分形布朗运动：一层噪声不够，就叠八层

先回到波

「噪声」这个词在音乐、通信、宇宙学里意思各不相同。书里先退一步，回到最基本的波：一条正弦波有两个参数，振幅（多高）和频率（多密）。

让振幅随时间变，叫调幅 (AM)；让频率随时间变，叫调频 (FM)。几条波还可以叠加：不同振幅、不同频率的正弦加在一起，形状会大变，有的地方互相抵消，有的地方互相增强。

振幅、频率与叠加

y =

0.5 + 0.4 * sin(x * 12.0)0.5 + 0.4 * sin(x * 12.0) * sin(u_time)0.5 + 0.4 * sin(x * (8.0 + 6.0 * sin(u_time)))0.5 + 0.2 * (sin(x * 12.0) + sin(x * 31.0 + 1.3))

直接改上面的表达式就能重画：x 是 0 到 1 的横坐标，可以用 sin、pow、smoothstep 等函数。

音乐里，音高按八度 (octave) 组织：高一个八度，频率翻一倍。噪声也可以这样叠。单独一层 Perlin 噪声的频率比较集中，振幅也比较稳定，但又不像正弦那么规则。所以只要叠少数几层，结果就已经很像随机了；要用正弦去伪装随机，往往得叠上一大堆。

fBm 的配方

分形布朗运动 (fractional Brownian motion，简称 fBm)，也叫分形噪声，就是一个循环：

1. 从一层低频、大振幅的噪声开始；
2. 每叠一层，频率乘以空隙度 (lacunarity)，通常是 2；
3. 振幅乘以增益 (gain)，通常是 0.5。

下面这个绘图器把层数、空隙度和增益都做成了滑块。把层数从 1 慢慢加到 10：

一维 fBm

y =

层数1.00空隙度2.00增益0.50

直接改上面的表达式就能重画：x 是 0 到 1 的横坐标，可以用 sin、pow、smoothstep 等函数。

二维：地形、云和石头

二维的 fBm 也是同样的循环，只是把一维噪声换成二维噪声。它常用来生成程序化地形，因为真实的地貌经过侵蚀，在很多尺度上都是自相似的：远看是山脉，近看是山坡上的沟壑。

fBm 还有几个常见的「家族成员」，区别只在每一层叠上去之前怎么处理那一层噪声：

• 湍流 (turbulence)：先对有符号的噪声取绝对值，再按 fBm 叠。噪声穿过 0 的地方都变成了尖锐的谷。
• 山脊 (ridge)：把湍流的尖谷翻上来，n = offset - abs(n)，再平方让脊更锐利。
• 还可以让各层相乘，或者让后一层的缩放依赖前一层的结果。这样就离开了严格的分形定义，进入了多重分形 (multifractal)，在商业地形软件里很常见。

fBm、湍流和山脊0.0s收起代码

层数6.00空隙度2.00增益0.50模式0.00

改一改流得更快每层错开一点

也可以直接改右边的代码：停手约 0.3 秒会自动重新运行；改坏了点「还原代码」。

域扭曲：用噪声扭曲噪声

最后一招最有意思：不直接看 fBm 的值，而是用一层 fBm 去推开另一层 fBm 的采样坐标。Íñigo Quilez 写过一篇文章讲这件事，像是「梦中梦」：

vec2 q = vec2(fbm(st), fbm(st + 偏移1));          // 第一层：一个偏移向量
vec2 r = vec2(fbm(st + k * q + 偏移2), fbm(st + k * q + 偏移3));  // 用 q 推开坐标，再算一层
float f = fbm(st + k * r);                        // 用 r 推开坐标，得到最终的值

温和地扭曲，能得到像云、像大理石一样的纹理，而且依然保留自相似：

域扭曲0.0s收起代码

扭曲4.00

改一改流得更快只扭曲一层

也可以直接改右边的代码：停手约 0.3 秒会自动重新运行；改坏了点「还原代码」。

除了用噪声的值，也可以用噪声的导数（解析梯度或有限差分）去推开坐标。Perlin 和 Neyret 的 flow noise 就建立在梯度的思路上；现代的一些 Perlin 噪声实现可以同时返回值和解析梯度。

在游戏里怎么用

取舍与常见的坑

小结与练习

• fBm = 一层层叠噪声：频率按空隙度升高，振幅按增益衰减；叠几层就有了跨尺度的自相似细节。
• 湍流取绝对值得到尖谷，山脊再翻转平方得到锐脊；让各层相乘就进入了多重分形。
• 域扭曲用 fBm 推开另一层 fBm 的坐标，做出流动的云和大理石。

练习：用 fBm 做一张俯视的岛屿地图：fBm 的值低于某个阈值是海，稍高一点是沙滩，再高是草地，最高处用山脊噪声画出山脉。

value += amplitude * abs(snoise(st));
st *= 2.;
amplitude *= .5;

n = abs(n);
n = offset - n;
n = n * n;