面光源

点光源近似的误差

• 点/方向光的近似：$L_o(v)=\int_{l\in\omega_l} f(l,v)L_l(n\cdot l)^+dl \approx \pi f(l_c,v)c_{light}(n\cdot l_c)^+$。零立体角意味着无穷大辐亮度，物理上不可实现。
• 误差取决于两点：光源从着色点看去的立体角大小，以及表面的光泽程度。决定因素是光源发射角相对 BRDF 高光立体角的大小；小光源、粗糙表面误差小。
• 面光源高光可以用点光源加大粗糙度来模仿，这解释了为什么只用点光源的系统也能"看起来对"——美术在补偿误差。但这样把材质和特定灯光耦合在一起，换了灯光场景内容就不对了。
• 计算了面光源也应相应使用软阴影，否则硬阴影会抵消部分效果；漏光会产生明显瑕疵。

Lambert 表面：矢量辐照度

对 Lambert 表面 $L_o=\frac{\rho_{ss}}{\pi}E$，只需算辐照度。Gershun 提出、Arvo 推广的矢量辐照度：

$\mathbf{e}(p)=\int_{l\in\Theta} L_i(p,l)\,l\,dl$

平面净辐照度 $E(p,n)-E(p,-n)=n\cdot\mathbf{e}(p)$。若光源没有任何部分处于表面"地平线以下"，则 $E(p,n)=n\cdot\mathbf{e}$，任意形状面光源可无误差地转换为方向光：$l_c=\mathbf{e}/\|\mathbf{e}\|$，$c_{light}=c'\|\mathbf{e}\|/\pi$（$c'$ 为可分离出的颜色）。

• 球形光源（半径 $r_l$、中心 $p_l$、均匀辐亮度 $L_l$）：$l_c=\frac{p_l-p}{\|p_l-p\|}$，$c_{light}=\left(\frac{r_l}{\|p_l-p\|}\right)^2L_l$，即标准平方反比衰减。但不是所有形状都如此，圆盘光的衰减正比于 $1/(d^2+1)$。
• 对 Lambert 表面，面光源与点光源的全部差异都来自遮挡（地平线裁剪）。Snyder 给出考虑遮挡的球光源解析式，只依赖 $r/r_l$ 与 $\theta_i$，可预计算为二维纹理。

包裹光照 (Wrap Lighting)

在钳制前修改 $n\cdot l$，不太物理但有效：

• Forsyth：$E=\pi c_{light}\left(\frac{(n\cdot l)+k_{wrap}}{1+k_{wrap}}\right)^+$，$k_{wrap}$ 从 0（点光）到 1（覆盖整个半球）。
• Valve：$E=\pi c_{light}\left(\frac{(n\cdot l)+1}{2}\right)^2$。

光泽表面

光泽表面的主要视觉效果是高光：形状近似光源，边缘按粗糙度模糊。早期经验做法如给高光加阈值形成平顶高光。主流思路是为每个着色点找一个等效点光源设置，只改着色输入，不改着色数学，代码改动局部、在一定条件下退化为原始着色。

Karis 球光代表点：反射线上离球心 $l$ 最近点 $p_{cr}=(l\cdot r)r-l$，球面上离它最近的点 $p_{cs}=l+p_{cr}\cdot\min(1,\frac{radius}{\|p_{cr}\|})$。

代表点方法的理论依据是积分中值定理 $\int_D f(x)dx=f(c)\int_D 1$，也类似蒙特卡洛的重要性采样。反射向量落在光源锥外时等同点光源；落在锥内时代表点连续移动，相当于把高光峰"拉宽"。

其他光源形状

• 球光只适合较小的真实灯具，但它是打破"灯光与粗糙度错误耦合"的最简单手段。
• 管状光 / 胶囊光（荧光灯管）：Picott 给出 Lambert 闭式解，等价于线段两端两个点光源配合适当衰减；Phong 高光用线段上与反射向量夹角最小的点做代表点，再用球光近似"加粗"成胶囊。Karis 改用离反射向量最近的点并加能量缩放。
• 平面面光源（矩形即 card light、圆盘、多边形）：可表示广告牌、电视屏、柔光箱、反光板、墙面反射等。Drobot 的代表点：Lambert 被积函数的 $(n\cdot l)^+$ 最大点 $p_c$ 和 $1/r_l^2$ 最大点 $p_r$ 之间取 $p_{max}=t_mp_c+(1-t_m)p_r$，$t_m$ 由数值积分拟合一个平均值；还支持带纹理的面光，用按不同半径圆形足迹预积分的三维查找表。
• 多边形光：Lambert 推出漫反射精确闭式解；Arvo 用辐照度张量与斯托克斯定理把面积分变为边界积分，支持 Phong 瓣，但每条边的开销与 Phong 指数成线性；Lecocq 给出 O(1) 近似并推广到半向量 BRDF。

