细分曲线与细分曲面

细分曲线（17.4 节）

• Chaikin 切角（逼近型）：每对相邻顶点之间生成两个新点，丢弃旧点： $\mathbf{p}^{k+1}_{2i}=\tfrac34\mathbf{p}^k_i+\tfrac14\mathbf{p}^k_{i+1},\qquad \mathbf{p}^{k+1}_{2i+1}=\tfrac14\mathbf{p}^k_i+\tfrac34\mathbf{p}^k_{i+1}$ 极限曲线 $P^\infty$ 是二次 B 样条；可看成去掉尖角（高频）的低通滤波。开放折线保留两个端点即可让曲线经过端点。
• 4 点方案（插值型，保留上一层所有点）： $\mathbf{p}^{k+1}_{2i}=\mathbf{p}^k_i,\qquad \mathbf{p}^{k+1}_{2i+1}=\Big(\tfrac12+w\Big)(\mathbf{p}^k_i+\mathbf{p}^k_{i+1})-w(\mathbf{p}^k_{i-1}+\mathbf{p}^k_{i+2})$ $w$ 为张力，$w=0$ 即线性插值，$0<w<1/8$ 时 $C^1$，常用 $1/16$。开放折线端点处把相邻点关于端点反射：$\mathbf{p}_{-1}=2\mathbf{p}_0-\mathbf{p}_1$。
• 另一种逼近方案 $\mathbf{p}^{k+1}_{2i}=\tfrac34\mathbf{p}^k_i+\tfrac18(\mathbf{p}^k_{i-1}+\mathbf{p}^k_{i+1})$、新点取中点，生成三次 B 样条。
• 可以直接把点或切线"推"到极限曲线上。

细分曲面的框架（17.5 节）

每一步分两个阶段：细化（生成新顶点并重新连接成更小的面）和平滑（计算部分或全部顶点的新位置）。方案按以下特征分类：逼近 / 插值、静态（每步规则相同）/ 非静态、均匀 / 非均匀（边界边常用不同规则）、基于三角形 / 基于多边形。

flowchart LR
  M["控制网格"] --> R["细化: 插入边点/面点, 重连"]
  R --> S["平滑: 按掩码加权更新位置"]
  S --> R
  S --> L["极限曲面: 也可用闭式直接求极限点和切线"]

如上图，细化与平滑交替进行；掩码 (mask / stencil) 用一张图就能表达整个方案，且权重总和为 1，保证新点位于被加权点的邻域内。

Loop 细分（17.5.1 节）

第一个三角形细分方案，逼近型，每个三角形分成 4 个，$n$ 步后为 $4^n$ 个。顶点度为 6 称为规则，否则为非规则 (extraordinary)。对度为 $n$ 的顶点 $\mathbf{p}^k$ 及其 1 环邻点 $\mathbf{p}^k_i$： $\mathbf{p}^{k+1}=(1-n\beta)\mathbf{p}^k+\beta(\mathbf{p}^k_0+\dots+\mathbf{p}^k_{n-1}),\qquad \mathbf{p}^{k+1}_i=\frac{3\mathbf{p}^k+3\mathbf{p}^k_i+\mathbf{p}^k_{i-1}+\mathbf{p}^k_{i+1}}{8}$ $\beta(n)=\frac1n\Big(\frac58-\frac{(3+2\cos(2\pi/n))^2}{64}\Big)$ 规则顶点处 $C^2$，非规则顶点处 $C^1$；细分只产生规则顶点，所以只有控制网格中原本的非规则顶点处是 $C^1$。Warren 与 Weimer 的无三角函数变体 $\beta(n)=\dfrac{3}{n(n+2)}$ 效果几乎无法区分。

• 极限位置：把上面第一式中的 $\beta(n)$ 换成 $\gamma(n)=\dfrac{1}{n+\frac{3}{8\beta(n)}}$。
• 极限切线：$\mathbf{t}_u=\sum_i\cos(2\pi i/n)\mathbf{p}^k_i$，$\mathbf{t}_v=\sum_i\sin(2\pi i/n)\mathbf{p}^k_i$，法线 $\mathbf{t}_u\times\mathbf{t}_v$，通常比平均邻面法线更便宜且是精确法线。
• 非封闭网格需要边界规则（可用上面三次 B 样条曲线规则）。
• 逼近型的优缺点：曲面更"光顺"(fair)、收敛更快；但会收缩，小而凸的网格（如四面体）最明显，需在控制网格中多放顶点；Loop 曲面位于原控制点凸包内。全规则网格时 Loop 曲面是三方向四次箱样条。

