菲涅耳反射

基本性质

• 菲涅耳方程要求界面在几何光学意义上平坦，即没有 1–100 个波长大小的不规则。
• 反射方向：$\mathbf{r}_i=2(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})\mathbf{n}-\mathbf{l}$，与 $\mathbf{l}$ 同样和法线成 $\theta_i$ 角。
• 外反射（$n_1<n_2$，通常从空气射入，取 $n_1=1$）下 $F(\theta_i)$：$\theta_i=0°$（垂直入射）时为 $F_0$；随角度增大趋向 1，在 90° 时所有频率都为 1（白色）。曲线高度非线性，到约 75° 前几乎不变，之后迅速升到 1；大体单调，但铝等材质在变白前有轻微下凹。
• 掠射光对应掠射视线（镜面反射），所以反射增强主要出现在物体边缘，而且这些部分在相机中被透视压缩、占像素很少；因此书中按 $\sin\theta_i$ 绘制曲线以反映视觉占比。
• 渲染文献把掠射角反射增强称为菲涅耳效应。简单实验：低头看手机黑屏中显示器的倒影很弱，把手机抬到眼睛和显示器之间再看，倒影几乎和显示器一样亮。
• 在 BRDF 中常用其他向量代替 $\mathbf{n}$，写作 $F(\mathbf{n},\mathbf{l})$；微表面 BRDF 中用半向量 $\mathbf{h}$。

Schlick 近似

菲涅耳方程本身复杂，需要可见光谱上采样的（可能是复数的）折射率。Schlick 近似： $F(\mathbf{n},\mathbf{l})\approx F_0+(1-F_0)\big(1-(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^+\big)^5$

• 即白色与 $F_0$ 之间的 RGB 插值，简单而相当准确。铬、铁、锌等偏离较大的材质误差也很细微。需要精确表现时可用 Gulbrandsen 的近似（能接近金属的完整菲涅耳方程，但更贵），或允许指数不为 5。Lagarde 总结了菲涅耳方程及多种近似。
• 更一般的形式（部分应用使用）： $F(\mathbf{n},\mathbf{l})\approx F_0+(F_{90}-F_0)\big(1-(\mathbf{n}\cdot\mathbf{l})^+\big)^{1/p}$ 可控制 90° 时的颜色和过渡的"锐度"。动机多为艺术控制，也有助于匹配现实：改变指数可更好拟合某些材质；$F_{90}$ 设为非白色可匹配菲涅耳方程描述不好的材质，如覆盖颗粒与波长相当的细尘的表面。
• $F_0$ 范围明确在 $[0,1]$，可用常规拾色界面设置并用颜色纹理格式存储，且有大量真实材质参考值。也可由折射率计算（$n_1=1$）： $F_0=\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^2$ 对复折射率（金属）取结果的模；折射率随光谱变化明显时，应先在密集波长上计算 $F_0$ 再转为 RGB。

典型 $F_0$ 值

电介质（绝缘体）、金属（导体）、半导体三类。下表中纹理值为 sRGB 编码的 8 位值。

• 日常材质大多是电介质（玻璃、皮肤、木、头发、皮革、塑料、石头、混凝土、水；水导电是因为杂质）。$F_0$ 通常 ≤0.06，因此菲涅耳效应在电介质上特别明显；光学性质在可见光谱上变化很小，反射无色，用标量即可。未知电介质取 0.04 是合理默认值。宝石的鲜艳颜色来自内部吸收，与菲涅耳反射无关。
• 金属 $F_0$ 几乎总在 0.5 以上，部分带颜色，按亮度递增举例（线性 RGB）：钛 (0.542, 0.497, 0.449)、铬 (0.549, 0.556, 0.554)、铁 (0.562, 0.565, 0.578)、铜 (0.955, 0.638, 0.538)、黄铜 C260 (0.910, 0.778, 0.423)、锌 (0.664, 0.824, 0.850)、金 (1.000, 0.782, 0.344)、铝 (0.913, 0.922, 0.924)、银 (0.972, 0.960, 0.915)。金色彩最强，红通道略超出 sRGB/Rec. 709 色域（表中已钳制），蓝通道是表中唯一显著低于 0.5 的值。金属立即吸收透射光，没有次表面散射或透明，可见颜色全部来自 $F_0$。
• 半导体介于最亮电介质与最暗金属之间（钻石 0.171–0.176、晶体硅 0.345–0.426、钛 0.449–0.542）。除非刻意表现奇异材质，应避免 0.2–0.45 之间的 $F_0$。

