硬件光栅化与透视校正插值

屏幕坐标与 quad（23.1 节）

像素中心为 $(x+0.5,y+0.5)$。顶点经变换（含投影、不含除以 w）得 $\mathbf{q}_i=\mathbf{M}\mathbf{v}_i$，屏幕坐标 $\mathbf{p}_i=\big((q_{ix}/q_{iw}+1)W/2,\;(q_{iy}/q_{iw}+1)H/2\big)$。像素网格分为 2×2 的 quad：为了用有限差分求纹理 LOD 所需的导数，只要 quad 中有一个像素在三角形内，整个 quad 都要做像素着色，其中在三角形外的叫辅助像素 (helper pixel)。三角形越小辅助像素占比越大，最坏情况是只覆盖一个像素的三角形需要 3 个辅助像素，这称为 quad 过度着色。这是几乎所有 GPU 的核心设计。

边函数

对过 $\mathbf{p}_0$、$\mathbf{p}_1$ 的边，法线取边向量逆时针旋转 90 度 $\mathbf{n}_2=(-(p_{1y}-p_{0y}),\,p_{1x}-p_{0x})$（指向三角形内），

$e>0$ 为正半空间。采样点在三角形内或边上当且仅当三条边都有 $e_i(x,y)\ge0$。

• 定点化：API 通常要求屏幕顶点坐标转为定点数（如 1.14.8 位：1 位符号、14 位整数、8 位亚像素，即每像素每方向 $2^8$ 个位置），以便一致地定义平局规则，也让内部测试更高效；在计算边方程之前完成吸附。
• 增量性：$e(x+1,y)=e(x,y)+a$，y 方向类似，可快速对小瓦片（如 8×8）"盖章"出每像素一位的覆盖掩码。

左上规则（DirectX）：三条边都 $e_i>0$ 的像素总在内部；中心恰在边上时，只有当该边是上边（水平且其余边在其下方，$a=0$ 且 $b<0$）或左边（非水平且在三角形左侧，$a>0$，一个三角形最多两条左边）时才算内部。这样共享边上的像素只属于一个三角形，避免被写两次。线段可当作一像素宽的长矩形（两个三角形或加一条边方程），点画成四边形，从而复用同一套边方程硬件。

分层遍历与三角形设置

1. 计算屏幕包围盒，确定与三角形重叠的瓦片。瓦片-边测试是 AABB-平面测试的二维版本：对每条边只需测由边法线决定的那个最"内"的瓦片角（对所有瓦片相同，可在遍历前确定），该角在边外则整个瓦片在外，免去逐像素测试；横移 8 像素只需加 $8a$。
2. 瓦片按之字形或空间填充曲线遍历以提高一致性，可多级（如先 16×16 再 4×4）。

相比扫描线顺序，分块遍历访问像素更一致，纹理（尤其配合 mipmap 时纹理缓存复用）、深度缓冲、颜色缓冲的局部性都更好；大三角形按扫描线遍历时，行首用过的纹素到行尾早已被逐出缓存。也因此纹理和缓冲本身都按瓦片存储。

三角形设置计算三角形上的常量（边方程系数、插值相关常量等）。裁剪必须在设置之前（可能生成更多三角形）：近平面裁剪总是需要（生成一或两个三角形），屏幕边缘则多用保护带裁剪——例如保护带为 x、y 各 ±16K 像素，与屏幕相交且完全位于保护带内的三角形无需真正裁剪，只处理可见瓦片；只有超出保护带又与屏幕相交的三角形才需要完整裁剪。

重心坐标与插值（23.1.1 节）

属性插值 $a(u,v)=(1-u-v)a_0+ua_1+va_2$，$u=A_1/(A_0+A_1+A_2)$，$v=A_2/(A_0+A_1+A_2)$，$A_i$ 为子三角形面积。由于 $e_2(\mathbf{p})=\mathbf{n}_2\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{p}_0)=\lVert\mathbf{n}_2\rVert\lVert\mathbf{p}-\mathbf{p}_0\rVert\cos\alpha=bh=2A_2$（$\lVert\mathbf{n}_2\rVert$ 等于边长 $b$，投影长度为子三角形高 $h$），

三角形设置预先计算 $1/(A_0+A_1+A_2)$ 免去逐像素除法，于是内部测试的副产品就给出了重心坐标。这对深度插值和正交投影是正确的，但透视下会出错（棋盘纹理会扭曲）。

透视校正：屏幕空间中可线性插值的是 $a/w$ 与 $1/w$（$w$ 为变换后的第四分量），

例：边两端 $a_0=4$、$a_1=6$，$w_0=1$、$w_1=3$。$a/w$ 两端为 4 和 2，中点 3；$1/w$ 两端为 1 和 1/3，中点 2/3；相除得中点 $a=4.5$，而正交投影下是 5。

实际要插值多个属性，所以先算透视校正重心坐标。令 $f_i(x,y)=e_i(x,y)/w_i$（设置阶段可预存 $a_0/w_0$ 等，或把三个函数都乘以 $w_0w_1w_2$），

