参数曲面与贝塞尔面片

参数曲面把参数曲线从一个参数推广到两个参数 $(u,v)$，由少量控制点定义，运行时细分成任意多个三角形，是质量与速度之间的天然权衡：三角形多则着色和轮廓更好。矩形定义域的是贝塞尔面片（张量积曲面），三角形定义域的是贝塞尔三角形，后者是 PN 三角形和 Phong 细分的基础。

为什么用参数曲面（17.2 节）

• 细分 (tessellation)：在若干参数位置求值并连成三角形逼近曲面，因为硬件擅长渲染三角形。
• 可以只动画控制点再细分，比直接动画大三角网格便宜。

贝塞尔面片（17.2.1 节）

• 从双线性插值出发：四点 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c},\mathbf{d}$， $\mathbf{p}(u,v)=(1-u)(1-v)\mathbf{a}+u(1-v)\mathbf{b}+(1-u)v\mathbf{c}+uv\mathbf{d}$ 与纹理双线性过滤同型，是最简单的非平面参数曲面；定义域为 $[0,1]\times[0,1]$ 的曲面称为面片 (patch)。
• $n$ 次面片有 $(n+1)^2$ 个控制点 $\mathbf{p}_{i,j}$，de Casteljau 推广为反复双线性插值；Bernstein 形式 $\mathbf{p}(u,v)=\sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n}B_i^m(u)B_j^n(v)\,\mathbf{p}_{i,j}$ 两方向次数可以不同（$m\times n$）。固定 $v$ 时它就是一条贝塞尔曲线。
• 性质：插值四个角控制点；每条边界是由边界控制点决定的 $n$ 次贝塞尔曲线，角点处的两条切线由边界曲线给出；位于控制点凸包内；先变换控制点再求值等价且更快；移动一个控制点主要影响其附近。
• 偏导数次数在求导方向降一： $\frac{\partial\mathbf{p}}{\partial u}=m\sum_{j=0}^{n}\sum_{i=0}^{m-1}B_i^{m-1}(u)B_j^n(v)[\mathbf{p}_{i+1,j}-\mathbf{p}_{i,j}]$ $v$ 方向同理；未归一化法线 $\mathbf{n}=\dfrac{\partial\mathbf{p}}{\partial u}\times\dfrac{\partial\mathbf{p}}{\partial v}$。
• 有理贝塞尔面片在分子分母中各加权重 $w_{i,j}$，增加自由度。

贝塞尔三角形（17.2.2 节）

• 三角形定义域反而比矩形复杂。$n$ 次三角形每边 $n+1$ 个控制点 $\mathbf{p}_{ijk}$（$i+j+k=n$），总数 $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$。
• 用重心坐标 $(u,v)$，$w=1-u-v$。de Casteljau： $\mathbf{p}^l_{i,j,k}=u\,\mathbf{p}^{l-1}_{i+1,j,k}+v\,\mathbf{p}^{l-1}_{i,j+1,k}+(1-u-v)\,\mathbf{p}^{l-1}_{i,j,k+1}$ Bernstein 形式 $\mathbf{p}(u,v)=\sum_{i+j+k=n}B^n_{ijk}(u,v)\mathbf{p}_{ijk}$，其中 $B^n_{ijk}(u,v)=\frac{n!}{i!\,j!\,k!}u^iv^j(1-u-v)^k$
• 插值三个角点，每条边界是贝塞尔曲线，位于凸包内。Unreal、Unity、Lumberyard 等引擎支持基于它的 Phong 细分和 PN 三角形。

面片拼接的连续性（17.2.3 节）

两个双三次面片（各 4×4 控制点 $a_{ij}$、$b_{ij}$）：

• $C^0$：共享边界控制点 $a_{3j}=b_{0j}$。
• $C^1$：对每个 $j$，$a_{2j}$、$b_{0j}$、$b_{1j}$ 共线，且比例相同 $\lVert a_{2j}-b_{0j}\rVert=k\lVert b_{0j}-b_{1j}\rVert$，$k$ 对所有 $j$ 相同。
• 四片共享一个角时，角点周围九个控制点必须共面并构成双线性面片；只要求角点处 $G^1$ 时共面即可，占用更少自由度。
• 取舍：$C^1$ 是跨边界纹理好看的必要条件；反射和着色有 $G^1$ 即可接受，$C^1$ 以上更好。由大量贝塞尔曲面构造复杂物体时很难保证所有边界的连续性，这是转向 细分曲线与细分曲面 的原因之一。

B 样条曲面（17.2.6 节）

$s^n(u,v)=\sum_k\sum_l c_{k,l}\,\beta^n(u-k)\,\beta^n(v-l)$ 双三次 B 样条面片需要 4×4 控制点，实际曲面位于最内侧 2×2 控制点之内。用于纹理过滤时它是高度场，$c_{k,l}$ 是一维高度。双三次 B 样条面片是 Catmull-Clark 细分曲面的基础。

