辐射度量学与光度学

辐射度量学精确度量电磁辐射，是基于物理渲染的第一步；光度学用人眼灵敏度对它加权。渲染中最重要的量是辐射亮度 $L$：眼睛和相机测的就是它，着色方程要算的也是沿视线的辐射亮度。

可见光

电磁波波长范围极广，从小于百分之一纳米的伽马射线到数万公里长的极低频无线电波；人眼可见的只是很小一段，约 400 nm（紫）到略超 700 nm（红）。

辐射度量

• 立体角 $\omega$：三维中一组连续方向的大小，等于它在半径为 1 的球面上截出的面积，单位球面度 (sr)；整个球面为 $4\pi$ sr。
• 辐照度的面积可以是空间中假想的面，但通常是物体表面。
• 辐射亮度描述单条光线；其面积在垂直于光线的平面上度量，应用到其他朝向的表面时要乘余弦修正（即"投影面积"）。
• 物理意义上，辐射亮度 $L$ 对应第 5 章的 $\mathbf{c}_{\text{shaded}}$。
• 辐射亮度分布：环境中的辐射亮度是 5 个变量（含波长为 6 个）的函数，3 个表示位置、2 个表示方向，描述空间中所有光。渲染可看作在眼睛处对每个像素方向求值；基于图像的渲染使用相关的光场概念。
• 记号 $L_o(\mathbf{x},\mathbf{d})$、$L_i(\mathbf{x},\mathbf{d})$ 表示离开/进入点 $\mathbf{x}$ 的辐射亮度；约定 $\mathbf{d}$ 始终背离 $\mathbf{x}$，对 $L_i$ 来说与光传播方向相反，但便于点积计算。
• 辐射亮度不随距离变化（忽略雾等大气效应）：远处表面覆盖的像素更少，但每个像素的辐射亮度不变。

光谱

• 多数光含多种波长，用光谱功率分布 (SPD) 表示能量如何分布在各波长上。书中例子：RGB 激光投影显示的中性白（三根窄峰）与 D65 标准光源（连续光谱）SPD 截然不同，但看起来颜色相同——人眼是很差的光谱仪。
• 所有辐射量都有光谱分布，单位为原单位除以纳米（如光谱辐照度 W/(m²·nm)）。
• 完整 SPD 太笨重，实践中用 RGB 三元组表示。

光度学

• 与辐射度量学理论完全相同，只是乘以 CIE 明视觉光谱光效率曲线（以 555 nm 为中心的钟形曲线），单位不同。
• 明视觉指亮于 3.4 cd/m²（黄昏或更亮），视锥细胞工作；暗视觉曲线以 507 nm 为中心，用于暗适应到低于 0.034 cd/m²（无月夜晚），视杆细胞工作。

• 逻辑上流明应为基本单位，但历史上以坎德拉为基本单位。北美照明设计用已弃用的英尺烛光 (fc)。照度是多数测光表测量的量。
• 亮度常描述平面的明亮程度。参考值：HDR 电视峰值约 500–1000 nit；晴空约 8000 nit；60 W 灯泡约 120,000 nit；地平线上的太阳 600,000 nit。

GEA 的视角：光的能量与功率（卷 II 11.2.1、11.2.2.1、11.2.3.1–11.2.3.4）

• 能量与功率：光子能施加力、做功，所以光携带能量，单位焦耳。光学中 $E$ 被辐照度占用，所以光的能量记作 $Q$。辐射功率 $\Phi=dQ/dt$，单位瓦特，例如灯泡每秒发出 60 焦耳光能即 60 W（卷 II 11.2.3.1）。
• 辐射度量与光度量的记号：GEA 用下标小写 v（"as visually perceived"）表示光度量，如光通量 $\Phi_v$，以区别于辐射度量 $\Phi$；注意不要与观察空间基向量的大写 V 下标混淆。
• 术语分歧：GEA 认为"辐射通量 (radiant flux)"这个常见叫法容易误导，因为"通量"通常指单位面积上的流量，而辐射功率并不是单位面积的量，所以书中坚持用"辐射功率"（卷 II 11.2.3.1）。本页和多数图形学教材（包括 RTR4）使用"辐射通量"，这里并列记录。
• 光通量：对 SPD 乘以亮度响应曲线 $V(\lambda)$ 积分，再乘常数 683 换算成流明：

