随机变量变换与逆变换采样

概率论基本概念（PBRT 2.1.1）

• 随机变量 $X$：由随机过程选出的值，定义域可离散可连续；$Y=f(X)$ 仍是随机变量。
• 概率质量函数 (PMF) 给离散变量各取值的概率，例如骰子 $p(X)=1/6$；均匀指所有取值等概率。
• 独立：$p(X,Y)=p(X)p(Y)$；相依：$p(X,Y)=p(X)\,p(Y\mid X)$（式 2.1，条件概率）。
• 标准均匀随机变量 $\xi\in[0,1)$：渲染里一切采样的原料，既容易由伪随机数生成器得到（见 伪随机数生成），又能映射成任意分布。离散选择：若 $\sum_{j<i}p_j\le\xi<\sum_{j\le i}p_j$ 则选第 $i$ 个（式 2.2）。例如按功率 $p_i=\Phi_i/\sum_j\Phi_j$ 选光源。
• 累积分布函数 (CDF) $P(x)=\Pr\{X\le x\}$（式 2.3），骰子 $P(2)=1/3$。
• 概率密度函数 (PDF) $p(x)=dP/dx$：非负、在定义域上积分为 1，但单点的值可以大于 1；区间概率 $\Pr\{x\in[a,b]\}=\int_a^bp=P(b)-P(a)$。$\xi$ 的 PDF 在 $[0,1)$ 上为 1、其余为 0。
• 期望 $E_p[f]=\int_Df(x)p(x)\,dx$（式 2.4），线性：$E[af]=aE[f]$、和的期望等于期望的和（式 2.5）。例：$[0,\pi]$ 上均匀时 $E[\cos x]=\frac1\pi(\sin\pi-\sin0)=0$。

离散逆变换（PBRT 2.3.1）

把 PMF 的柱子从左往右叠起来得到离散 CDF $P_i=\sum_{j\le i}p_j$，选满足 $P_{i-1}\le\xi<P_i$ 的 $i$（式 2.19），即"对 CDF 求逆"：均匀样本落到某根柱子上的概率正好等于柱高。

• pbrt 的 SampleDiscrete() 接受未归一化的权重：先求权重和，把 $u$ 乘以总和得 $u'$（浮点舍入使 $u'$ 等于总和时退到下一个更小的浮点数），再线性扫描找区间；每次采样 $O(n)$。要大量采样时改用 $O(1)$ 的别名表 AliasTable（附录 A.1）。
• 样本复用：落在区间 $[P_{i-1},P_i)$ 内的相对位置 $(\xi-P_{i-1})/p_i$ 本身又是一个 $[0,1)$ 均匀数，可以返回给调用者继续使用（uRemapped）。对第 8 章的高质量低差异样本，复用比重新取一维更好。

连续逆变换（PBRT 2.3.2）

步骤：① 积分 PDF 得 CDF $P(x)=\int_0^xp(x')dx'$；② 取 $\xi$；③ 解 $\xi=P(X)$，即 $X=P^{-1}(\xi)$。

连续逆变换采样把均匀随机数经 CDF 的逆映射成目标分布上的样本。

flowchart LR
  U["U ~ Uniform 0,1"] --> CDF["计算或查表 CDF⁻¹"]
  CDF --> X["X = CDF⁻¹(U) ~ 目标分布"]
  PDF["目标 PDF / CDF"] --> CDF

例：线性函数 $f(x)=(1-x)a+xb$，$x\in[0,1]$，$a,b\ge0$。积分 $(a+b)/2$，所以

$p(x)=\frac{2f(x)}{a+b},\qquad P(x)=\frac{x\,(a(2-x)+bx)}{a+b}.$

直接求逆得 $X=\dfrac{a-\sqrt{(1-\xi)a^2+\xi b^2}}{a-b}$，但 $a=b$ 时是 0/0；pbrt 用分子有理化后的等价式

$X=\frac{\xi(a+b)}{a+\sqrt{(1-\xi)a^2+\xi b^2}},$

并用 std::min 把结果钳到 1 以下（舍入可能得到 1，而下游代码依赖 $[0,1)$）。本页用 $a=1,b=3$ 抽 $10^6$ 个样本复核：直方图 0.625/0.873/1.123/1.378 与理论 PDF 0.625/0.875/1.125/1.375 吻合，$P(0.3)=0.195$ 与经验频率 0.1951 吻合。pbrt 通常还提供采样的逆函数（返回产生某个 $x$ 的 $\xi$，一维时就是 CDF），便于第 8 章之外的用途。

