零散射与透射率估计

为什么"估计 τ 再取指数"有偏

$T_r(p\to p')=e^{-\int_0^d\sigma_t(p+t\omega)\,dt}\approx e^{-\sigma_t(p+t'\omega)/p(t')}$ 方括号内是 $\tau$ 的无偏估计，但 $e^{-x}$ 是凸函数，$E[e^{-X}]\ge e^{-E[X]}$。PBRT 原文说这样会低估透射率，这与 Jensen 不等式的方向相反，见下文「原书问题」。误差随 $\tau$ 估计的方差减小而减小；游戏里的光线步进（黎曼和）就是这种有偏做法，见 参与介质与体积散射。

透射率的积分形式

对 $dL/dt=-\sigma_tL$ 在 $[0,d]$ 上积分并除以 $L(p)$： $T_r(p\to p')=1-\int_0^d\sigma_t(p+t\omega)\,T_r(p+t\omega\to p')\,dt\quad(11.10)$ （直接相除得到的是 $T_r(p\to p+t\omega)$；两种写法积分后都等于 $1-T_r$，等式成立，见下文。）这个递归式可以无偏估计，但被积函数难采样、方差大。

零散射与 majorant

定义零散射系数 $\sigma_n=\sigma_{maj}-\sigma_t\ge0$，于是 $\sigma_a+\sigma_s+\sigma_n=\sigma_{maj}$ 处处为常数，可理解为往介质里加入不影响光的"虚构粒子"直到密度均匀。得到 $T_r(p\to p')=e^{-\sigma_{maj}d}+\int_0^d e^{-\sigma_{maj}t}\,\sigma_n(p+t\omega)\,T_r(p+t\omega\to p')\,dt\quad(11.13)$ 均匀介质下 $\sigma_n=0$，积分消失，退化为 Beer 定律；非均匀时第一项是低估，积分补上其余部分。笔者用 $\sigma_t(t)=1+\sin t$、$d=3$、$\sigma_{maj}=2.1$ 做数值积分核对：两边都等于 $0.0068057$。

距离用指数分布 $p_{maj}(t)=\sigma_{maj}e^{-\sigma_{maj}t}$ 采样（逆变换见 随机变量变换与逆变换采样）。采到 $t'>d$ 正好对应"被积函数为 0 的 $[d,\infty)$ 段"，就是递归的终止条件。

三种估计器

(11.16) 的一般形式：以概率 $p_e$ 只估计第一项（除以 $p_e$），否则只估计积分（除以 $1-p_e$）。比率追踪把"选哪一项"与"$t'$ 是否越过 $d$"合并，因为 $P(t'>d)=e^{-\sigma_{maj}d}$。把俄罗斯轮盘的继续概率设成 $\sigma_n/\sigma_{maj}$，权重抵消，就得到 delta 追踪。

delta 追踪还能按 $\sigma_t(t)T_r(t)$ 的比例采样碰撞位置（书中伪代码）：循环采样 $t\mathrel{+}=\text{SampleExponential}(u,\sigma_{maj})$，若 $u<\sigma_n/\sigma_{maj}$ 则继续，否则返回该点；越过 $d$ 则无交互。指数分布无记忆，所以每次从当前点重新采样即可。

majorant 的松紧：分段与 DDA

平均步长是 $1/\sigma_{maj}$。若介质大部分 $\sigma_t=1$、一小块 $\sigma_t=100$，全局 $\sigma_{maj}=100$ 时稀薄区 99% 的采样是零散射，步长缩短到 1/100。解决办法是空间变化的 majorant：pbrt 的 MajorantGrid 每个体素存该区域最大密度，乘以 $\sigma_t$ 得局部 majorant；光线用 3D DDA（Cleary–Wyvill 1988，思路类似 Bresenham，但要找出所有经过的体素）逐体素给出 RayMajorantSegment，由 RayMajorantIterator::Next() 按从前到后的顺序惰性返回（光路在中途散射或终止时，后面的段不必计算）。实现细节：