线性变换余弦 (LTC)

Heitz 等：用 $3\times3$ 矩阵对余弦瓣做缩放、拉伸、倾斜，可表达多种球面形状。余弦瓣对球面多边形的积分早有闭式解；用矩阵的逆变换多边形域即可抵消矩阵，复杂度不变。离线把 BRDF 拟合成 LTC，按粗糙度、入射角等制表。支持带纹理多边形光以及更便宜的矩形、圆盘、线光。比代表点更贵，但准确得多。

flowchart LR
  A["LTC 瓣 + 球面多边形"] -->|"乘以矩阵逆"| B["余弦瓣 + 变换后多边形"]
  B --> C["闭式积分"]
  C --> D["等于原 LTC 在原多边形上的积分"]

上图表示 LTC 的核心：把积分域一起逆变换后，被积函数回到普通余弦瓣。

误差来源

• 真实灯具很少是均匀发光体：遮光片（gobo、cookie）、蜂窝格栅、反射镜系统会产生强方向性并形成远离物理中心的虚拟发光体，衰减计算应考虑这一偏移。
• 现有实时阴影技术都不能准确考虑光源形状：阴影只是乘一个标量，而正确做法应在与 BRDF 积分时计入遮挡。
• 多种光照表示混用时，不同表示之间的结果一致性可能比各自的绝对误差更重要；误差应在感知、面向结果的框架下评估。
• IES 灯光文件只描述角度发射分布，不建模光学系统对衰减的影响，也不描述光源表面上的发射。

PBRT 的视角：把形状当作面光源来采样（PBRT 4e 第 6 章）

在 pbrt 中，面光源就是给 Shape 附上发光分布，所以每种形状必须提供 Area() 和两套 Sample()/PDF()：一套按面积，一套按参考点的立体角。默认只在法线所在一侧发光，ReverseOrientation 可以翻转；形状的 NormalBounds() 方向锥可以快速判断某个发光形状照不到某点。PBRT 的结论是：近处的大光源值得按立体角采样（球用锥内均匀采样，三角形用球面三角形采样，矩形用球面矩形采样，再用双线性 warp 近似 $\cos\theta$ 因子）；圆柱、圆盘和一般双线性面片只做面积采样再换算 PDF；曲线不能当光源。公式和推导见 形状采样。上文实时渲染中的 LTC 等方法是解析地积分，PBRT 是用蒙特卡洛估计，二者目标相同、做法不同。

PBRT 的视角：DiffuseAreaLight（PBRT 4e 12.4）

• 面光源 = 形状 + 表面每点的方向分布；DiffuseAreaLight 的方向分布是均匀的（朗伯发射）。代价是积分通常没有闭式，要用蒙特卡洛，换来软阴影和更柔和的高光（书中图 12.15：圆盘越大，半影越宽，龙身上的高光越弱）。
• 默认只在外法线一侧发光，可用翻转变换或 ReverseOrientation 改到另一侧，twoSided 双面发光。若形状有 alpha 纹理，被抠掉的部分不发光（用随机 alpha 测试判断）。原书脚注：pbrt 还"勉强"支持一个非物理技巧——给面光源一张全零 alpha 纹理，得到不可见光源（光线永远打不到它）；构造函数把这种光源归为 LightType::DeltaPosition，使积分器只通过光源采样计入它，而不指望 BSDF 采样命中。
• 发光可以是常数光谱 Lemit，也可以是图像（查询时 $v$ 翻转，与图像纹理约定一致），再乘 scale。
• SampleLi() 直接调用 Shape::Sample(ctx, u)，它已返回相对接收点立体角的 PDF（见 形状采样）；采样点被 alpha 抠掉或亮度为 0 则返回无效样本，省一条阴影光线。图像发光时只按形状采样不理想，pbrt 只让 BilinearPatch 额外接受一张采样用图像（需在场景里重复指定，作者承认不优雅）。
• 功率 $\Phi=\pi AL$（双面再乘 2）；图像发光取平均值，忽略 alpha 和 $(u,v)$ 参数化畸变，因此可能有误差。
• 与本页上文的关系：上文 RTR4 方法是在着色时解析近似面光源积分（矢量辐照度、LTC、代表点）；pbrt 用采样 + 阴影光线无偏地求积分，可见性自动正确，代价是噪声。延伸阅读中 Peters 2021a 用 LTC 做线光源的 BRDF 乘积采样，把两条路线接了起来。多光源时如何选面光源见 多光源采样与光源 BVH。