• $z_{\text{NDC}}\propto 1/p_z$ 的原因是硬件更简单、深度压缩更有效。

其他提高深度精度的方法

• 对数深度：在顶点着色器中重映射 $z$（Kemen 的公式），也可逐片元计算——在没有浮点深度、深度范围很大时是好选择；逐顶点做时三角形需要足够细分，否则线性插值与真实值偏差大。
• 用上一帧 z-buffer 确定最大近平面和最小远平面。
• 多视锥：沿深度把视锥切成多个子视锥，从后往前逐个渲染，每个子视锥前清空深度缓冲，可达到任意精度。

取舍与常见坑

PBRT 的视角：光线追踪器里的投影矩阵（PBRT 4e 5.2）

• 只用来生成光线：光栅化必须剔除近平面前的物体（避免深度 0 处的奇点和把相机后方的点投到前方），而光线追踪器只用投影矩阵生成相机光线，近、远平面的取值几乎无关紧要，上文关于深度精度和反向 z 的讨论在这里都不适用。
• pbrt 的约定：左手系，相机看 $+z$；屏幕空间里近平面 $z=0$、远平面 $z=1$（与 DirectX 的 NDC 深度范围相同，但 x、y 的处理不同）；NDC 空间的 $x,y$ 从左上角 $(0,0)$ 到右下角 $(1,1)$；光栅空间同 NDC，只是 $x,y$ 以像素计。屏幕到光栅要翻转 $y$，因为屏幕空间 $y$ 向上、光栅空间向下。注意 pbrt 的"NDC"与上文 OpenGL/DirectX 的规范立方体不是一回事。
• 正交：先平移使近平面到 $z=0$，再在 $z$ 上缩放使远平面到 $z=1$，$x,y$ 不变。对光线追踪来说，近平面在 0 正好让光线从过相机位置的平面出发。相机空间中光线方向恒为 $(0,0,1)$，像素偏移只改变原点，所以光线微分可以预先算好。
• 透视： $x'=\frac xz,\quad y'=\frac yz,\quad z'=\frac{f(z-n)}{z(f-n)},\qquad \begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\frac f{f-n}&-\frac{fn}{f-n}\\0&0&1&0\end{bmatrix}$ 再乘 $1/\tan(\text{fov}/2)$ 的缩放，使视野内的点落在 $[-1,1]$；非方形图像较窄的一边映射到 $[-1,1]$，较宽的一边按比例更大（RTR4 则用垂直视野和宽高比 $c/a$、$c$）。透视相机的光线都从原点出发，方向直接取近平面上的点坐标，省去一次减法。另预存相机视锥的最大夹角余弦 cosTotalWidth（指向图像角并计入滤波器半径），可用一次点积剔除视野外的点。
• 相机接口的其他职责（PBRT 5.1）：GenerateRay() 返回的方向必须归一化；SampleTime() 把 $[0,1)$ 的均匀样本线性映射到快门开启—关闭区间，对时间做点采样即得运动模糊。CameraBase::GenerateRayDifferential() 通过多次调用 GenerateRay() 求偏移一个像素的光线：$x$、$y$ 方向各先试前向差分、失败再试后向差分，因为真实镜头在图像边缘有暗角，主光线有效时偏移光线可能落到镜头成像范围之外；任一方向失败，主光线照常追踪，只是没有微分。
• 球面相机（PBRT 5.3）：SphericalCamera 不继承 ProjectiveCamera，支持等距柱状（$\theta$ 从图像顶部 0 到底部 $\pi$，$\phi$ 从左到右 0 到 $2\pi$）和等面积两种映射；两种映射都以 $z$ 为"上"，而相机空间以 $y$ 为上，所以映射后交换 $y$、$z$。像素滤波器会让 $(u,v)$ 略超出 $[0,1]^2$，等面积映射先用 WrapEqualAreaSquare() 处理边界。等面积映射也是 ImageInfiniteLight 使用的格式，所以球面相机渲染的图可以直接当环境光源。
• 非线性投影（如球面相机的经纬度或等面积映射，见 球面几何与方向参数化）不能用一个 4×4 矩阵表示，这正是光线追踪相对光栅化的灵活之处：光栅化依赖"直线投影后仍是直线"，光线追踪不需要。