埃尔米特与 Kochanek-Bartels 样条

三次 Hermite 插值（17.1.4 节）

$\mathbf{p}(t)=(2t^3-3t^2+1)\mathbf{p}_0+(t^3-2t^2+t)\mathbf{m}_0+(t^3-t^2)\mathbf{m}_1+(-2t^3+3t^2)\mathbf{p}_1,\quad t\in[0,1]$ 满足 $\mathbf{p}(0)=\mathbf{p}_0$、$\mathbf{p}(1)=\mathbf{p}_1$、$\mathbf{p}'(0)=\mathbf{m}_0$、$\mathbf{p}'(1)=\mathbf{m}_1$。切线越长对整体形状影响越大。应用：NVIDIA "Nalu" 演示中，用粗的控制发丝做动画和碰撞检测，计算切线后细分三次曲线渲染头发（见 毛发渲染）。

Kochanek-Bartels 曲线（17.1.5 节）

$n$ 个点 $\mathbf{p}_0\dots\mathbf{p}_{n-1}$ 用 $n-1$ 段 Hermite 曲线插值，内部切线由两条弦 $\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1}$ 和 $\mathbf{p}_{i+1}-\mathbf{p}_i$ 组合得到。

• 张力 $a$（控制接点处的尖锐程度）： $\mathbf{m}_i=\frac{1-a}{2}\big[(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1})+(\mathbf{p}_{i+1}-\mathbf{p}_i)\big]$ 默认 $a=0$；越大弯曲越尖（$a>1$ 时接点处出现环），负值则更松弛。
• 偏置 $b$（控制切线方向）： $\mathbf{m}_i=\frac{(1-a)(1+b)}{2}(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1})+\frac{(1-a)(1-b)}{2}(\mathbf{p}_{i+1}-\mathbf{p}_i)$ 正偏置更偏向弦 $\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1}$，负偏置偏向另一条。全部取默认值即 Catmull-Rom 样条。首末点的切线可令其中一条弦长度为零来计算。
• 连续性 $c$：每个接点有入切线 $\mathbf{s}_i$ 和出切线 $\mathbf{d}_i$（$\mathbf{p}_i$ 到 $\mathbf{p}_{i+1}$ 段使用 $\mathbf{d}_i$ 与 $\mathbf{s}_{i+1}$）： $\mathbf{s}_i=\frac{1-c}{2}(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1})+\frac{1+c}{2}(\mathbf{p}_{i+1}-\mathbf{p}_i),\quad \mathbf{d}_i=\frac{1+c}{2}(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1})+\frac{1-c}{2}(\mathbf{p}_{i+1}-\mathbf{p}_i)$ $c=0$ 时 $\mathbf{s}_i=\mathbf{d}_i$；$c=-1$ 时得到只有 $C^0$ 的尖角。三者合并： $\mathbf{s}_i=\frac{(1-a)(1+b)(1-c)}{2}(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1})+\frac{(1-a)(1-b)(1+c)}{2}(\mathbf{p}_{i+1}-\mathbf{p}_i)$ $\mathbf{d}_i=\frac{(1-a)(1+b)(1+c)}{2}(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_{i-1})+\frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{2}(\mathbf{p}_{i+1}-\mathbf{p}_i)$
• 坑：时间间隔不等。上式只在各段时间长度相同时成立。设 $\Delta_i=t_{i+1}-t_i$，需调整为 $\mathbf{s}'_i=\mathbf{s}_i\frac{2\Delta_i}{\Delta_{i-1}+\Delta_i},\qquad \mathbf{d}'_i=\mathbf{d}_i\frac{2\Delta_{i-1}}{\Delta_{i-1}+\Delta_i}$ 否则路径上的速度会在接点处突变（与 贝塞尔曲线 中的 $C^1$ 条件同理）。

均匀三次 B 样条（17.1.6 节）

$s^n(t)=\sum_k c_k\beta^n(t-k)$。三次基函数由三段拼成： $\beta^3(t)=\begin{cases}0, & |t|\ge 2\\ \tfrac{1}{6}(2-|t|)^3, & 1\le |t|<2\\ \tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2}|t|^2(2-|t|), & |t|<1\end{cases}$ $\beta^0$ 是方波，逐次积分得到帐篷函数 $\beta^1$、$C^1$ 的 $\beta^2$、$C^2$ 的 $\beta^3$；$n$ 次曲线为 $C^{n-1}$。求值只用四个控制点（局部支撑）： $s^3(i+\alpha)=w_0(\alpha)c_{i-1}+w_1(\alpha)c_i+w_2(\alpha)c_{i+1}+w_3(\alpha)c_{i+2}$ $w_0=\tfrac16(1-\alpha)^3,\quad w_1=\tfrac23-\tfrac12\alpha^2(2-\alpha),\quad w_2=\tfrac23-\tfrac12(1-\alpha)^2(1+\alpha),\quad w_3=\tfrac16\alpha^3$ x、y 分别用 B 样条即得到平面曲线。控制点非均匀分布时公式更复杂但更灵活。

选型