信号与线性时不变系统

信号

信号是一个或多个自变量的函数，描述某种物理现象：声压 $p(t)$、麦克风电压 $v(t)$，甚至灰度图像 $i(x,y)$（彩色图像是 $r,g,b$ 三个信号）（卷 II 15.2.1）。

• 连续时间信号：自变量是实数，记作 $x(t)$；
• 离散时间信号：自变量是整数，记作 $x[n]$（值仍可以是实数）。离散信号可看作连续信号的采样，见 数字音频技术（卷 II 15.2.1.1）。

对自变量的简单变换（卷 II 15.2.2）：用 $-t$ 代替 $t$ 是关于 $t=0$ 翻转；$t-s$ 是右移 $s$；$2t$ 是压缩时间轴。

系统与 LTI

系统把输入信号变成输出信号，例如增益为 $A$ 的放大器 $y(t)=Ax(t)$；麦克风、扬声器、A/D 转换器、混响器、均衡器、滤波器乃至房间声学都可以看成系统（卷 II 15.2.3）。

• 时不变：输入平移多少，输出也平移多少；
• 线性：满足叠加性，加权和的输入得到各自输出的加权和。

LTI 系统数学上好处理，又能准确模拟许多真实系统，所以 GEA 只讨论它。系统可以串联、并联（输出相加）或接成反馈回路；LTI 系统串联的顺序可以互换，输出不变。

下图示意三种连接方式（对应 GEA 图 15.10）：串联 $y=B(A(x))$，并联 $y=aA(x)+bB(x)$，反馈 $y=x-a\dot y$。

flowchart LR
  subgraph "串联"
    x1[x] --> A1[A] --> B1[B] --> y1[y]
  end
  subgraph "并联"
    x2[x] --> A2["a·A"] --> S2((+))
    x2 --> B2["b·B"] --> S2 --> y2[y]
  end

冲激响应与卷积

单位冲激：离散时 $\delta[n]$ 只在 $n=0$ 处为 1；连续时 $\delta(t)$ 定义为宽 $T$、高 $1/T$ 的盒函数在 $T\to0$ 时的极限，面积恒为 1（卷 II 15.2.4.1）。任意信号都能写成平移、加权冲激的和（式 15.4、15.5）：

$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\,\delta[n-k],\qquad x(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\,\delta(t-\tau)\,d\tau$

系统对 $\delta[n]$ 的输出 $h[n]$ 叫冲激响应。由线性和时不变性，$x[k]\delta[n-k]\Rightarrow x[k]h[n-k]$，求和即得卷积和（式 15.6、15.7），连续时为卷积积分（式 15.8、15.9）：

$y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k}x[k]\,h[n-k],\qquad y(t)=x(t)*h(t)=\int x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau$

所以对 LTI 系统，冲激响应完全刻画系统（卷 II 15.2.4.3）。计算某个 $t$ 处的值：画出 $x(\tau)$；把 $h$ 翻转并平移 $t$ 得到 $h(t-\tau)$；两者相乘；沿 $\tau$ 积分求面积。每个 $t$ 都要重复一遍（卷 II 15.2.4.4）。卷积满足交换律 $x*h=h*x$、结合律 $x*(h_1*h_2)=(x*h_1)*h_2$ 和分配律 $x*(h_1+h_2)=x*h_1+x*h_2$，与普通乘法类似（卷 II 15.2.4.5；渲染页 p.446 括号完整，早先因 PDF 文本层丢括号而记的"原书问题"已撤回）。

复数与欧拉公式

正弦信号的一般形式是 $x(t)=A\cos(\omega_0t+\phi)$（式 15.10），$A$ 是振幅，$\omega_0$ 是角频率，$\phi$ 是相位偏移（卷 II 15.2.5.1）。$A=1,\omega_0=1,\phi=0$ 时就是 $\cos t$；取 $\phi=-\pi/2$ 得 $\sin t$。

原书问题：15.2.5.1 写"当 $\phi=\pi/2$ 时表达式变为 $x(t)=\sin t$"（已核对渲染页 p.446）。实际 $\cos(t+\pi/2)=-\sin t$，应为 $\phi=-\pi/2$。GEA 自己在 15.1.1 写的是 $\sin t=\cos(t-\pi/2)$，两处矛盾（恒等式见 Wikipedia "List of trigonometric identities" 的平移公式）。

用复数表示更方便用复数表示更方便（卷 II 15.2.5.2）：

• $c=a+jb$，$j=\sqrt{-1}$；模 $|c|=\sqrt{a^2+b^2}$，辐角 $\arg c=\tan^{-1}(b/a)$（辐角也叫相位）。复数可以画成阿尔冈平面 (Argand plane) 上的二维"向量" $[a,b]$，但复数和向量的运算规则不同，不能互换。

  注：$\tan^{-1}(b/a)$ 只在 $a>0$ 时给出正确象限，一般应写成 $\operatorname{atan2}(b,a)$（见 Wikipedia "Argument (complex analysis)"）。

