抗锯齿

采样与滤波理论

• 采样定理：采样频率必须大于信号最高频率的两倍（奈奎斯特极限），且信号必须是带限的。
• 用点采样渲染三维场景几乎从不带限：三角形边缘、阴影边界产生无限高频，足够小的物体可能完全采样不到。所以点采样无法完全避免混叠。纹理是例外：可以算出纹理频率与像素采样率之比，过高时预先带限（6.2.2 节）。
• 重建滤波器面积必须为 1：盒式（最近邻，最差，阶梯状）、帐篷（线性插值，连续但斜率突变）、sinc（理想低通，但无限宽且有负值，实际罕用）。常用滤波器介于两者之间；不希望有负瓣时用类高斯滤波器。
• 重采样：放大时直接对重建信号重新采样；缩小时要用 $\operatorname{sinc}(x/a)$ 加宽滤波器，相当于先模糊再降分辨率。

通用框架

$p(x,y)=\sum_{i=1}^{n}w_i\,\mathbf{c}(i,x,y)$ 每个样本有位置和权重 $w_i$（和为 1），实时系统通常用均匀权重。默认的每像素中心一个样本是 $n=1$ 的特例。

各类方法

MSAA 细节

• 片元覆盖全部样本时在像素中心着色；只覆盖部分时，质心采样 (centroid) 把着色位置移到被覆盖区域内，避免采到三角形外（如纹理边缘之外），但可能使导数计算错误。
• resolve：把样本颜色平均成像素颜色，默认用盒式滤波。高动态范围颜色通常要在 resolve 前先做色调映射，否则会有伪影；这较贵，可用近似。
• 现代 GPU 可用像素/计算着色器访问 MSAA 样本，使用自定义且可跨像素的重建滤波器。Pettineo 发现宽 2–3 像素的三次 smoothstep 和 B 样条滤波器总体最好；更宽的滤波器减少混叠但损失锐度，且更慢。
• 《Forza Horizon 2》为最高质量选择了 4× MSAA，尽管 EQAA 有性能优势。

时间抗锯齿

• 通常只混合 2–4 帧。对旧帧做指数衰减权重时，静止场景可能闪烁，所以常对上一帧与当前帧等权平均。
• 也可用时间采样生成较低分辨率图像再放大；需要大量样本的光照方法可以每帧少采样，靠多帧混合。
• 问题：快速移动的物体或镜头会产生鬼影（拖尾）。对策：只对慢速物体做 TAA；或用重投影——物体把运动向量写入速度缓冲，用它找到上一帧对应位置的颜色，丢弃不太可能属于同一表面的样本（见时间重投影）。
• 延迟着色与 MSAA 不兼容，这是 TAA 被广泛采用的原因之一。
• NVIDIA 的 TXAA、MFAA 结合了更好的重建滤波器和 TAA；也有 TAA 结合可变采样和眼动补偿用于 VR。

采样模式

• 人眼对接近水平、竖直的边缘锯齿最敏感，其次是 45°。
• 旋转网格 (RGSS)：四个样本在 4×4 子网格中各占一行一列（N-rooks 的一种），比规则 2×2 网格对近水平/竖直边能表现更多灰阶。但 N-rooks 本身不够：样本全在对角线上时对平行于对角线的边很差。
• 好的模式要避免样本聚集、分布均匀：分层采样结合抖动、Halton 序列、泊松圆盘。GPU 厂商通常把 MSAA 模式固化在硬件里；TAA 的模式可每帧自由设定，Karis 发现简单的 Halton 序列优于任何 GPU 提供的 MSAA 模式。
• 规则网格遇到细小重复图案会产生摩尔纹；随机采样把重复的混叠变成人眼更能容忍的噪声；每像素不同的模式（交错采样）效果更好。
• Quincunx：四个角样本与相邻像素共享、中心样本权重 1/2，平均每像素只需两个样本，近似帐篷滤波，比两样本 FSAA 好得多。也可用于 TAA：每帧交替偏移半像素。
• FLIPQUAD：把 RGSS 样本移到像素边缘并让相邻像素镜像，两样本达到接近 RGSS（四样本）的质量；Drobot 测试五种两样本 TAA 模式时它最好。