GEA 的视角：场景几何的三种表示（卷 II 11.3.5）

• 广义表面：光的有趣行为大多发生在不同材质的边界上，包括实体表面和不同透光介质的界面，GEA 统称为广义表面，游戏开发者叫"场景几何"。场景可描述为一组表面加上每个表面所围子体积的材质；烟、雾这类没有明确边界的参与介质也能建模为有边界的体积，让材质属性在体积内变化（表面透明、越往里越浑浊）（卷 II 11.3.5，见 参与介质与体积散射）。
• 解析曲面：曲面是嵌入三维空间的二维流形，有时可解析表示，如球面 $(\mathbf{x}-\mathbf{c})\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{c})=r^2$。可渲染几何大多无法解析描述，但解析球和平面在引擎中用途很多：碰撞体、包围体、触发区，以及光线追踪引擎的简单测试用例（卷 II 11.3.5.1，见 几何图元的表示）。
• 参数曲面：影视行业常用由少量控制点定义的二维样条矩形面片表示曲面，包括贝塞尔曲面（如三次面片）、NURBS、贝塞尔三角形和 N-patch（法线面片）；GEA 把用面片建模比作用小块布或纸浆糊雕像（卷 II 11.3.5.2）。
• 细分曲面：Pixar 的 RenderMan 等高端影视渲染器用细分曲面定义形状，控制多边形可用 Catmull-Clark 算法不断细分，通常细分到每个多边形小于一个像素；最大好处是无论相机多近都能继续细分，轮廓边永远不会显得有棱角（见 细分曲线与细分曲面）。
• 游戏传统上用三角网格，原因见 三角形带、扇与索引网格 中的 GEA 部分。

PBRT 的视角：双线性面片与曲面微分几何（PBRT 4e 6.2、6.6）

双线性面片

四个顶点不必共面：$f(u,v)=(1-u)(1-v)\mathbf p_{00}+u(1-v)\mathbf p_{10}+(1-u)v\mathbf p_{01}+uv\mathbf p_{11}$（式 6.11）。固定 $u$ 或 $v$ 都得到直线，所以是双直纹曲面。它能表示平面四边形和简单的弯曲面，适合作为高阶参数曲面转换后可直接求交的目标形状。偏导数为 $\frac{\partial p}{\partial u}=(1-v)(\mathbf p_{10}-\mathbf p_{00})+v(\mathbf p_{11}-\mathbf p_{01}),\qquad\frac{\partial p}{\partial v}=(1-u)(\mathbf p_{01}-\mathbf p_{00})+u(\mathbf p_{11}-\mathbf p_{10})\quad(\text{式 6.13})$ 面积 $\int_0^1\!\int_0^1\|\partial_u p\times\partial_v p\|\,du\,dv$（式 6.12）一般没有闭式：矩形直接用边长乘积，否则用 3×3 点的黎曼和近似并缓存。IsRectangle() 依次检查相邻顶点重合、四点共面，以及四点到质心距离相等（用相对误差，与尺度无关）。法线方向锥取四角法线的平均方向和最大夹角。求交见 光线求交测试，采样见 形状采样。

法线的导数：Weingarten 方程

纹理抗锯齿需要知道法线随 $(u,v)$ 怎样变化。第一基本形式 $E=|\partial_u p|^2,\ F=\partial_u p\cdot\partial_v p,\ G=|\partial_v p|^2$，第二基本形式 $e=\mathbf n\cdot\partial_{uu}p,\ f=\mathbf n\cdot\partial_{uv}p,\ g=\mathbf n\cdot\partial_{vv}p$，则 $\frac{\partial\mathbf n}{\partial u}=\frac{fF-eG}{EG-F^2}\frac{\partial p}{\partial u}+\frac{eF-fE}{EG-F^2}\frac{\partial p}{\partial v},\qquad\frac{\partial\mathbf n}{\partial v}=\frac{gF-fG}{EG-F^2}\frac{\partial p}{\partial u}+\frac{fF-gE}{EG-F^2}\frac{\partial p}{\partial v}$ $EG-F^2$ 用 DifferenceOfProducts() 计算以提高精度，为 0 时要避免除零产生 NaN。双线性面片只有 $\partial_{uv}p$ 非零；三角形和圆盘法线导数为 0。参考 Gray (1993) 14.3 节。

旋转曲面的面积

曲线 $y=f(x)$ 绕轴旋转 $\phi_{max}$ 角得到的曲面面积为 $\phi_{max}\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$。对球 $f(z)=\sqrt{r^2-z^2}$，被积函数化简为常数 $r$，于是部分球面积 $A=\phi_{max}r(z_{max}-z_{min})$，完整球为 $4\pi r^2$；圆柱 $A=(z_{max}-z_{min})r\phi_{max}$，圆盘（圆环）$A=\frac{\phi_{max}}2(r^2-r_i^2)$。

纹理坐标与参数坐标分离

双线性面片若带每顶点纹理坐标 $(s,t)$，就要把 $\partial p/\partial u$ 换成 $\partial p/\partial s=\frac{\partial p}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial p}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial s}$ 等；纹理映射退化时保留原偏导（至少叉积给出正确法线），并保证新法线与原法线同侧。