水下的 $F_0$

周围不是空气时，用相对折射率： $F_0=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$ 水的折射率约为空气的 1.33 倍。折射率接近水的电介质受影响最大，金属几乎不受影响：皮肤 0.028→0.0007，Schott K7 玻璃 0.042→0.004，钻石 0.172→0.084，铁 (0.562, 0.565, 0.578)→(0.470, 0.475, 0.492)，银几乎不变。

参数化技巧

• 金属度：用表面色 $\mathbf{c}_{\text{surf}}$ 和标量 $m$ 同时决定 $F_0$ 与 $\rho_{ss}$（$m=1$ 时 $F_0=\mathbf{c}_{\text{surf}}$、无漫反射；$m=0$ 时 $F_0$ 为电介质值、$\rho_{ss}=\mathbf{c}_{\text{surf}}$）。Disney 增加 "specular" 参数控制电介质 $F_0$，Unreal 采用；Frostbite 的电介质 $F_0$ 范围更大；《使命召唤：无限战争》把金属度和 specular 打包进一个值以省内存，并让美术直接绘制 $F_0$ 和 $\rho_{ss}$，再自动转换为金属度参数化作为压缩手段。缺点：无法表达 $F_0$ 带色的涂层电介质，金属与电介质交界处可能出瑕疵。
• 低 $F_0$ 关闭边缘增亮：除特殊增透膜外没有材质的 $F_0$ 低于 0.02，于是用低于 0.02 的值关闭凹洞区域的菲涅耳边缘增亮，代替单独的镜面遮蔽纹理（Schüler 提出，Unreal、Frostbite 使用）。

内反射与全内反射

• 内反射（$n_1>n_2$）发生在光从透明物体内部射到表面时。Snell 定律给出 $\theta_t>\theta_i$；当 $\theta_i$ 超过临界角 $\theta_c$ 时没有透射，全部反射，即全内反射。
• 菲涅耳方程对入射与透射方向对称，所以内反射曲线像"压缩"的外反射曲线：$F_0$ 相同，但在 $\theta_c$ 而非 90° 达到 1，平均反射率更高——这就是水下气泡呈现银亮外观的原因。
• 只有电介质有内反射（金属与半导体迅速吸收内部光）。电介质折射率为实数，临界角为： $\sin\theta_c=\frac{n_2}{n_1}=\frac{1-\sqrt{F_0}}{1+\sqrt{F_0}}$
• Schlick 近似对外反射正确；用于内反射时以透射角 $\theta_t$ 代替 $\theta_i$。若已计算透射方向 $\mathbf{t}$（例如渲染折射时）可直接使用，否则用 Snell 定律计算较贵且需要折射率。

GEA 的视角：折射、透射亮度与全内反射（卷 II 12.4.4、12.1.2）

• 光子遇到两种材质的边界时可以被反射（镜面的路径可预测，漫反射即散射的方向随机）、透射并折射，或被吸收（能量变成热）。吸收随波长不同，就产生了材质的表观颜色：白色物体反射所有波长，红色物体吸收红色以外的波长（卷 II 12.1.2.1）。
• 两种透光材质之间的边界叫界面 (interface)。界面上反射与折射的组合，GEA 统称为菲涅耳反射（卷 II 12.4.4）。
• 折射率 $n=c/v$；Snell 定律 $\dfrac{\sin\theta_i}{\sin\theta_t}=\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{n_2}{n_1}=n_{21}$，$n_{21}$ 为相对折射率。
• 假设无吸收，反射亮度与透射亮度为（卷 II 12.4.4）：

$L_r=\rho_F(\theta_i)\,L_i,\qquad L_t=\big(1-\rho_F(\theta_i)\big)\frac{\sin^2\theta_i}{\sin^2\theta_t}\,L_i$

正弦平方之比来自入射与透射光线的投影面积和立体角不同。本页上文的 RTR4 用 $F$ 与 $F_0$、Schlick 近似描述反射部分，GEA 写作 $\rho_F$ 且没有讨论 Schlick 近似。透射亮度的 $\sin^2$ 比值也就是 $(n_2/n_1)^2$，说明光进入光密介质时亮度会变大。

• 全内反射：入射角为 0 时不偏折；入射角增大偏折越来越明显；相对折射率够极端时会达到临界角 $\theta_c$，折射光平行于界面，超过它光就反射回源介质（卷 II 12.4.4.1）。与本页「内反射与全内反射」一节一致。