形态学抗锯齿

• 依赖深度、法线等额外缓冲的方法（SRAA）或由渲染器提供边缘位置的解析方法（GBAA、DEAA）效果更好，但只处理几何边缘。只用颜色的方法还能处理阴影、高光和后处理产生的边缘。
• 边缘估计可以给出比样本计数更多的混合层级：4 样本只有 5 级。
• 失败情况：颜色差低于阈值时检测不到边；三个以上表面重叠的像素难以解释；高对比高频内容容易漏边；文字质量通常会下降；拐角可能被圆化；曲线受"边是直的"假设影响；单像素变化可能导致帧间跳变。
• 只能用已有信息：比像素细的电线、绳子在没覆盖像素中心的地方会断开，只有多采样能解决。执行时间随内容变化，草地可能是天空的 3 倍。
• 最流行的是 FXAA 和 SMAA（都有免费源码），SMAA 还能访问 MSAA 样本；开销一般为每帧 1–2 ms，"因为游戏愿意花的就是这么多"。两者都可结合 TAA。

其他手段

• 让阴影更软、高光更平滑以减少混叠；把电线等物体加粗到保证每处至少覆盖一个像素。
• 保守光栅化和 ROV 为解析式边缘抗锯齿提供了新可能。

PBRT 的视角：像素滤波的两种估计方式（PBRT 4e 5.4.3）

像素值定义为滤波后的图像函数 $r_f(x,y)=\int f(x-x',y-y')\,r(x',y')\,dx'dy'$（式 5.10，$f$ 积分为 1），用点样本估计 $\frac1n\sum_i f(x-x_i,y-y_i)\,r(x_i,y_i)/p(x_i,y_i)$（式 5.11）。

GEA 的视角：抗锯齿方法速览（卷 II 11.3.13）

GEA 把锯齿归因于用离散传感器网格去采样本来连续的二维光信号；几乎所有抗锯齿方法的效果都是把三角形边缘与周围像素混合"软化"（卷 II 11.3.13）。书中逐个介绍：

与本页 RTR4 内容的关系：

• MSAA 的三步分解（覆盖测试、深度测试、像素着色）与本页「MSAA 细节」一致；GEA 补充了 N 倍缓冲的"槽"模型，并借 Alvy Ray Smith 的《A Pixel Is Not A Little Square》强调光栅化是对连续信号的采样（见 光栅化）。
• CSAA 的参数与本页表中 CSAA/EQAA 的描述角度不同但不矛盾。
• 原书问题（11.3.13.3）：NVIDIA 没有"4× CSAA"这个模式。CSAA 按覆盖样本数命名：16x CSAA 才是"4 个颜色/深度/模板样本 + 16 个覆盖样本"，8x CSAA 是 4 + 8，8xQ、16xQ 用 8 个颜色样本（NVIDIA "Coverage Sampled Antialiasing" 白皮书表 1，GeForce 8800）。GEA 描述的配置对应的是 16x CSAA，其性能与 4× MSAA 相近这一点是对的。
• GEA 列出的 MSAA 样本数含"5"，但 D3D/Vulkan 的标准多重采样数是 2 的幂（1、2、4、8、16）；"5 个样本"大概指 NVIDIA Quincunx 这类用 5 个采样点做滤波的 2× 模式，并非 5 倍存储的 MSAA（MS Learn D3D11_STANDARD_MULTISAMPLE_PATTERN；Vulkan VkSampleCountFlagBits）。
• GEA 称 DLSS 使用"生成式神经网络"。DLSS 2/3 的超分辨率部分是基于运动向量和历史帧的卷积自编码器、DLSS 4 改用 transformer，本质是时域重建/放大；"生成"新帧的是另一个功能（帧生成），不要混为一谈（NVIDIA DLSS 技术说明）。
• "SMAA 是当今最好的 AA 方案"是 GEA 作者的个人判断；RTR4 没有给出这样的排序。DLSS、PSSR 属于本页 RTR4 部分没有覆盖的新内容。采样理论本身 GEA 留到卷 II 15.2 节再讲。

GEA 的视角：音频中的采样定理（卷 II 15.2、15.3.2）

GEA 第 15 章从音频角度讲了同一套采样理论，可以与本页互相印证：

• 采样使频谱沿频率轴周期复制；采样率足够高时副本不重叠，用低通滤波器保留原始频谱即可精确重建；采样率太低副本重叠，就是走样（卷 II 15.3.2.1）。本页的"采样频率必须大于信号最高频率两倍"是同一条件。
• 人耳频带约 20 Hz–20 kHz，所以音频略高于 40 kHz 采样就够；语音带宽窄，电话用 8 kHz（卷 II 15.3.2.1）。图形中的"信号"（几何边缘、高频纹理）通常不是带限的，所以需要本页的预滤波、超采样等手段；音频则可以在采样前用模拟低通把信号带限（这是对比归纳）。
• D/A 转换后同样要加低通滤波去掉电压阶跃引入的高频，相当于图形中的重建滤波（卷 II 15.3.2.2）。
• 术语差异：本页称两倍条件为"奈奎斯特极限"；GEA 把满足定理的最低采样频率叫"奈奎斯特频率"，而常见用法中"奈奎斯特频率"指采样率的一半，见 数字音频技术。