随机变量的变换（PBRT 2.4）

若 $Y=f(X)$ 且 $f$ 一一映射（导数严格同号），则 CDF 相等 $P_f(f(x))=P(x)$，求导得

$p_f(y)=\left|\frac{df}{dx}\right|^{-1}p(x).$

例：$p(x)=2x$（$[0,1]$），$f=\sin x$，则 $p_f(y)=\dfrac{2\arcsin y}{\sqrt{1-y^2}}$（本页用 $X=\sqrt\xi$ 抽样后取正弦，直方图与此式吻合）。反过来，要把 $X\sim p$ 变成 $Y\sim p_f$，取 $f(x)=P_f^{-1}(P(x))$；$X$ 均匀时就退化为逆变换法。

多维：$Y=T(X)$，$T$ 为双射，

$p_T(T(x))=\frac{p(x)}{|J_T(x)|}\quad(\text{式 2.21})$

$|J_T|$ 是雅可比矩阵行列式的绝对值。

• 极坐标 $x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta$：$|J_T|=r$，所以 $p(r,\theta)=r\,p(x,y)$（式 2.22）。
• 球坐标：$|J_T|=r^2\sin\theta$，$p(r,\theta,\phi)=r^2\sin\theta\,p(x,y,z)$（式 2.23）。这正是"直接均匀取 $\theta,\phi$ 在球面上不均匀"的原因（GEA 的半球均匀采样例子同理，见 蒙特卡洛积分与重要性采样）。

多维采样：边缘密度与条件密度（PBRT 2.4.2）

可分离时 $p(x,y)=p_x(x)p_y(y)$，各维独立采样即可。不可分离时：

1. 边缘密度 $p(x)=\int p(x,y)\,dy$（式 2.24），"积掉"其他维；
2. 采 $X\sim p(x)$ 后，从条件密度 $p(y\mid x)=p(x,y)/\int p(x,y)\,dy$ 采 $Y$；
3. 更高维依次类推，每次少一维。

不可分离的多维密度按「先边缘、后条件」逐维降维采样。

flowchart TD
  Joint["联合密度 p(x,y)"] --> Marg["边缘 p(x) = ∫ p(x,y) dy"]
  Marg --> Sx["采样 X ~ p(x)"]
  Sx --> Cond["条件 p(y|x) = p(x,y)/p(x)"]
  Cond --> Sy["采样 Y ~ p(y|x)"]
  Sy --> Out["得到 (X,Y)"]

例：双线性函数 $f(x,y)=(1-x)(1-y)w_0+x(1-y)w_1+y(1-x)w_2+xyw_3$（式 2.25，$w_0..w_3$ 位于 $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$），$p=4f/(w_0+w_1+w_2+w_3)$。先采 $y$ 的边缘密度 $p(y)\propto(1-y)(w_0+w_1)+y(w_2+w_3)$，再采 $p(x\mid y)\propto(1-x)[(1-y)w_0+yw_2]+x[(1-y)w_1+yw_3]$，两步都是线性函数，用上面的 SampleLinear()；求逆时按相反顺序套两次线性的逆。更多例子（球面、半球、圆盘等）在附录 A.5。

在游戏开发中的用途

• 按权重/功率选光源、按亮度选环境贴图像素（离散逆变换或别名表）。
• 生成 GGX/余弦分布的方向（连续逆变换 + 球坐标雅可比），见 微表面理论。
• 写采样代码时最常见的 bug 是漏掉雅可比因子（如球面上的 $\sin\theta$）或 PDF 未归一化。

取舍

• 逆变换法要求 CDF 可解析积分并可求逆；做不到时改用表格化分段常数分布、别名表或拒绝采样（附录 A）。
• 逆变换是保序（单调）映射，能保留低差异样本的分层结构。PBRT 2.3 节引言只说逆变换"配合第 8 章分布良好的样本特别有效"；把这一点解释为单调映射保分层、并据此说它优于拒绝采样，是本页的归纳。
• 数值稳定性要单独处理：0/0 的等价变形、结果钳到 $[0,1)$。