• 光线先变换到网格的 $[0,1]^3$ 空间；deltaT = 体素宽度 / |方向分量|；负零方向分量要改成正零，保证 $1/0=+\infty$，该轴永远不会被选中；
• 选下一步的轴：三次比较结果编码成 3 位整数查表 cmpToAxis，无分支；
• 书中图 11.19：云模型在 CPU 和 GPU 上都是每边约 64–256 体素最快；太粗 majorant 松、零散射多，太细则 DDA 遍历开销大。
• 其他结构：Yue 等 2010 用 kd 树存 majorant，2011 估计划分效率；Szirmay-Kalos 等 2011 就是逐格 delta 追踪（pbrt 的做法）。

取舍

延伸阅读（PBRT 11 章）：delta 追踪由 Raab 等 2006 引入图形学，在多个领域被独立发明过（Kutz 等 2017、Kettunen 等 2021 有史料）；积分形式推导沿用 Georgiev 等 2019，Galtier 等 2013 也给出过；Kulla–Fajardo 2012 按"透射率 × 散射系数"制表采样；Villemin 等 2018 提高稀薄介质的采样密度。

原书问题

• 11.2 节"underestimate"方向写反：书中说 (11.8) 这类估计"会低估透射率"，并以 Jensen 不等式和 $e^{-x}$ 的凸性为据。但对凸函数 Jensen 不等式给出 $E[e^{-X}]\ge e^{-E[X]}$，也就是平均起来是高估。笔者用 $\sigma_t(t)=1+\sin(5t)$、$d=2$、均匀采样 $t'$ 做蒙特卡洛：真值 $T_r=0.0937$，$E[e^{-\hat\tau}]\approx0.223$，确实偏高。来源：Jensen 不等式（凸函数 $\varphi$ 有 $E[\varphi(X)]\ge\varphi(E[X])$，任何概率论教材）；计算可复现。
• (11.10) 推导措辞：按文中"把 (11.9) 除以 $L(p)$"得到的积分号内是 $T_r(p\to p+t\omega)$，书中写的是 $T_r(p+t\omega\to p')$。两者积分后都等于 $1-T_r(p\to p')$，所以方程本身正确，只是推导一步没写出来（Georgiev 等 2019 两种形式都有）。
• delta 追踪的轮盘概率措辞：书中说把俄罗斯轮盘的"终止概率"设为 $\sigma_n/\sigma_{maj}$，但式 (11.18) 是以该概率继续；终止概率应为 $\sigma_t/\sigma_{maj}$（上表按公式写的是继续概率）。

分段 majorant 下的采样（PBRT 4e 14.1.3）

介质给出的是沿光线分段常数的 majorant，光学厚度分段线性，$T_{maj}$ 连续、单调递减，但在段边界处一阶导数不连续，且 $T_{maj}=\prod_iT^i_{maj}$。SampleT_maj() 逐段采样：在第 $i$ 段按 $\sigma^i_{maj}$ 采指数距离，落在段内就以该点调用回调（估计量化简为 $f(p')$），否则把整段透射率乘进累计值，进入下一段；所有段都没采到的概率正好是从 $0$ 到 $t$ 的总 $T_{maj}$，即 (14.7) 中选择表面项所需的概率。实现要点：

• 先把光线方向归一化，使参数 $t$ 就是距离；按介质具体类型（TaggedPointer::Dispatch + 泛型 lambda）在栈上声明迭代器，避免动态分配和虚调用；
• 只用第一个波长的 majorant 采样，其他波长靠光谱 MIS（见 参与介质与体积散射）；第一个波长 majorant 为 0 的段直接跳过，但仍要为其他波长累乘透射率；tMax 为无穷时改成最大有限浮点数，避免 $0\times\infty=\text{NaN}$；
• 第一个均匀样本来自 Sampler，用掉后立即由 RNG 补充，保证样本维度消耗固定；
• 回调返回 true 表示从当前点重新开始（累计 $T_{maj}$ 重置为 1），返回 false 结束；函数最终返回最后一个采样点到 tMax 的 $T_{maj}$。
• 练习 14.3：可只用一个均匀数采样总光学厚度，再沿光线找到累计到该值的位置。
• 原书在本节的推导式 (14.8) 有多余的 $\sigma^1_{maj}$ 因子，并把 $\Pr\{t'_1>t_1\}$ 写成 $\sigma^1_{maj}T^1_{maj}$，两处错误互相抵消，详见 参与介质与体积散射 的「原书问题（第 14 章）」。