  原书问题（12.4.4.1）：GEA 说"相对折射率足够极端"才会出现临界角。全内反射的条件不是折射率差有多大，而是光从折射率较高的一侧射向较低的一侧（$n_1>n_2$）：此时只要 $n_1>n_2$ 就存在临界角 $\theta_c=\arcsin(n_2/n_1)$，入射角超过它即全反射；从光疏射向光密介质（$n_1<n_2$）时无论差多大都不会发生（Wikipedia "Total internal reflection"；Hecht《Optics》第 4.7 节）。另外 Snell 定律中正弦之比等于而非"正比于"速度之比。

• 进入参与介质的光子会被多次散射，偏折够大的会回到源介质，即次表面散射（卷 II 12.4.4.2，见 实时次表面散射）。在光线追踪里，菲涅耳反射通过额外发一条透射光线实现，见 随机光线追踪与路径追踪。

PBRT 的视角：精确菲涅耳方程、导体与电介质（PBRT 4e 9.3–9.5）

上文 RTR4 以 Schlick 近似和 $F_0$ 为主；PBRT 是离线光谱渲染器，直接计算完整的菲涅耳方程。

三类材料与折射率（9.3.1–9.3.2）

• 电介质（玻璃、水、空气）电子被束缚；导体（金属、石墨）电子可自由移动，能量迅速变热，约 0.1 μm 内全部吸收，pbrt 把金属当不透明；半导体（硅、锗）兼具两者，pbrt 不专门处理。
• 表 9.1 的可见光平均折射率：真空 1.0，海平面空气 1.00029，冰 1.31，20°C 水 1.333，熔融石英 1.46，玻璃 1.5–1.6，蓝宝石 1.77，钻石 2.42。折射率随波长变化（色散），pbrt 通过随机挑选单一波长再构造 DielectricBxDF 实现色散（见 光谱渲染）。

方向：反射与折射的向量形式（9.3.3–9.3.4）

• 反射：$\omega_r=-\omega_o+2(n\cdot\omega_o)n$（式 9.1）；局部坐标系中只需把 $x,y$ 取反。
• Snell：$\eta_i\sin\theta_i=\eta_t\sin\theta_t$；pbrt 统一使用相对折射率 $\eta=\eta_t/\eta_i$，Refract() 中的 eta 更具体地是内部相对外部（以法线为准）的比值，光从内部射出时函数自己翻转法线、取倒数，并通过 etap 返回沿光线的实际相对折射率。
• 折射方向：$\omega_t=-\omega_i/\eta+\big[(\omega_i\cdot n)/\eta-\cos\theta_t\big]n$（式 9.4），$\cos\theta_t=\sqrt{1-\sin^2\theta_i/\eta^2}$（式 9.5）；根号内为负即全内反射，临界角 $\theta_c=\arcsin(1/\eta)$。自行计算：空气–玻璃（1.5）为 41.8°，书中"约 42°"正确；水（1.333）为 48.6°，与 9.5.2 节一致。

多少：菲涅耳方程（9.3.5–9.3.6）

$r_\parallel=\frac{\eta\cos\theta_i-\cos\theta_t}{\eta\cos\theta_i+\cos\theta_t},\qquad r_\perp=\frac{\cos\theta_i-\eta\cos\theta_t}{\cos\theta_i+\eta\cos\theta_t},\qquad F_r=\tfrac12\big(r_\parallel^2+r_\perp^2\big)\quad(\text{式 9.7})$

• 振幅比平方得功率，再对两种偏振取平均（假设非偏振光）。FrDielectric() 与 Refract() 用同样的"必要时翻转界面"逻辑；全内反射时返回 1。
• 导体：折射率变成复数 $\eta-ik$，$k>0$ 为吸收系数。平面波 $E(z)=e^{-i\alpha\eta z}$ 代入复折射率后实部为 $e^{-\alpha kz}\cos(\alpha\eta z)$，随深度指数衰减（与 11.1 节体积吸收系数尺度完全不同，不要混淆）。FrComplex() 只是把 Float 换成 complex<Float>，norm() 取模平方；此时 $\cos\theta_t$ 有虚部，不再是透射角余弦。不同文献对 $k$ 的符号、$r_\parallel$ 的符号约定不同，只在模拟偏振时要紧。
• 和上文 RTR4 的关系：RTR4 用 $F_0$ 和 Schlick 近似（导体用 RGB $F_0$）；PBRT 用逐波长的 $(\eta,k)$ 光谱数据（如金，图 9.12），不使用 Schlick。两者不矛盾，是精度与成本的取舍；上文 GEA 的透射亮度 $\sin^2$ 比值也与下面的式 (9.12) 一致。