卷积、傅里叶变换和滤波器的数学见 信号与线性时不变系统。

PBRT 的视角：离线渲染器的采样理论与像素重建滤波（PBRT 4e 第 8 章）

上文 RTR4 讲实时抗锯齿（MSAA、TAA、形态学），本节从离线光线追踪器的角度补充：像素值怎样从连续的图像函数得到，以及重建滤波器怎样选。

理想采样与重建（8.1.1–8.1.3）

• 采样等于乘以冲激串（shah）$\text{Ш}_T(x)=T\sum_i\delta(x-iT)$；其频谱是周期为 $1/T$ 的冲激串，所以采样后的频谱是原频谱每隔 $1/T$ 复制一份。样本越稀，频谱副本越密，重叠就产生走样：高频冒充低频。
• 理想重建是在频域用盒函数只保留中央副本，即在空域与 sinc 卷积。sinc 无限宽，而且对走样了的样本会产生 Gibbs 振铃；盒式重建在频域相当于乘 sinc，既切不干净中央副本，又混入其他副本的高频。
• 不带限的信号无论采样多密都会走样；任何含不连续的函数（几何边缘、硬阴影边界）都不是带限的。因此只能减轻走样：自适应超采样（难以可靠判断哪里需要加样本）、预滤波（纹理过滤就是这种做法）、以及把走样变成噪声的非均匀采样。
• 渲染中的走样来源：几何边缘、小于样本间距的小物体（动画中闪烁）、未正确过滤的纹理、细小高光、硬阴影边界（比几何边缘更难检测）。

像素不是小方块（8.1.4）

图像像素是图像函数在离散点上的点采样，没有面积（Alvy Ray Smith 1995）；可以先对图像函数做区域滤波再点采样。PBRT 采用 Heckbert（1990）的坐标约定：连续坐标 $c$ 转离散坐标用 $d=\lfloor c\rfloor$，反过来用 $c=d+\tfrac12$，于是离散范围 $[x_0,x_1]$ 对应连续范围 $[x_0,x_1+1)$，免去到处加减 $\tfrac12$。这和 D3D10 以后"像素中心在半整数"的约定一致（另见 光栅化）。

抖动把走样变成噪声（8.1.6）

用功率谱密度 (PSD) 分析采样模式：好的模式在低频能量小、高频接近常数（蓝噪声）。抖动采样的期望 PSD 在原点有冲激、低频接近 0、高频趋于 1，因此把结构化的走样变成高频噪声，人眼更能接受。白噪声（独立均匀随机）在所有频率能量相同，不能把走样推向高频。各种采样器的比较见 低差异序列。

重建滤波器（8.8）

PBRT 把"重建 + 去除奈奎斯特以上频率"合成一个滤波函数，在每个像素上用加权重要性采样估计（5.4.3，见上文）。滤波器不必积分为 1（估计器自归一化），但要能返回积分值和重要性采样方法 Sample()，返回位置和权重 $f/p$。

FilterSampler 以每单位滤波宽度 32 个样本把滤波器制成表，并且用同一张分段常数表来计算权重，使 $f/p$ 恒为 $\pm c$，否则权重波动会变成图像方差（书中图 8.50 两点相差 10 倍）。查表下标直接用采样返回的整数坐标，而不是把浮点位置再乘回表大小，因为 $(a\oslash b)\otimes b\ne a$。

自行验证：Mitchell 一维核满足 $x=0,1,2$ 处 $C^0$、$C^1$ 连续，且 $\int_{-2}^{2}f=1$ 与 $b,c$ 无关（符号积分）。

与上文的分歧

原书问题（8.1 节，已解码网页 SVG 并数值验证；2026-10-13 按书中自己的傅里叶约定（常规频率 $e^{-i2\pi\omega x}$）与 sinc 定义（$\sin(\pi x)/(\pi x)$）逐条复核，均成立，无撤回）