$\Phi_v = 683\int_{380\,\text{nm}}^{750\,\text{nm}} P(\lambda)\,V(\lambda)\,d\lambda$

流明的定义使 555 nm 处（$V(\lambda)$ 最大值 1.0）每瓦对应 683 流明。人眼觉得光谱中段（绿、黄）比两端（红、蓝）亮得多，光通量就是对这种感知差异的修正（卷 II 11.2.3.4）。

• 辐亮度的直观含义：眼睛和相机传感器响应的物理量是辐亮度 (radiance)，可以想象成沿一根无限细的光线（数学上的射线）传播的光功率，也就是沿某一特定方向穿过空间的功率；GEA 也把它称为"让物体呈现外观的物理量"，严格推导留到第 12 章（卷 II 11.2.2.1）。
• 可见光谱：光是电磁辐射，具有波粒二象性；频率 $\nu$ 与波长 $\lambda$ 满足 $\nu=c/\lambda$。可见光谱中红光频率最低、波长最长，紫光相反；低于红光的是红外，高于紫光的是紫外（卷 II 11.2.1）。

GEA 的视角：辐射通量密度、立体角与辐射亮度（卷 II 12.2、12.3.4）

GEA 第 12 章从几何光学出发，把本页的辐射度量量重新推导了一遍，侧重"每个量是谁的导数"。

光学理论的层次与光传输模型

• 光的理论按复杂度依次是几何光学（光线或粒子流）、波动光学（加上衍射、干涉）、电磁光学（加上偏振）和量子光学（加上荧光、磷光），后者依次包含前者。3D 图形学主要只用几何光学，其中包括光传输物理、透镜光学、辐射度量学，以及按人眼感知调整后的光度学（卷 II 12.2）。
• 光在非参与介质中直线传播，所以可以把光子的路径切成连接表面点的直线"段"，只在表面点上做光照计算：已知来自各方向的入射功率，求某个方向的出射功率（卷 II 12.2.1）。

表面点模型

连续表面放大到足够小总是平面，所以一个表面点可以用位置 $\mathbf{x}_0$ 和单位法线 $\mathbf{n}$ 描述；再加上互相垂直的切线 $\mathbf{t}$ 和副切线 $\mathbf{b}$（有时被误称为 binormal）就构成切线空间。以该点为中心的单位球，上半球朝向透光介质，下半球在不透明材质内部；折射和次表面散射时下半球也有用。光线方向可以写成笛卡尔单位向量 $\mathbf{u}$，也可以写成球坐标 $\Theta=(\theta,\phi)$，GEA 采用物理约定：$\theta$ 为偏离法线的极角，$\phi$ 为绕法线的方位角（卷 II 12.2.2–12.2.3）。

辐射通量密度与坡印廷矢量

• 光的传播方向垂直于电场和磁场，用坡印廷矢量 $\mathbf{S}=\frac{1}{\mu_0}\mathbf{E}\times\mathbf{B}$ 描述，其模长就是辐射通量密度（单位面积功率，W/m²），可写成导数 $S=d\Phi/dA$（卷 II 12.2.4）。
• GEA 指出 "radiant flux" 常被当作辐射功率的同义词（单位 W），而物理里 flux 一般指单位面积的流量，容易混淆，所以书中完全不用 "radiant flux" 一词，只说辐射功率和辐射通量密度。本页上文沿用 RTR4 的"辐射通量 (radiant flux)＝功率"用法，两种叫法所指相同，只是 GEA 刻意回避这个词。
• 通量密度可看成向量场 $\mathbf{S}(\mathbf{x})$，但日常光线来自四面八方，一点上并没有唯一的方向。几何光学的做法是把光拆成来自特定光源的独立光线，每条光线对应唯一的坡印廷矢量和明确的通量密度场，分别求功率再相加；GEA 认为这种可分离性正是光线追踪成立的原因（卷 II 12.2.4.2）。由通量密度反求功率是面积分 $\Phi=\int_A S\,dA$，如点光源总功率可在包围它的球面上积分（卷 II 12.2.4.1）。
• 斜射时要把面积元投影到传播方向：$\Phi=\int_A \mathbf{S}\cdot d\mathbf{A}=\int_A S\cos\theta\,dA$，其中 $dA_\perp=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{u})\,dA$。
• 入射时叫辐照度 $E$，出射时叫辐射出射度 $M$，漫反射语境下也叫辐射度 (radiosity) $B$；公式完全相同，只是语境不同。点光源的通量密度 $S=\Phi/(4\pi r^2)$，按平方反比衰减（卷 II 12.2.4.4–12.2.4.5）。

