着色模型与光源

着色模型描述物体颜色如何随表面朝向、观察方向和光照变化。光源通过两个参数与着色模型交互：指向光源的方向 $\mathbf{l}$ 和光的颜色 $\mathbf{c}_{\text{light}}$。方向光、点光源、聚光灯的区别就在于这两个量如何随场景变化；距离衰减和方向衰减函数的选择同时影响画面与性能。

示例：Gooch 着色

RTR4 用 Gooch 模型的变体举例：法线朝向光源用暖色、背向用冷色，中间插值，再加一个风格化高光。 $\mathbf{c}_{\text{shaded}}=s\,\mathbf{c}_{\text{highlight}}+(1-s)\left(t\,\mathbf{c}_{\text{warm}}+(1-t)\,\mathbf{c}_{\text{cool}}\right)$ 其中 $\mathbf{c}_{\text{cool}}=(0,0,0.55)+0.25\,\mathbf{c}_{\text{surface}}$，$\mathbf{c}_{\text{warm}}=(0.3,0.3,0)+0.25\,\mathbf{c}_{\text{surface}}$，$t=\frac{(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})+1}{2}$，$\mathbf{r}=2(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})\mathbf{n}-\mathbf{l}$，$s=(100(\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})-97)^{\mp}$（夹到 [0,1]）。

它展示了着色中最常见的操作：

• 单位向量点积（即夹角余弦）衡量两个方向的对齐程度；
• 夹取 (clamp)，尤其是到 [0,1]；
• 线性插值 lerp/mix；
• 反射 reflect。

带光源的一般结构

$\mathbf{c}_{\text{shaded}}=f_{\text{unlit}}(\mathbf{n},\mathbf{v})+\sum_{i=1}^{n}(\mathbf{l}_i\cdot\mathbf{n})^+\,\mathbf{c}_{\text{light}_i}\,f_{\text{lit}}(\mathbf{l}_i,\mathbf{n},\mathbf{v})$

• $(\mathbf{l}\cdot\mathbf{n})^+$ 的来源：光线打到表面的密度与入射角余弦成正比；从背面来的光没有作用，所以夹到 0。这也是把 $\mathbf{l}$ 定义为指向光源（与光传播方向相反）的原因。
• 这个结构是物理着色模型所必需的，对风格化模型也有助于光照一致性；不适合它的模型使用不带余弦项的形式。
• $f_{\text{unlit}}$ 描述不受光源照射时的外观：可以是纯黑，可以是风格化的颜色，通常表示不是来自显式光源的光（天光、反弹光，见第 10、11 章）。
• 最简单的 $f_{\text{lit}}=\mathbf{c}_{\text{surface}}$ 就是 Lambert 着色模型，适用于理想漫反射的哑光表面。

光源类型

• 方向光适合光源距离远大于场景尺寸的情况，例如太阳。
• 点光源和聚光灯统称精确光源 (punctual light)：有位置、无尺寸。
• 计算 $\mathbf{l}$ 时显式算出距离 $r=\sqrt{\mathbf{d}\cdot\mathbf{d}}$，后面衰减要用。

距离衰减

平方反比：$\mathbf{c}_{\text{light}}(r)=\mathbf{c}_{\text{light}_0}\left(\frac{r_0}{r}\right)^2$。有两个实际问题：

近处奇点

• 分母加 $\epsilon$：$\frac{r_0^2}{r^2+\epsilon}$，虚幻引擎用 $\epsilon=1$ cm。
• 或夹取最小距离 $\max(r,r_{\min})$（CryEngine、Frostbite）。$r_{\min}$ 有物理含义：发光体的半径。

远处永不为 0：为了高效渲染（第 20 章），光应在有限距离降到 0，且最好数值和导数同时为 0，避免硬边。虚幻与 Frostbite 使用窗口函数： $f_{\text{win}}(r)=\left(1-\left(\frac{r}{r_{\max}}\right)^4\right)^{+2}$

• 当衰减以较低空间频率采样（光照贴图、逐顶点光照）时，$r_{\max}$ 处导数为 0 尤其重要；CryEngine 不用这两者，所以只在 $0.8r_{\max}$ 到 $r_{\max}$ 之间改为线性衰减。
• 也可以用非平方反比的衰减函数 $f_{\text{dist}}(r)$：《Just Cause 2》为了极低开销用 $\left(1-(r/r_{\max})^2\right)^{+2}$；虚幻引擎另有可调的指数衰减模式；《古墓丽影》(2013) 用样条编辑衰减曲线。