• 式 (8.7) 抖动采样的 PSD：书中为 $1-\operatorname{sinc}^2(T\omega/2)+\delta(\omega)$，其中 sinc 按表 8.1 定义为 $\sin(\pi x)/(\pi x)$。用 400 组、每组 4000 个抖动点做蒙特卡洛估计（$T=1$），$\omega=0.25,0.5,0.75$ 处测得 0.188、0.619、0.945，与 $1-\operatorname{sinc}^2(T\omega)$ 的 0.189、0.595、0.910 吻合，而书中公式给出 0.05、0.189、0.385。正确形式应为 $1-\operatorname{sinc}^2(T\omega)+\delta(\omega)$。理论推导：抖动偏移 $\xi\in[0,1)$ 的特征函数模为 $|\operatorname{sinc}(T\omega)|$。
• 式 (8.6) 抖动采样函数：$\sum_i\delta(x-(i+\tfrac12-\xi)T)$ 中只有一个随机数 $\xi$（SVG 中为空下标的 $\xi$），这样只是把整个规则网格平移一次，不是抖动。应为每个样本各自的 $\xi_i$。
• 式 (8.5) 理想重建：书中为 $\tilde f(x)=\sum_i\operatorname{sinc}(x-Ti)f(Ti)$，前面又定义 $\operatorname{sinc}_T(x)=\operatorname{sinc}(Tx)$。只有 $T=1$ 时才对；一般间距 $T$ 下应为 $\sum_i\operatorname{sinc}\!\big((x-Ti)/T\big)f(Ti)$。复核数值：$T=0.5$、$f=\cos(2\pi\cdot0.3x)$（带限，满足采样定理）、$x=0.37$ 时真值 0.76649，书中公式得 1.53296（恰为 $1/T$ 倍），修正式得 0.76649。
• 表 8.1 冲激串的变换对：书中写 $\mathcal F\{\text{Ш}_T\}=\text{Ш}_{1/T}(\omega)=\frac1T\sum_i\delta(\omega-i/T)$。按书中自己的定义 $\text{Ш}_T=T\sum_i\delta(x-Ti)$，由泊松求和公式应得 $\sum_i\delta(\omega-i/T)$，即 $T\cdot\text{Ш}_{1/T}$，差一个常数因子 $T$（数值验证：$T=0.7$ 时 $T\sum_n g(nT)=\sum_k G(k/T)=1.00329$，$g$ 为高斯）。"周期互为倒数"的结论不受影响。
• 预滤波核 $f\otimes\operatorname{sinc}(2\omega_sx)$：本节 $\omega_s$ 是采样频率，截止在 $\omega_s/2$ 的理想低通核是 $\omega_s\operatorname{sinc}(\omega_sx)$；$\operatorname{sinc}(2\omega_sx)$ 的截止频率是 $\omega_s$，与本节定义不一致。按书中自己的约定（式 8.1 $F(\omega)=\int f(x)e^{-i2\pi\omega x}dx$、表 8.1 $\operatorname{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$）有 $\mathcal F\{\operatorname{sinc}(ax)\}=\frac1{|a|}\Pi(\omega/a)$，通带为 $|\omega|<a/2$，所以 $\operatorname{sinc}(2\omega_sx)$ 的通带是 $|\omega|<\omega_s$，是奈奎斯特频率 $\omega_s/2$ 的两倍。但书中说的"奈奎斯特极限"指的是两倍条件，用词有歧义，因此仍记为存疑。
• 8.8.5 高斯积分：书中 $\int g(x,\mu,\sigma)\,dx=\tfrac12\operatorname{erf}\!\big(\frac{\mu-x}{\sqrt2\sigma}\big)$，对其求导得 $-g$，符号相反；应为 $\tfrac12\operatorname{erf}\!\big(\frac{x-\mu}{\sqrt2\sigma}\big)+C$（符号计算验证）。
• 8.1.6 "乘积的 PSD 等于 PSD 的卷积"（2026-10-13 审读新增）：书中写 $\mathcal P_{fg}=\mathcal P_f\otimes\mathcal P_g$，并说它"直接由式 (8.3) 得出"。式 (8.3) 给出的是 $\mathcal F\{fg\}=F\otimes G$，取模平方后 $|F\otimes G|^2$ 一般不等于 $|F|^2\otimes|G|^2$，因为相位被丢掉了。反例（$[0,1)$ 上的傅里叶级数）：$f=g=\cos 2\pi x$，$f_{\pm1}=\tfrac12$，$\mathcal P_f(\pm1)=\tfrac14$；$fg=\tfrac12+\tfrac12\cos4\pi x$，$\mathcal P_{fg}(0)=\tfrac14$，而 $(\mathcal P_f\otimes\mathcal P_g)(0)=2\cdot\tfrac14\cdot\tfrac14=\tfrac18$。用 PSD 卷积描述采样后的频谱，只在对随机采样模式取期望时近似成立，不是确定性恒等式。
• 以上各条在 pbr-book-website 与 pbrt-v4 的 issue 中均未找到。