PBRT 的视角：半向量变换的雅可比（PBRT 4e 9.6.5、9.7）

微表面 BSDF 先采样法线 $\omega_m$，再用反射或折射得到 $\omega_i$，所以 $\omega_i$ 的密度要用变量替换 $p(\omega_i)=p(\omega_m)\,|d\omega_m/d\omega_i|$。

• 平面情形：$\theta_m=(\theta_o+\theta_i)/2$，$d\theta_m/d\theta_i=1/2$。
• 三维反射：取以 $\omega_o$ 为极轴的球坐标，镜面反射意味着 $\theta_i=2\theta_m$、$\phi_i=\phi_m$： $\frac{d\omega_m}{d\omega_i}=\frac{\sin\theta_m\,d\theta_m\,d\phi_m}{\sin2\theta_m\cdot2\,d\theta_m\,d\phi_m}=\frac{1}{4\cos\theta_m}=\frac{1}{4(\omega_o\cdot\omega_m)}=\frac{1}{4(\omega_i\cdot\omega_m)}$
• 折射：广义半向量 $\omega_m\propto\eta_i\omega_i+\eta_o\omega_o$，雅可比为 $\eta_i^2|\omega_i\cdot\omega_m|/\big(\eta_i(\omega_i\cdot\omega_m)+\eta_o(\omega_o\cdot\omega_m)\big)^2$（Walter 等 2007）。PBRT 网页版对这一式的化简有笔误，见 微表面理论。
• 同一思想也用在测量 BRDF 上：把采样映射当作参数化，存 $f\cos\theta/p$ 而不是 $f$，见 测量 BRDF 与数据驱动反射模型。

PBRT 的视角：附录 A 的采样工具箱（PBRT 4e A.3–A.5）

拒绝采样（A.3）

若已知可采样的 $p$ 与常数 $c$ 使 $f(x)\le c\,p(x)$，则反复采 $X\sim p$、$\xi$，当 $\xi<f(X)/(cp(X))$ 时接受。几何意义：点 $(X,\xi cp(X))$ 落在 $f$ 下方。效率取决于 $cp$ 包络 $f$ 的紧密程度。例：在外接正方形里采点、落在圆盘内才接受，接受率 $\pi/4\approx78.5\%$；推广到 $n$ 维超球时体积比趋于 0，越来越低效。pbrt 的蒙特卡洛算法都不用它，因为更希望把分布良好的 $[0,1)^n$ 样本确定性地映射过去；但它很适合调试：怀疑某个逆变换采样有错时，换成拒绝采样实现，看估计值是否收敛到同一结果（von Neumann 1951 提出）。