光滑导体与电介质 BxDF（9.4–9.5）

• 完美镜面 BRDF 必须除以 $|\cos\theta_r|$：$f_r=F_r(\omega_r)\,\delta(\omega_i-\omega_r)/|\cos\theta_r|$（式 9.9），否则代入散射方程会多出一个余弦。
• DielectricBxDF 以概率 $R/(R+T)$ 选反射、$T/(R+T)$ 选透射；此时 $f/p$ 中的 $R$ 或 $T$ 相消，所有样本贡献相同，菲涅耳项体现在反射与透射路径的比例上（图 9.15 与等概率选择相比误差明显降低）。$\eta=1$（折射率匹配）时只有透射。浮点误差可能让采样了透射却遇到全内反射，此时返回无效样本。
• 薄电介质 ThinDielectricBxDF（窗玻璃、保鲜膜）：两层互逆的平行界面，忽略侧向位移，把无穷次内反射求和： $R'=R+\frac{T^2R}{1-R^2},\qquad T'=1-R'\quad(\text{式 9.10})$ 透射方向就是 $-\omega_o$。自行化简：$T=1-R$ 时 $R'=\frac{2R}{1+R}$；$\eta=1.5$ 正入射时 $R=0.04$、$R'=0.0769$，接近两倍。

非对称散射与伴随 BSDF（9.5.2）

光进入光密介质时能量被压缩到更小的立体角（水下的 Snell 窗口），辐亮度必须增大： $L_o=L_i\,\frac{\eta_o^2}{\eta_i^2}\quad(\text{式 9.12})$ 因此 BTDF 不对称。光源出发的路径传输重要性 (importance)，此时要用伴随 BSDF $f^*(p,\omega_o,\omega_i)=f(p,\omega_i,\omega_o)$；TransportMode 告诉 BxDF 当前传输的是辐亮度还是重要性：传辐亮度时乘上式的缩放（代码中 ft /= Sqr(etap)），传重要性时不乘。双向算法若忽略这一点会得到错误结果。

原书问题（9.3–9.5，已解码网页 SVG）

• 图 9.6 图注写 $\omega_\perp=(\sin\theta)\mathbf n$（SVG 字形确认为粗体 $\mathbf n$）。垂直分量与 $\mathbf n$ 正交，只是长度为 $\sin\theta$；应为 $\omega_\perp=\omega-(\mathbf n\cdot\omega)\mathbf n$，$\|\omega_\perp\|=\sin\theta$（正文的公式正确）。
• 9.3.2 说空气–钻石界面"折射率差 2.42"、空气–玻璃"差约 1.5"。2.42 和 1.5 是比值（相对折射率），差分别是 1.42 和 0.5；反射强弱由比值决定（式 9.7 只含 $\eta$）。
• 式 (9.13) 写作 $\eta_o^2f_t(p,\omega_o,\omega_i)=\eta_i^2f_t(p,\omega_i,\omega_o)$，紧接着的伴随 BTDF 写作 $f_t(p,\omega_i,\omega_o)=\frac{\eta_i^2}{\eta_o^2}f_t(p,\omega_o,\omega_i)$。由式 (9.13) 解出的是 $f_t(p,\omega_i,\omega_o)=\frac{\eta_o^2}{\eta_i^2}f_t(p,\omega_o,\omega_i)$，两式互相矛盾。与 Veach（1997 博士论文第 5 章）的结论 $f_t(\omega_i\to\omega_o)/\eta_o^2=f_t(\omega_o\to\omega_i)/\eta_i^2$ 对照（pbrt 的 $f(p,\omega_o,\omega_i)$ 即 $f(\omega_i\to\omega_o)$），正确的是伴随式；式 (9.13) 应为 $\eta_i^2f_t(p,\omega_o,\omega_i)=\eta_o^2f_t(p,\omega_i,\omega_o)$，这样也与式 (9.12) 的 $\eta_o^2/\eta_i^2$ 缩放方向一致。pbr-book-website 与 pbrt-v4 的 issue 中未见此条。
• 9.3.5 写偏振方向垂直或平行于"place of incidence containing the incident direction and surface normal"，应为 plane of incidence（入射面）；属笔误。

LearnOpenGL 的视角：Schlick 与金属度 $F_0$（PBR / Theory）

来源：PBR Theory Fresnel 节。

F = F0 + (1-F0)*(1-cosθ)^5。电介质 $F_0≈0.04$；金属用 albedo 作 $F_0$：F0 = mix(vec3(0.04), albedo, metalness)。掠射角反射增强；与 Naty Hoffman 表中常见材质 $F_0$ 一致。完整导体/电介质方程见上文 PBRT 视角。