聚光灯方向衰减

$\theta_s$ 为聚光方向 $\mathbf{s}$ 与 $-\mathbf{l}$ 的夹角。本影角 $\theta_u$ 之外为 0（也可用于剔除），半影角 $\theta_p$ 之内为满强度： $t=\left(\frac{\cos\theta_s-\cos\theta_u}{\cos\theta_p-\cos\theta_u}\right)^{\mp}\ (\text{夹到 }[0,1]),\quad f_{\text{dir}_F}=t^2\ (\text{Frostbite}),\quad f_{\text{dir}_T}=\operatorname{smoothstep}(t)=t^2(3-2t)\ (\text{three.js})$

其他光源

• $f_{\text{dir}}$ 可以是任意方向分布，包括实测的 IES 配光文件（《Killzone: Shadow Fall》、虚幻、Frostbite 使用）。
• 《古墓丽影》有沿世界 x、y、z 轴分别衰减的精确光源，以及随时间变化强度的曲线（闪烁火把），还有以线段为光源的胶囊光：取线段上最近点的方向作为 $\mathbf{l}$。
• 只要着色器拿到 $\mathbf{l}$ 和 $\mathbf{c}_{\text{light}}$，任何计算方式都可以。
• 真实光源有尺寸，称为面光源；其技术分为软化阴影（7.1.2 节）和模拟对表面着色的影响（10.1 节，光滑表面上最明显）。

GEA 的视角：面光源与理想化光源（卷 II 11.3.7）

• 现实中的光源分发光表面（太阳、灯泡、发热的炉丝）和发光介质（火焰：只有足够热的区域才发光）。渲染中主要关心发光表面；烛火、爆炸这类发光介质通常可以近似为被一个假想发光表面包住的体积。表面上每一点都发光的光源叫面光源（卷 II 11.3.7，见 面光源）。

  原书问题（11.3.7）：GEA 说火焰"由空气混合水蒸气（足够热时还有等离子体）组成"。烛火等扩散火焰的可见光主要来自燃烧不完全产生的炽热烟炱 (soot) 颗粒的黑体式热辐射（黄色部分），蓝色底部则来自 CH、C₂ 等自由基的化学发光；水蒸气和 CO₂ 是燃烧产物，主要辐射在红外（Wikipedia "Flame"）。这不影响"把火焰当作发光介质、用假想发光表面包住近似"的结论。

• 面光源在光线追踪引擎里很好处理，它们只是恰好向场景注入能量的普通表面；但在三角形光栅化等方法中较棘手，因此常用理想化模型：灯泡、LED 这样的小光源近似为点光源（全向光），从一点向各方向辐射；太阳这样的巨大光源近似为方向光，光子充满整个空间、沿同一方向平行传播。
• 理想化光源的缺点是阴影不真实：现实中光源有面积，才形成有本影和半影的软阴影；理想化光源只产生硬阴影，除非另外模糊边缘（见 软阴影 PCF 与 PCSS）。光源模型的细节 GEA 留到卷 II 12.4.2。
• 这与本页「光源类型」中 RTR4 的分类一致；本页的聚光灯和衰减函数 GEA 第 11 章没有涉及。