一维函数（A.4）

多维（A.5）

• 圆盘：$r=\xi_1$ 是错的（样本聚在圆心）；由 $p(r,\theta)=r/\pi$ 得 $r=\sqrt{\xi_1}$、$\theta=2\pi\xi_2$。但这种映射扭曲面积，会让分层样本的层不紧凑；同心映射（Shirley–Chiu 1997）把同心正方形映到同心圆，如右侧楔形 $r=x$、$\theta=\frac{y}{x}\frac\pi4$，实现采用 Shirley 2011 博客中 Dave Cline 与评论者 "franz" 的简化。
• 均匀半球/球：$p(\theta,\phi)=\sin\theta/(2\pi)$，可分离，$\cos\theta=\xi_1$（用 $\xi$ 替换 $1-\xi$）；球面为 $z=1-2\xi_1$，$r=2\sqrt{\xi_1(1-\xi_1)}$，PDF $1/(4\pi)$。pbrt 所有方向 PDF 都相对立体角。
• 余弦加权半球（Malley 方法）：在圆盘上均匀采样再竖直投影到半球；$\sin\theta=r$，雅可比 $\cos\theta$，得 $p(\theta,\phi)=\cos\theta\sin\theta/\pi$，即立体角 PDF $\cos\theta/\pi$。任何均匀圆盘采样（包括同心映射）都适用。
• 圆锥内均匀：$\cos\theta=(1-\xi)+\xi\cos\theta_{\max}$，$p(\omega)=1/(2\pi(1-\cos\theta_{\max}))$。
• 分段常数 2D（PiecewiseConstant2D）：先按行积分得边缘分布 $p[\tilde v]$ 采样行，再用该行的条件分布 $p[\tilde u|\tilde v]$ 采样列；PDF 是两者之积。每行直接交给 PiecewiseConstant1D（常数因子 $I_f$、$p[\tilde v]$ 不影响归一化），用于环境贴图采样（见 基于图像的光照）。
• 加窗分段常数 2D（WindowedPiecewiseConstant2D，供 PortalImageInfiniteLight 使用）：借助求和面积表 (summed-area table)（Crow 1984）在常数时间算任意矩形上的积分；边缘 CDF $P(x)$ 的分子分母都可由表求得，再用 SampleBisection() 二分到同一离散层后按分段线性闭式求解；条件分布把 $x$ 范围限制在采到的那一层上，仍用二维积分求。求差时用 double 防止大数相减的灾难性抵消。表中存的是各格右上角的累计和，边界上的 0 不存，所以查询时不加 0.5 像素偏移。Bitterli 等 2015 首先把求和面积表用于图像矩形区域的采样。
• 与 RTR4 的关系：纹理过滤与 Mipmap 中求和面积表用于各向异性纹理过滤（求矩形区域平均值），这里用于重要性采样（求矩形区域积分并反演 CDF），同一数据结构、不同用途。
• 其他表格化多维采样：Steigleder–McCool 2003 用 Hilbert 曲线把多维域线性化为一维（见 莫顿码与空间填充曲线）；McCool–Harwood 1997、Clarberg 等 2005 的四叉树逐级变换；Vitsas 等 2021 用截断高斯混合拟合晴空环境贴图。

原书问题（附录 A）

• A.4.6 smoothstep 的 CDF：正文（SVG 已解码确认）写作 $P(x)=\dfrac{2t^3-t^4}{b-a}$，多除了 $b-a$。由 $p=2f/(b-a)$、$dx=(b-a)dt$ 得 $P=2t^3-t^4$，在 $t=1$ 处为 1；书中写法在 $t=1$ 处等于 $1/(b-a)$。代码 SampleSmoothStep() 用的是正确的 $2t^3-t^4$。笔者取 $a=2,b=5,x=3.7$ 数值积分 PDF 得 0.26081，与 $2t^3-t^4$ 一致，书中写法给出 0.08694。
• InvertSmoothStepSample() 代码缺陷：其中的 lambda P = [&](Float x){ return 2*Pow<3>(t) - Pow<4>(t); } 忽略参数、始终使用外层的 $t$，所以 $P(x)=P(a)=P(b)$，返回 $(P(x)-P(a))/(P(b)-P(a))=0/0$。笔者于 2026-10-13 PT 查看 GitHub 上 pbrt-v4 master 的 src/pbrt/util/sampling.h，第 305–309 行仍是这样。由于 $P(a)=0$、$P(b)=1$，正确实现就是直接返回 $2t^3-t^4$。
• A.3 说"效率取决于预期被拒绝样本的比例……即圆盘面积除以正方形面积 $\pi/4\approx78.5\%$"，$\pi/4$ 是接受率，拒绝率约 21.5%。
• 在线版 A.1 开头有一处脚注渲染错乱（只剩 "8.1.3."）。延伸阅读中 "rectangluar" 为笔误。
• 在线版公式编号塌缩：附录 A 的 11 个带编号公式（A.4 的指数 CDF、指数采样距离、高斯、logistic、区间 PDF、截断 logistic CDF、分段积分，A.5 的二维离散边缘/条件密度、均匀半球采样、求和面积表定义）在 HTML 中的 eqno 全部显示为 "(A.17)"，正文中 "用 Equation (A.17) 计算条件密度……再用 Equation (A.17) 计算边缘密度" 之类的引用因此无法区分（附录 B 的 5 个公式同样全部标为 "(B.18)"）。这是在线版的渲染/编号缺陷，阅读时应按锚点名（如 eq:2d-discrete-marginal-density）对应。（据 pbr-book.org/4ed 附录 A、B 页面 HTML 源码核对，2026-10-13）