立体角与辐射亮度

• 立体角 $\omega=A/r^2$，单位球面度 (sr)，整个球面为 $4\pi$ sr；直观上就是物体的"视大小"。GEA 举的例子：日全食能看到日冕环，是因为月亮与太阳在地球上所张的立体角几乎相等（卷 II 12.2.5.1）。
• 辐射亮度是单位立体角的辐射出射度，也是功率的二阶导数：

$L=\frac{d^2\Phi}{dA_\perp\,d\omega_\Theta}=\frac{d^2\Phi}{\cos\theta\,dA\,d\omega_\Theta}\quad(\text{W·m}^{-2}\text{·sr}^{-1})$

它是五个自变量的函数，GEA 用 $L(\mathbf{x}\leftarrow\Theta)$ 表示入射、$L(\mathbf{x}\to\Theta)$ 表示出射、$L(\mathbf{x}_1\to\mathbf{x}_2)$ 表示两点间传输（卷 II 12.2.5.2）。

• 由辐射亮度积分回其他量：$E(\mathbf{x})=\int_\Omega L(\mathbf{x}\leftarrow\Theta)\cos\theta\,d\omega_\Theta$，球坐标下 $d\omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$。余弦项既可以看成属于面积元（投影面积），也可以看成属于立体角元（投影立体角），但一定要出现（卷 II 12.2.5.4）。
• 文献中的记号五花八门：$d\omega$、$d\Omega$、$d\vec\omega$、$dl$ 等。GEA 提醒，把立体角或面积微元写成向量时，应理解为"趋于零的标量乘一个长度始终为 1 的方向向量"（卷 II 12.2.5.3）。

辐射亮度的不变性与互易性

辐射亮度在真空或完全透明介质中沿直线不变，不随距离衰减（与通量密度不同），这就是为什么苹果拿在手里和放在厨房另一头看起来一样亮（光照均匀时）；有雾等参与介质时不成立。不变性来自能量守恒，完整证明 GEA 指向 Dutré 等的书第 2.3.3 节。不变性还意味着反转光线方向不改变辐射亮度，GEA 称之为 Helmholtz 互易性并写作 $L(\mathbf{x}_1\to\mathbf{x}_2)=L(\mathbf{x}_1\leftarrow\mathbf{x}_2)$（记号与命名问题见下方"GEA 原书中的问题"表），这是反向光线追踪成立的依据（卷 II 12.2.5.5，见 随机光线追踪与路径追踪）。

辐射强度与光度学对照

• 辐射强度 $I=d\Phi/d\omega$（W/sr），主要用来描述光源在某一方向发出的功率（卷 II 12.2.6）。
• GEA 的表 12.1 与本页的对照表一致：功率 W ↔ 光通量 lm，辐照度 ↔ 照度 lm·m⁻²，辐射出射度 ↔ 光出射度，辐射强度 ↔ 发光强度 lm·sr⁻¹，辐射亮度 ↔ 亮度 lm·m⁻²·sr⁻¹。渲染方程算的是辐射亮度，但渲染引擎实际算的是亮度，只要输入、输出和中间量都用基于流明的单位，数学完全一样（卷 II 12.3.4）。