GEA 的视角：理想化光源模型（卷 II 12.4.2）

• 理想化光源有两种基本类型：方向光是尺寸相对场景无限大的面光源，所有光线平行，常用来模拟太阳；点光源是尺寸为零的面光源，光线从一点向外辐射，常用来模拟小灯泡和 LED（卷 II 12.4.2）。
• 每个理想光源由位置 $\mathbf{y}_k$、单位方向 $\ell_k$ 和照度 $E_{v,k}$ 描述；方向光可以看成位置在无穷远。$\ell_k$ 约定背离表面，与光子流方向相反：$\ell_k=-\mathbf{S}/\lvert\mathbf{S}\rvert$。$E_{v,k}$ 是该光源在垂直于光线的白色理想漫反射面上产生的照度，渲染程序员说的"光源颜色"就是它。
• 太阳其实是比地球大得多的面光源，表面光子向各方向飞出，但太阳太远，只有几乎平行于两天体连线的光子能到达地面，所以在地球上它的通量密度场表现得像无穷远处的无穷小点光源；换个角度说，太阳在天空中所张的立体角很小。
• 方向光：$\ell_k$ 与 $E_{v,k}$ 在空间中处处为常数（卷 II 12.4.2.1）。
• 点光源：$\ell_k(\mathbf{x})=(\mathbf{y}_k-\mathbf{x})/\lvert\mathbf{y}_k-\mathbf{x}\rvert$，照度按平方反比衰减。平方反比衰减很快，超过某个半径 $r_{\max}$ 后几乎为零，这个范围叫影响球；多数引擎只对影响球内的表面应用该光源，这是重要的优化（卷 II 12.4.2.2）。
• 聚光灯：限制在锥形区域内的点光源，通常有内外两个锥角：内锥内满强度，内外锥之间逐渐衰减，外锥外为零。由位置、随距离衰减的照度、中心方向、影响半径 $r_{\max}$ 和内外锥角 $\theta_{\min}$、$\theta_{\max}$ 描述（卷 II 12.4.2.3）。本页上文 RTR4 的聚光灯与衰减函数在这里得到对应。
• 着色方程里统一用 $E_{v,k}$ 表示照度，假设点光源和聚光灯的距离衰减已经事先算好（卷 II 12.4.2.4）。GEA 第 12.5.1.3 节示例着色器中的点光源实际用 smoothstep(outerRadius, innerRadius, distance) 做距离衰减，而不是平方反比（见 着色方程与经典光照模型）。
• 原书问题（书中前后不一致）：12.2.4.5 推导点光源通量密度为 $\Phi/(4\pi r^2)$，12.4.2.2 写点光源照度却是 $\Phi_{v,k}/r_{xy}^2$，少了 $4\pi$。如果把 $\Phi_{v,k}$ 理解为发光强度（每球面度的光通量），$I/r^2$ 才是正确的照度；按书中"光通量"的说法应除以 $4\pi r^2$。本页上文 RTR4 用参考距离 $r_0$ 处的光源颜色写成 $\mathbf{c}_{\text{light}_0}(r_0/r)^2$，不涉及功率与 $4\pi$ 的换算。各向同性点光源 $E=I/r^2=\Phi/(4\pi r^2)$ 见 Wikipedia "Inverse-square law"（光强与照度一节）及 RTR4 第 5.2.2 节。

PBRT 的视角：物理光源接口（PBRT 4e 12.1–12.3）

为什么没有"艺术控制"

pbrt 不提供可调衰减速率、只照亮某些物体、不投射阴影等非物理控制，因为它们与基于物理的光传输不相容。书中的反例：不投影的光源周围套一层层同心球壳，忽略遮挡时每加一层，表面接收的总能量就增加，最终超过光源发出的总能量。这与上文 RTR4 记录的游戏做法（窗口函数截断、$r_{\min}$ 夹取、《Just Cause 2》的非平方反比衰减）构成分歧：游戏为了有限影响范围和性能主动放弃能量守恒，离线物理渲染器则保留严格的 $1/r^2$。

接口与类型

• 每个光源要能返回总功率 $\Phi$（供按功率选光源）；Type() 分四类：DeltaPosition（点）、DeltaDirection（单一方向）、Area（附着在形状上）、Infinite（无几何、给逃逸光线提供亮度）。积分器需要知道哪些是 delta 光源。
• SampleLi(ctx, u, λ, allowIncompletePDF) 返回入射亮度、方向 $\omega_i$、发光点和相对接收点立体角的 PDF；不包含遮挡和介质衰减。delta 光源返回 pdf = 1（亮度与 PDF 中隐含的 delta 相消），PDF_Li() 对它们返回 0。L() 给面光源、Le() 给无穷远光源。allowIncompletePDF 允许在贡献小的方向不生成样本（MIS 补偿，Karlík 等 2019）。
• 光源不支持动画变换（练习 12.3）。LightBase 用 InternCache 对相同的 DenselySampledSpectrum（覆盖可见光约 2 KB）去重，百万光源时可省大量内存。
• 光度学输入：场景文件可以用光通量（如 1000 lm 的灯泡）指定光源，解析时转换为辐射度量值；Phi() 返回的是辐射功率。