• 复数乘法：$|c_1c_2|=|c_1||c_2|$，$\arg(c_1c_2)=\arg c_1+\arg c_2$（式 15.12），所以单位复数相乘是纯旋转，乘以 $j$ 就是转 90°。GEA 指出这正是单位四元数能表示三维旋转的原因：四元数相当于一个实部、三个虚部的"四维复数"。

  注：这个类比只能算直觉。四元数乘法不满足交换律，旋转三维向量用的是夹乘 $q\,v\,q^{-1}$（$q$ 里存的是半角），并不是像复数那样乘一次（见 Wikipedia "Quaternions and spatial rotation"）。

• 欧拉公式（式 15.13）：$e^{j\omega_0t}=\cos\omega_0t+j\sin\omega_0t$，实部是余弦、虚部是正弦。

傅里叶级数与傅里叶变换

周期信号可以写成谐波相关的复指数之和，即傅里叶级数（式 15.14）：$x(t)=\sum_k a_ke^{jk\omega_0t}$，$\omega_0$ 是基频。满足狄利克雷条件的非周期信号也能表示为正弦的线性组合，系数变成连续函数 $X(\omega)$，即傅里叶变换（式 15.15、15.16）（卷 II 15.2.5.3–15.2.5.4）：

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt,\qquad x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

$x(t)$ 是时域表示，$X(\omega)$ 是频域表示。$X(\omega)$ 一般是复数，常用伯德图 (Bode Plot) 分别画模和辐角（卷 II 15.2.5.5）。离散时间下有一族快速算法，称为快速傅里叶变换 (FFT)（卷 II 15.2.5.6）。

卷积定理与对偶性

时域卷积等于频域乘法，反之亦然（卷 II 15.2.5.7）：

$y(t)=x(t)*h(t)\iff Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)$

$H(\omega)$ 称为系统的频率响应。有时用冲激响应在时域卷积更方便，有时用频率响应在频域相乘更方便。GEA 说 LTI 系统还有对偶性：时间和频率的角色可以互换，例如两个信号相乘（调制）在频域就是两者频谱的卷积。

原书问题：对偶性是傅里叶变换的性质（时域与频域的公式几乎对称），不是 LTI 系统的性质。调制（两信号相乘）本身也不是 LTI 运算，它是时变的（见 Oppenheim & Willsky《Signals and Systems》第 2 版 4.3.6 节 "Duality"，即 GEA 引用的 [45]）。

滤波

滤波器是衰减选定频率范围、保留其余频率的 LTI 系统（卷 II 15.2.5.8）：

理想滤波器的 $H(\omega)$ 是矩形：通带为 1、阻带为 0。实际滤波器（如 RC 低通）在通带和阻带之间逐渐过渡，适合"想要"和"不想要"的频率没有清晰分界的场合。均衡器 (EQ) 就是一组调到不同频段、串联作用于信号的滤波器。滤波还可以去除与有用信号频谱不重叠的噪声。

在游戏中的应用

• 房间声学可以建模为 LTI 系统：湿声 = 干声 * 房间冲激响应，即卷积混响，见 三维音频渲染。
• 采样定理、走样和重建滤波是频域视角的直接应用，见 数字音频技术；图形学中的同一理论见 抗锯齿 和 图像处理与后处理。
• 大气吸收、遮挡造成的发闷都用低通滤波器模拟。

PBRT 的视角：渲染中的傅里叶约定与功率谱（PBRT 4e 8.1–8.2）

PBRT 用普通频率 $\omega$（单位：周期每单位长度），指数里带 $2\pi$： $F(\omega)=\int f(x)e^{-i2\pi\omega x}dx,\qquad f(x)=\int F(\omega)e^{i2\pi\omega x}d\omega$ 上文 GEA 用的是角频率约定，$X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt$，逆变换前有 $1/(2\pi)$。两者只差变量替换 $\omega_{\text{角}}=2\pi\omega$，读公式时要先确认约定。PBRT 的约定下 $e^{-\pi x^2}$ 是自身的傅里叶变换，盒函数的变换就是 $\operatorname{sinc}(\omega)=\sin(\pi\omega)/(\pi\omega)$，没有多余常数。

渲染还用两个上文没有的工具：

• 功率谱密度 $\mathcal P_f=F\overline F$：丢掉相位。PBRT 8.1.6 说乘积的 PSD 等于 PSD 的卷积，这一点作为确定性恒等式并不成立（反例见 抗锯齿 的原书问题）；对随机采样模式取期望时才可以这样用。用来分析随机采样模式（白噪声、蓝噪声、抖动），见 抗锯齿。
• 有限域上的傅里叶级数：分析 $[0,1)^n$ 上的蒙特卡洛积分时用级数而不用变换，避免把函数在域外补零造成的不连续，见 蒙特卡洛积分与重要性采样。

PBRT 表 8.1 冲激串一行差一个常数因子 $T$（推导和验证见 抗锯齿 的 PBRT 小节）。