网格整合与顶点法线

整合 (consolidation) 指把零散多边形合并成共享顶点的网格、让所有面朝向一致、判断是否为实体，并生成平滑的顶点法线与折痕边。这些步骤是背面剔除、折痕检测、阴影体、碰撞检测、3D 打印等的前提。

基本检查（16.3 节）

多边形至少要有三个不同且不共线的顶点；两个顶点重合的三角形面积为零，可以丢弃。视用途而定，保存多边形本身可能比立即三角化更高效，因为三角化会产生更多边，增加后续工作。

合并与焊接（16.3.1 节）

互不相连的多边形称为多边形汤 / 三角形汤，浪费内存且显示低效，通常要合并为网格：一个顶点列表（位置及法线、纹理坐标、切线、颜色等可选数据）加每个多边形的整数索引列表，每个顶点只存一次。
哈希合并：顶点计数器从 0 开始；对每个多边形的每个顶点按顶点值哈希，表中没有就存入并记下计数器值（计数器加一，顶点加入最终列表），已有则取回其索引。
焊接 (welding)：位置极接近但不完全相同的顶点，用排序加宽松的位置相等函数高效合并。

朝向（16.3.2 节）

CAD 惯例：从正面看顶点逆时针排列（环绕方向，右手定则：右手四指沿顶点顺序弯曲，拇指指向法线）。这与视空间或世界坐标的左右手性无关；但对已定向网格施加反射矩阵会让法线与环绕方向相反。
定向流程：

flowchart TD
  A["为所有多边形建立半边 half-edge"] --> B["排序或哈希, 找出匹配的边"]
  B --> C["得到邻接图, 找出相连的多边形组"]
  C --> D["每组任选起始面, 递归检查邻面: 共享边遍历方向相同则翻转邻面"]
  D --> E["计算有符号体积, 为负则整体翻转"]

如上图：半边存储时按排序顺序（先比 x，再 y，再 z）把较小顶点放前面，这样比较边只需首对首、尾对尾；若顶点已合并，可把半边挂到首顶点索引的临时列表上，平均每顶点约 6 条边，匹配极快。没有两个相邻面的边就是边界边；茶壶模型有壶身和壶盖两组。所有面一致后可能整体朝内，用每个三角形标量三重积求和得到有符号体积，为负则翻转所有环和法线。

坑：房间盒子的法线应朝内；两个立方体共享一条边时该边被四个面共享；莫比乌斯带不可定向；即使良好的曲面网格也难判定哪侧朝外（Takayama 等从每个面投射随机光线，看哪个朝向从外部更可见）。

实体性（16.3.3 节）

若网格已定向且从外部可见的面朝向一致（只能看到一侧），称为封闭 / 水密 (watertight)。实体可用背面剔除提高效率，也是阴影体和 3D 打印的必要条件。
最简单的检查：每条边恰好被两个多边形共享，大致称为二维流形。严格的流形没有拓扑不一致（三个以上多边形共享一条边、两个以上角点相碰等）；构成实体的连续曲面是无边界的流形。

法线平滑与折痕边（16.3.4 节）

许多格式不提供顶点法线或边信息。折痕边是重要的视觉提示（也用于 NPR，见轮廓边与几何描边），简化时应倾向保留。
平滑组：显式指定哪些多边形属于同一曲面，不同组之间的边视为硬边。
折痕角：二面角（两平面法线夹角）小于折痕角（典型 20°–50°）的相邻面视为同一平滑组，也称"边缘保持"。可能把该硬的边磨圆或反之，常需试验；平滑组也有局限，例如中间被捏出折痕的纸张需要重叠平滑组或直接定义折痕；圆锥整体平滑后尖端只有一条沿轴的法线，尖端是奇点，理想情况每个三角形在尖端要像四边形那样有两条法线。
顶点法线加权：

方法	做法	评价
简单平均	平均共享该顶点的各面法线	结果可能不一致；一个多边形被三角化成两个三角形后会施加双倍影响
按角度加权 (Thürmer & Wüthrich)	每个面法线按其在该顶点处两条边的夹角加权	是否三角化结果不变；Jin 等综述认为在各种条件下最好或之一
Max 加权	长边构成的多边形对法线影响较小	配合简化可能更好，因为简化后的大多边形不太贴合曲率
按面积加权	—	Cignoni 明确警告不要用

高度场快捷法 (Shankel)：用点 $\mathbf{p}$ 沿 x 轴两个邻点、沿 y 轴两个邻点的高度差分别作为（未归一化）法线的 x、y 分量，z 分量取常数 2，可快速近似按角度加权的平滑（书中式 16.1；具体符号在提取文本中无法完全确定，此处以文字描述）。