球面函数基

为什么需要、要什么

• 常数环境光 $L_A$：Lambert 表面贡献 $\rho_{ss}L_A$；任意 BRDF 为 $L_AR(v)$（方向反照率）。老程序用常数"环境色" $c_{amb}$。不考虑遮挡时环境光非常平。
• 假设光照环境无限远，辐亮度只随方向变化。Lambert 表面可存预计算的辐照度（辐亮度与余弦瓣卷积）；更复杂的做法存辐亮度、运行时与 BRDF 积分。
• 理想性质：编码/解码高效；少量系数、低误差；旋转不变（先旋转再投影 = 先投影再旋转）；和与积易算；球面积分与卷积易算。

表格形式

• 选若干方向存值，插值重建，加乘直接对表项做，加样本可任意降低误差。通常把球面展开成矩形用纹理存，借用硬件双线性过滤（即环境贴图）。
• 缺点：低分辨率时硬件过滤质量差；卷积代价正比于样本数；投影不旋转不变，物体旋转时编码能量变化，表现为脉动瑕疵。通常用足够密的采样掩盖。适合高频函数。
• 环境立方体 (Ambient Cube, AC)：沿主轴的 6 个平方余弦瓣，$F_{AC}(d)=d^2\cdot sel_+(c_+,c_-,d)$，任意方向只需取 3 个值。相当于每面 1 纹素的立方体贴图，软件重建可能比硬件更快。质量低；存 8 个顶点值稍好。Ambient Dice（Iwanicki & Sloan）用二十面体顶点上的平方与四次方余弦瓣，取 12 个中的 6 个，质量高得多。

球面基

• 最简单是常数（DC 分量，球面平均）；两系数的 $F_{hemi}=a+\frac{\cos\theta+1}{2}(b-a)$ 可在两极取精确值，但不旋转不变。
• 球面径向基函数 (SRBF)：只依赖与轴夹角的径向对称瓣。若方向也参与优化，投影需非线性全局优化，所以通常固定方向均匀分布，只拟合幅度或宽度。

球面高斯 (SG)

$G(v,d,\lambda)=e^{\lambda(v\cdot d-1)}$，$d$ 为轴，$\lambda\ge0$ 为锐度（即 von Mises-Fisher 分布去掉归一化常数）。线性组合 $F_G(v)=\sum_k w_kG(v,d_k,\lambda_k)$。

• 若方向和锐度都可变，需 Levenberg-Marquardt 之类非线性最小二乘，且不再是"基"；固定瓣、只拟合权重则成为普通最小二乘，也便于在多组数据间插值。
• 两个 SG 的积仍是 SG：$d'=\frac{\lambda_1d_1+\lambda_2d_2}{\lambda_1+\lambda_2}$，$\lambda'=(\lambda_1+\lambda_2)\|d'\|$，轴为 $d'/\|d'\|$；球面积分 $\int_\Omega G=\frac{2\pi}{\lambda}(1-e^{-2\lambda})$。因此把光照和 BRDF 都表示成 SG 即可解析积分。
• 各向异性球面高斯 (ASG)（Xu 等）：$G=S(v,d)e^{-\lambda(v\cdot t)^2-\mu(v\cdot b)^2}$，$S=(v\cdot d)^+$。
• 缺点：全局支撑，N 个瓣重建时都要算。

球谐函数 (SH)

• 正交且标准正交的基，投影系数就是与基函数的内积 $k_j=\langle f,f_j\rangle$，通常用蒙特卡洛数值计算。有限个基函数永远无法完全表示无限维函数空间。
• 优点：旋转不变；基函数是单位向量 x/y/z 的简单多项式，求值便宜。全局支撑。
• 按频带排列：第 0 带 1 个常数，第 1 带 3 个线性，第 2 带 5 个二次。辐照度这类低频函数少量系数即可。
• 频域性质：两函数乘积的积分 = 系数的点积。乘积、旋转、卷积都是对系数向量的矩阵变换，代价与系数数平方成正比；旋转加速有 Kautz（分解为绕 x、z 轴）、Hable、Green（利用块结构），目前最好的是 Nowrouzezahrai 的带谐分解。
• 振铃 (Gibbs 现象)：信号有快速变化时带限近似会振荡，甚至出现负值，需预滤波（加窗）。

其他

LTC 可高效逼近 BRDF；球面小波兼顾空间与频率局部性，可压缩高频函数；还有分段常数基、双聚类近似。

半球基

BRDF、入射辐亮度、辐照度天然只定义在法线半球上，用全球基浪费一半。

Half-Life 2 基三个向量为 $m_0=(-\frac1{\sqrt6},\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt3})$、$m_1=(-\frac1{\sqrt6},-\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt3})$、$m_2=(\sqrt{\tfrac23},0,\frac1{\sqrt3})$，重建：

$E(n)=\frac{\sum_{k=0}^2\max(m_k\cdot n,0)^2E_k}{\sum_{k=0}^2\max(m_k\cdot n,0)^2}$

Green 指出可把归一化权重 $d_k$ 预计算在切线空间方向图中，重建简化为 $E(n)=\sum d_kE_k$。（GDC 2004 演讲中的公式是错的，上式来自 SIGGRAPH 2007。）