GEA 原书中的问题

PBRT 的视角：辐射度量、辐射度量积分与光的发射（PBRT 4e 4.1、4.2、4.4）

几何光学的五条假设（4.1）

辐射度量学最初并非从光的物理推出，而是建立在"粒子流过空间"的抽象上，后来才与麦克斯韦方程联系起来。pbrt 隐含地假设：线性（两个输入的效果等于各自效果之和）、能量守恒（散射不会产生能量）、无偏振（只关心按波长的分布）、无荧光/磷光（各波长、各时刻相互独立）、稳态（辐亮度分布不随时间变化）。代价是无法处理衍射与干涉；可以用 Wigner 分布函数替代辐亮度绕开，但超出本书范围。这与 GEA 的"几何光学 ⊂ 波动 ⊂ 电磁 ⊂ 量子光学"层次划分一致（上文 GEA 小节）。

基本量（4.1.1）

四个核心量都由能量对时间、面积、方向逐次取极限得到：

• 能量：单个光子 $Q=hc/\lambda$。
• 通量（功率） $\Phi=dQ/dt$，单位 W。例：一小时匀速发出 200,000 J，$\Phi=200000/3600\approx55.6$ W。点光源外两个同心球面上测到的总通量相同。PBRT 直接称"radiant flux, also known as power"，与 RTR4 一致；GEA 刻意不用 flux 一词（见上文）。
• 辐照度 / 辐射出射度 $E,M=d\Phi/dA$（W/m²）；各向同性点光源 $E=\Phi/(4\pi r^2)$，即平方反比衰减。Lambert 定律的来源：光以角度 $\theta$ 斜射时受照面积约为 $A/\cos\theta$，所以 $E_2=\Phi\cos\theta/A$。
• 强度 $I=d\Phi/d\omega$（W/sr），整个球面 $I=\Phi/4\pi$；只对点光源有意义。
• 辐亮度 $L=\dfrac{d^2\Phi}{d\omega\,dA^\perp}$（式 4.3），$dA^\perp$ 是 $dA$ 在垂直于 $\omega$ 的面上的投影；换测量面积就是为了在定义里消掉 Lambert 定律的 $\cos\theta$。辐亮度是最基本的量（其他量都是它的积分），并且在真空中沿光线不变，天然适合光线追踪。

入射与出射辐亮度（4.1.2）

辐亮度在表面上不连续（镜面上下两侧可以毫不相关），所以先定义单侧极限 $L^\pm(p,\omega)=\lim_{t\to0^\pm}L(p+t\mathbf n_p,\omega)$（式 4.4），再用 $L_i$、$L_o$ 消除歧义：

$L_i(p,\omega)=\begin{cases}L^+(p,-\omega)&\omega\cdot\mathbf n_p>0\\L^-(p,-\omega)&\omega\cdot\mathbf n_p<0\end{cases},\qquad L_o(p,\omega)=\begin{cases}L^+(p,\omega)&\omega\cdot\mathbf n_p>0\\L^-(p,\omega)&\omega\cdot\mathbf n_p<0\end{cases}$

两者的 $\omega$ 都背离 $p$，与 RTR4 的约定相同；PBRT 提醒有些作者让 $L_i$ 的方向指向 $p$。自由空间里 $L_o(p,\omega)=L_i(p,-\omega)=L(p,\omega)$。

光谱量与光度学（4.1.3–4.1.4）

• 光谱辐亮度 $L_\lambda=dL/d\lambda$，$L=\int_{\lambda_0}^{\lambda_1}L_\lambda\,d\lambda$（式 4.5），单位多一个 1/m。pbrt 代码里的可见波长范围常量是 Lambda_min = 360、Lambda_max = 830（nm，4.5 节；CIE 匹配曲线的表格范围），用于均匀波长采样、DenselySampledSpectrum（1 nm 间隔，471 个值）等（RTR4 写的是约 400 到略超 700 nm，那是"人眼明显可见"的近似范围，与 pbrt 取表格全范围的做法不同）。
• 亮度 $Y=\int L_\lambda(\lambda)V(\lambda)\,d\lambda$（式 4.6），单位 cd/m²（nit）。表 4.1 的代表值：地平线上的太阳 600,000、60 W 灯泡 120,000、晴空 8,000、办公室 100–1,000、电脑显示器 1–100、路灯 1–10、多云月夜 0.25（前三项与 RTR4 相同）。
• 表 4.2 与本页对照表一致，另给出光能量单位 talbot (T)，以及 lm/(m²·sr) = cd/m² = nit。

