形状采样

两种采样接口与测度换算（6.1.7）

• 按面积：返回点和面积 PDF $p_A$；均匀时 $p_A=1/A$。
• 按参考点立体角：返回立体角 PDF $p_\omega$。两者关系（见 球面几何与方向参数化 中立体角与面积的换算）： $p_\omega=p_A\,\frac{r^2}{|\cos\theta_o|}$ $\theta_o$ 是光源法线与连线的夹角；$\cos\theta_o=0$ 时 PDF 无穷大，放弃该样本。PDF(ctx, wi) 只应对确实击中该形状的方向调用；需要时它会从参考点沿 $\omega_i$ 只对这一个形状求交。

按面积采样得到 $p_A$ 后，用距离与入射角换算成立体角 PDF；也可直接在可见立体角内采样以降低方差。

flowchart TD
  Shape["形状"] --> Mode{"采样策略"}
  Mode -->|"按面积均匀"| Area["得到点与 p_A = 1/A"]
  Mode -->|"按立体角均匀"| Solid["在可见锥/球面多边形内采方向"]
  Area --> Conv["换算 p_ω = p_A · r² / |cos θ_o|"]
  Solid --> Pw["直接得到 p_ω"]
  Conv --> Use["用于面光源积分"]
  Pw --> Use

球（6.2.4）

• 参考点在球内：整个球都可见，按面积均匀采样（SampleUniformSphere 后乘半径并重投影到球面以界定误差）。判断"在球内"要用经偏移的原点，避免交点恰在球面上时误判。
• 参考点在球外：球所张锥角 $\sin\theta_{max}=r/d_c$，即 $\theta_{max}=\arcsin\frac{r}{d_c}=\arccos\sqrt{1-(r/d_c)^2}\quad(\text{式 6.4})$ 在锥内均匀采样（$\cos\theta$ 在 $[\cos\theta_{max},1]$ 内均匀），PDF 为 $\frac1{2\pi(1-\cos\theta_{max})}$。$\theta_{max}$ 很小时 $1-\cos^2\theta_{max}$ 精度很差，改用一阶泰勒展开 $\sin^2\theta\approx\dots$、$1-\cos\theta\approx\tfrac12\sin^2\theta$。
• 由采样角 $\theta$ 求球面点，不用反三角函数（Akalin 2015）：正弦定理 $\sin\gamma=\frac{d_c}{r}\sin\theta$，$\gamma$ 为钝角，$\alpha=\pi-\gamma-\theta$，化简得 $\cos\alpha=\frac{\sin^2\theta}{\sin\theta_{max}}+\cos\theta\sqrt{1-\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta_{max}}}$ 本页用随机参数把这一结果与"射线与球求最近交点再算夹角"的直接几何计算对比，5 组数据在 $10^{-9}$ 内一致。

圆柱、圆盘（6.3.3、6.4.3）

• 圆柱是卷起来的矩形，均匀采样 $z$ 和 $\phi$ 即按面积均匀。
• 圆盘用同心映射 SampleUniformDiskConcentric 采样单位圆盘再缩放。原书承认实现没有考虑内半径和 $\phi_{max}$（部分球的 Sample 同样如此），留作习题修正。
• 两者都没有专门的立体角采样，只做面积到立体角的换算。