Catmull-Clark 细分（17.5.2 节）

能处理任意多边形的最著名方案（另一个是 Doo-Sabin），用于皮克斯《Geri's Game》《玩具总动员 2》及之后所有长片，也是游戏建模最常用的方案。它生成更对称的曲面（长方盒得到对称的类椭球体，而三角形方案结果取决于正方形怎么切）。第一步后只生成四边形，规则顶点度为 4。

• 每个面生成面点 $\mathbf{f}^{k+1}$（面质心）；对度为 $n$ 的顶点 $\mathbf{v}^k$ 及周围边点 $\mathbf{e}^k_j$： $\mathbf{v}^{k+1}=\frac{n-2}{n}\mathbf{v}^k+\frac{1}{n^2}\sum_{j=0}^{n-1}\mathbf{e}^k_j+\frac{1}{n^2}\sum_{j=0}^{n-1}\mathbf{f}^{k+1}_j,\qquad \mathbf{e}^{k+1}_j=\frac{\mathbf{v}^k+\mathbf{e}^k_j+\mathbf{f}^{k+1}_{j-1}+\mathbf{f}^{k+1}_j}{4}$
• 全规则时等价于双三次 B 样条曲面（见 参数曲面与贝塞尔面片），能处理非规则配置正是其优势；极限位置与切线有显式公式。GPU 渲染见 高效曲面细分。

分段光滑细分：折痕（17.5.3 节）

Hoppe 等为 Loop 曲面引入：先标记锐利边，按顶点处锐边数 $s$ 分类：光滑 ($s=0$)、镖点 dart ($s=1$，折痕在此平滑消失)、折痕 ($s=2$，跨越该曲线只有 $C^0$)、角点 ($s>2$)；边界可把所有边界边标为锐边。查表选择对应掩码。Biermann 等改进规则，避免边界上非规则顶点处出现缝隙，并允许指定顶点法线；DeRose 等的软折痕：边先按锐边细分若干次（可以是小数次），之后用标准规则。

置换细分曲面（17.5.4 节）

凹凸贴图只改法线，轮廓不变；置换贴图真正移动表面： $\mathbf{s}(u,v)=\mathbf{p}(u,v)+d(u,v)\,\mathbf{n}(u,v)$ 置换细分曲面 (Lee 等) 用粗控制网格细分出光滑极限曲面（$\mathbf{p}$ 为极限点，$\mathbf{n}=\mathbf{p}_u\times\mathbf{p}_v$ 归一化），再沿法线按标量场置换。置换后法线 $\mathbf{n}_s=\mathbf{s}_u\times\mathbf{s}_v$，$\mathbf{s}_u=\mathbf{p}_u+d_u\mathbf{n}+d\,\mathbf{n}_u$（$v$ 同理）；置换较小时可忽略第三项 (Blinn)，否则需由二阶导数求 $\mathbf{n}_u$。规则顶点的一二阶导数有简单掩码；非规则顶点处省略第三项。远处可改用凹凸贴图省几何处理，切线空间可取 $\mathbf{t}=\mathbf{p}_u/\lVert\mathbf{p}_u\rVert$、$\mathbf{b}=\mathbf{n}\times\mathbf{t}$。Nießner 与 Loop 改用 Catmull-Clark、直接求置换函数导数并用硬件细分管线，更快。

法线、纹理坐标与颜色（17.5.5 节）

• 极限法线需要三角函数，较贵。Loop 与 Schaefer 用双三次贝塞尔面片近似 Catmull-Clark，并为 u、v 方向各导出切线面片求法线（切线面片不构成连续法线场，需额外处理）；Alexa 与 Boubekeur 认为把法线也一起细分在单位计算的质量上更划算。
• 颜色（当作 RGBA 四维向量）和纹理坐标可以用与几何相同的细分方案，方案至少 $C^1$ 时颜色导数连续、不会突变。坑：纹理空间有边界时（两片共享一条边但边上纹理坐标不同），几何照常细分，纹理坐标要用边界规则。