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# 数值积分
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图形学蒙特卡洛积分与重要性采样Monte Carlo Integration & Importance Sampling渲染方程里的半球积分没有闭式解，只能数值积分。蒙特卡洛积分在定义域里随机取样、按概率密度加权求平均，期望值正好等于积分真值，误差随样本数 N 按 1/\sqrt{N} 下降，而且与积分维数无关，所以成了光线追踪类渲染的数学基础。降低误差的主要手段是让采样分布接近被积函数的形状，也就是重要性采样（GEA4 卷 II 12.6.2、12.6.4）。游戏数学数值积分Numerical Integration游戏中的力是交互的、无法事先预测的，运动方程（常微分方程）几乎没有解析解，所以物理引擎采用数值积分：以大致恒定的时间步长 \Delta t 逐步推进，由当前时刻 t1 的 \mathbf r(t1)、\mathbf v(t1) 和力函数 \mathbf F(t,\mathbf r,\mathbf v) 求出 t2=t1+\Delta t 时的位置与速度。衡量方法好坏看收敛性、阶、稳定性三项。显式欧拉最简单但误差大、不稳定；GEA 认为交互游戏中最常用的大概是 Verlet，尤其是速度 Verlet（GEA4 卷 II 14.4.4）。