每像素算一次即可用于所有属性；它们不再与子三角形面积成正比，分母也不是常数，所以必须逐像素除法。深度 $z/w$ 本身已经除过 $w$，不应用此式，而是逐顶点算 $z_i/w_i$ 后用 $(u,v)$ 线性插值——这对深度缓冲压缩也有好处。

保守光栅化（23.1.2 节）

DirectX 11 起（OpenGL 通过扩展）支持：高估保守光栅化 (OCR)（外保守）访问所有与三角形重叠或在其内的像素；低估 (UCR)（内保守）只访问完全在三角形内的像素。可用把瓦片缩小到一个像素的分块遍历实现；无硬件支持时可用几何着色器或三角形扩张实现 OCR。用途包括图像空间碰撞检测、遮挡剔除、阴影计算、抗锯齿等。

flowchart LR
  A["裁剪: 近平面 + 保护带"] --> B["三角形设置: 边方程与插值常量"]
  B --> C["分层瓦片遍历: 瓦片角测试"]
  C --> D["逐采样内部测试 + 左上规则"]
  D --> E["重心坐标与透视校正插值"]
  E --> F["按 2x2 quad 派发像素着色"]

如上图，光栅化是几何与像素处理之间的桥梁。

GEA 的视角：重心坐标的面积求法与透视校正（卷 II 11.3.10.6–11.3.10.7、11.4.5.3、11.4.6.1）

面积法求重心坐标

• 片元位置 $\mathbf{p}_f$ 可写成三个顶点的加权平均 $\mathbf{p}_f=\lambda_1\mathbf{p}_1+\lambda_2\mathbf{p}_2+\lambda_3\mathbf{p}_3$，权重之和为 1；点在三角形内时三个权重都为正，在外时至少一个为负（卷 II 11.3.10.6）。
• 重心坐标也叫面积坐标：从 $\mathbf{p}_f$ 到三个顶点的向量把三角形分成三个子三角形，权重就是子三角形面积与总面积之比。用边向量 $\mathbf{e}_{12}=\mathbf{p}_2-\mathbf{p}_1$ 等与 $\mathbf{v}_{if}=\mathbf{p}_f-\mathbf{p}_i$ 的叉积求面积：

$A_{total}=\tfrac12|\mathbf{e}_{12}\times\mathbf{e}_{13}|,\quad A_1=\tfrac12|\mathbf{e}_{23}\times\mathbf{v}_{2f}|,\quad A_2=\tfrac12|\mathbf{e}_{31}\times\mathbf{v}_{3f}|,\quad A_3=\tfrac12|\mathbf{e}_{12}\times\mathbf{v}_{1f}|$

$\lambda_i=A_i/A_{total},\qquad \lambda_3=1-(\lambda_1+\lambda_2)$

这与本页「边函数的值恰好是子三角形面积的两倍」是同一个事实。

• 补充（GEA 公式的两个隐含条件）：① 叉积取模得到的面积恒为非负，按上式算出的 $\lambda_i$ 不可能为负，无法像书中所说用"有负值"判断点在外部；要用有符号面积（二维下即边函数，三维下取叉积与三角形法线 $\mathbf{n}$ 的点积）。② 透视校正公式中的 $\lambda_i$ 必须是屏幕空间（投影后）的重心坐标；若像书中面积法那样直接用三维顶点和三维片元位置求重心坐标，得到的已经是透视正确的权重，再套 $1/z$ 公式反而会算错。

透视校正插值

• 直接用 $z_f=\lambda_1z_1+\lambda_2z_2+\lambda_3z_3$ 插值深度是错的，因为透视投影不保持距离（透视缩短）。GEA 不给推导，只给结论：对深度的倒数做线性插值再取倒数（卷 II 11.3.10.7）：

$\frac{1}{z_f}=\lambda_1\frac{1}{z_1}+\lambda_2\frac{1}{z_2}+\lambda_3\frac{1}{z_3}$

• 其他属性同理，例如颜色 $\mathbf{C}_f=z_f\left(\frac{\lambda_1}{z_1}\mathbf{C}_1+\frac{\lambda_2}{z_2}\mathbf{C}_2+\frac{\lambda_3}{z_3}\mathbf{C}_3\right)$。直观理解：先撤销透视除法，正常插值，再把透视除法做回去。本页 RTR4 部分用 $1/w$ 表述同一件事。
• 以 quad 为单位光栅化的目的是让像素着色器对任意着色器变量（最常见的是纹理坐标）求屏幕空间差分 ddx/ddy，以选择 mip 级别；GEA 原文写成"相邻片元三维位置的一阶差分"，范围说窄了（见 纹理过滤与 Mipmap）。

保守光栅化：书中前后说法不一

• 卷 II 11.4.6.1 写道保守光栅化"从 DirectX 12 开始"可选。
• 同书 11.4.5.3 的特性级别说明则写它在特性级别 11_1 引入、从 12_1 起成为必需（表 11.2 中 11_0 及以下为"不支持"）。
• 两处说法并不完全一致（一处按 API 版本、一处按特性级别），这里照录。保守光栅化的原理见本页「保守光栅化」一节。