三角形（6.5.4）

• 按面积均匀：重心坐标的线性性使"均匀采样一个三角形的重心坐标"适用于任何三角形，只需构造单位正方形到单位直角三角形的保面积映射。沿对角线折叠虽然正确，但会把 $(0.01,0.01)$ 与 $(0.99,0.99)$ 映到同一点，破坏低差异样本的分层；PBRT 用 Talbot/Heitz 的映射 $f(\xi_1,\xi_2)=(\xi_1-\delta,\ \xi_2-\delta),\quad\delta=\begin{cases}\xi_1/2,&\xi_1<\xi_2\\ \xi_2/2,&\text{否则}\end{cases}$ 雅可比行列式恒为 $1/2$（本页验算：$\xi_1<\xi_2$ 时雅可比矩阵为 $\begin{pmatrix}1/2&0\\-1/2&1\end{pmatrix}$），故保面积。
• 为什么值得按立体角采样：漫反射面受均匀发光三角形照射时，立体角均匀采样的估计量只剩 $V\cdot|\cos\theta'|$ 两个都在 $[0,1]$ 的因子；按面积采样则多出 $|\cos\theta_l|/\|\mathbf p'-\mathbf p\|^2$，其中 $1/r^2$ 在离光源近、三角形大时变化无界。书中图 6.16 的场景 MSE 降为 1/3.86。前三版都按面积采样。
• 球面三角形采样（Arvo 1995）：先按 $A'=\xi_0A$ 在 $\mathbf a\mathbf c$ 弧上找新顶点 $\mathbf c'$，使 $\triangle\mathbf a\mathbf b\mathbf c'$ 面积为 $A'$；再沿 $\mathbf b\mathbf c'$ 弧取 $\cos\theta=1-\xi_1(1-\mathbf c'\cdot\mathbf b)$（式 6.10）。为避免小三角形 $\alpha+\beta+\gamma-\pi$ 的抵消，实现里用 $A_\pi=A+\pi$。由两条球面余弦定理消去未知角，得 $k_1=\cos\phi+\cos\alpha,\quad k_2=\sin\phi-\sin\alpha\cos\bar c,\quad\phi=A'_\pi-\alpha$ $\cos\bar b'=\frac{k_2+(k_2\cos\phi-k_1\sin\phi)\cos\alpha}{(k_2\sin\phi+k_1\cos\phi)\sin\alpha}$ 本页对 4 个随机球面三角形验算：用此式求出 $\mathbf c'$ 后，$\triangle\mathbf a\mathbf b\mathbf c'$ 的 Girard 面积与目标 $\xi_0A$ 相对误差约 $10^{-10}$。采到的方向用 Möller-Trumbore 求重心坐标，并钳制到三角形内。PDF 计算需要逆映射 InvertSphericalTriangleSample（Arvo 2001）。
• 数值退化时回退：立体角太小或接近整个半球的三角形改用面积采样；PDF() 必须做与 Sample() 完全相同的判断。

双线性面片（6.6.2）

• 没有精确的等面积采样（面积积分 $\int\!\!\int\|\partial_u p\times\partial_v p\|\,du\,dv$ 没有闭式），用以四角微分面积为权的双线性分布近似；矩形则直接用 $(u,v)$。参数空间 PDF 再除以 $\|\partial_u p\times\partial_v p\|$ 得面积 PDF。
• 带发光贴图的面片按图像亮度分布采样 $(u,v)$，书中图 6.26 MSE 降为 1/2.28。
• 矩形按立体角采样为球面矩形（Ureña 等 2013）。

近似余弦因子：warp 乘积采样

余弦加权半球常用 Malley 方法：先在圆盘上均匀（或同心）采样，再竖直投影到半球，自动带上 $\cos\theta$ 因子。

flowchart LR
  U["二维均匀样本"] --> Disk["圆盘均匀 / 同心映射"]
  Disk --> Proj["竖直投影到半球"]
  Proj --> Dir["方向 ω；PDF ∝ cos θ"]

立体角均匀采样仍没有考虑参考点处的 $\cos\theta$，目前没有解析方法。由于球面三角形/矩形采样是连续映射，$\cos\theta$ 拉回到 $[0,1]^2$ 后仍是光滑的，于是用四角取对应顶点 $\cos\theta$ 的双线性函数近似，先按它扭曲均匀样本，再送进球面采样（Hart 等 2020）。总 PDF 是两者之积。三角形的三个顶点对应 $[0,1]^2$ 的四个角：$v_0\to(0,1)$，$v_1\to(0,0)$ 与 $(1,0)$，$v_2\to(1,1)$。介质中的点没有法线，不做扭曲。

相关进展（延伸阅读）

Peters (2021) 给出更快的三角形立体角采样和多边形投影立体角采样；球是唯一已知能直接按投影立体角采样的形状（Ureña & Georgiev 2018；Peters & Dachsbacher 2019）；Gamito (2016) 与 Guillén 等 (2017) 处理圆盘和圆柱的立体角采样。

原书问题（PBRT 第 6 章，在线版）

取舍

• 立体角采样实现复杂、每个样本更贵，但近处的大光源方差降低很多；远处的小光源面积采样就够了。
• 大光源还要靠 BSDF 采样加多重重要性采样（见 蒙特卡洛积分与重要性采样）。