辐射度量积分的三种换元（4.2）

辐照度 $E(p,\mathbf n)=\int_\Omega L_i(p,\omega)|\cos\theta|\,d\omega$（式 4.7），三种常用改写：

1. 投影立体角 $d\omega^\perp=|\cos\theta|\,d\omega$：$E=\int_{H^2}L_i\,d\omega^\perp$，就是把物体投到单位球再压到垂直于法线的单位圆盘上量面积。PBRT 全书仍用立体角写积分，提醒读别的资料时要看清测度。
2. 球坐标 $d\omega=\sin\theta\,d\theta\,d\phi$（式 4.8，也可由 2.4.1 的雅可比得到）：$E=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2}L_i\cos\theta\sin\theta\,d\theta\,d\phi$；各方向 $L_i$ 相同时 $E=\pi L_i$。
3. 面积 $d\omega=\dfrac{dA\cos\theta}{r^2}$（式 4.9，$\theta$ 是 $dA$ 法线与指向 $p$ 的向量的夹角）：四边形面光源的辐照度 $E=\int_A L\cos\theta_i\dfrac{\cos\theta_o\,dA}{r^2}$。对面光源，按方向判断可见性很难，按面积积分容易得多，这也是光源采样按面积进行的原因（见 面光源）。

光的发射（4.4）

• 灯 (lamp) 装在灯具 (luminaire) 里；PBRT 把 illuminant 一词留给"发射光谱分布"。白炽灯、卤素灯（卤素气体让蒸发的钨回到灯丝，延长寿命、灯泡不发黑）、气体放电灯（特定原子谱线 + 荧光涂层展宽）、LED（电致发光）的共同机制都是电子被激发到高能级后回落放出光子。
• 光视效能 (Luminous Efficacy) $=\int\Phi_e V\,d\lambda\big/\int\Phi_i\,d\lambda$（lm/W）；白炽灯约 15 lm/W，上限 683 lm/W（全部能量在 555 nm）。
• 黑体：完美吸收者也是完美发射者。普朗克定律

$L_e(\lambda,T)=\frac{2hc^2}{\lambda^5\left(e^{hc/\lambda k_bT}-1\right)}\quad(\text{式 4.17})$

黑体是完美漫射体。pbrt 的 Blackbody() 以 nm 为输入，先乘 $10^{-9}$ 换成米。

• 基尔霍夫定律：非黑体 $L'_e(T,\omega,\lambda)=L_e(T,\lambda)\,(1-\rho_{hd}(\omega))$（式 4.18）。
• 斯特藩-玻尔兹曼定律 $M=\sigma T^4$（式 4.19）：温度加倍，总发射变为 16 倍。
• 维恩位移定律 $\lambda_{\max}=b/T$（式 4.20，$b=2.8977721\times10^{-3}$ m·K）。本页数值复核：2700 K 峰值 1073 nm（在红外，所以白炽灯大部分能量变成热），5000 K 为 580 nm，6504 K 为 446 nm，与对普朗克公式数值求极大值的结果一致到 $10^{-6}$。
• 色温：白炽灯约 2700 K、卤素灯约 3000 K、荧光灯 2700–6500 K；5000 K 以上称"冷"，2700–3000 K 称"暖"。
• CIE 标准光源：A（白炽灯，约 2856 K 黑体；原定义 2850 K，普朗克常数修订后为保持光源不变改用 1931 年常数表述）；B、C 已弃用；E 为等能光谱，只作比较；D 系列是日光，用特征向量分析表示成一个固定项加两个加权项（分别对应云量的黄-蓝变化与水汽的粉-绿变化），D65 约 6504 K（同样因常数修订不是 6500 K），CIE 建议无特殊理由时用它表示日光；F 系列是荧光灯实测（如 F4、F9，尖峰是气体原子谱线）。

原书问题（PBRT 第 4 章 4.1、4.4）