各类点光源

• 点光源：强度 $I$，$\Phi=4\pi I$。严格说点光源到达的是强度除以 $r^2$ 而不是辐射亮度，pbrt 有意"滥用"术语，让所有光源共用一套接口。
• 聚光灯：位于原点朝 $+z$，存两个角的余弦；方向衰减 SmoothStep(cosθ, cosFalloffEnd, cosFalloffStart)（三次 Hermite），与上文 three.js 的 smoothstep 写法一致，而 Frostbite 用 $t^2$。功率 $\Phi=2\pi I\big[(1-\cos\theta_{start})+\tfrac{\cos\theta_{start}-\cos\theta_{end}}{2}\big]$：代换 $x=\cos\theta$ 后衰减带积分为 $(\cos\theta_{start}-\cos\theta_{end})\int_0^1\text{smoothstep}=\tfrac{\cos\theta_{start}-\cos\theta_{end}}{2}$，与书一致。Warn 1983 最早提出这种聚光灯模型。
• 投影光 (ProjectionLight)：像幻灯机，用透视投影把点投到 $z=1$ 平面；丢弃 $z<0$ 的点（投影变换会把背后的点翻到前面）；图像用最近邻而非双线性，保证与重要性采样的分段常数分布严格一致；RGB 用 RGBIlluminantSpectrum 转光谱，使 $(1,1,1)$ 对应色彩空间的光源白而非常数光谱。功率在投影平面上积分，换元因子 $d\omega/dA=\cos^3\theta$（$\cos\theta$ 乘以 $1/r^2$，平面上 $r=1/\cos\theta$）。
• 配光曲线光源 (GoniometricLight)：照明工程常用的测角光度图（IES 文件 LM-63 即此类），用等面积八面体参数化存成图像，只用第一通道缩放强度；等面积映射使每个像素立体角相同，换元因子为常数 $4\pi$。照明工程的经验：距离超过面光源半径 5 倍时可当点光源，见 面光源 中点光源近似误差的讨论。更一般的近场光度学用 4D 光场（Ashdown 1993、Heidrich 等 1998）。
• 方向光 (DistantLight)：$L_i=L_e\,\delta(\omega-\omega_l)$；只能处于真空（在吸收介质中的无穷远光源会被全部吸收）。阴影光线终点取沿入射方向 2 倍场景包围球半径处，必在场景外。功率与受照面积成正比，用场景包围球内接圆盘近似：$\Phi=\pi r^2L$，这是投影面积的上界。

原书问题（12.2.3，措辞）

书中说测角光度图描述点光源出射的"luminance"（亮度）的角分布。点光源的方向分布是发光强度 (luminous intensity, cd)，不是亮度 (luminance, cd/m²)；pbrt 实现中图像缩放的也正是强度 I()。IES LM-63 文件存的同样是坎德拉值。

LearnOpenGL 的视角：方向光 / 点光衰减 / 聚光灯锥体（Lighting / Light casters · Multiple lights）

来源：Light casters、Multiple lights；摘录 Lighting — Light casters、Lighting — Multiple lights。

方向光

用方向向量代替位置；着色里 lightDir = normalize(-light.direction)（约定 CPU 侧存「从光源指出」的方向）。旧式定点管线用 vec4 的 w==0 表示方向光、w==1 表示点光。

点光与衰减

衰减常用 $F_{att}=1/(K_c + K_l d + K_q d^2)$。$K_c$ 常为 1，避免分母小于 1 时反而放大。教程转载 Ogre3D 表，按覆盖半径给 $K_l$、$K_q$ 初值（如半径 50 → 0.09 / 0.032）。环境项是否乘衰减：单灯可保留环境，多灯叠加时通常也衰减，以免环境光堆爆。

聚光灯与手电

参数：位置、方向、切角 $\phi$。比较的是 余弦（dot(lightDir, -spotDir)）与预计算的 cos(cutOff)，避免着色器里 acos。硬边用 theta > cutOff；软边引入内外角，强度 $I=\mathrm{clamp}((\theta-\gamma)/\varepsilon,0,1)$，只乘漫反射与镜面，环境可保留。手电 = 聚光灯位置/方向每帧跟相机。

多光源结构

main 里累加：result = CalcDirLight(...) + Σ CalcPointLight(...) + CalcSpotLight(...)。GLSL 函数与 #define NR_POINT_LIGHTS 数组；CPU 用 pointLights[i].constant 这种带下标的 uniform 名赋值。重复的反射向量/贴图采样有优化空间，但是教学结构清晰。氛围主要靠调各灯 ambient/diffuse/specular，而非改模型。