球面几何与方向参数化

立体角（3.8.1）

平面角是物体投影到单位圆上的弧长（整圆 $2\pi$ rad）；立体角 (Solid Angle) 是物体投影到单位球面上的面积，单位球面度 (sr)，整个球面 $4\pi$ sr，半球 $2\pi$ sr。微分立体角 $d\omega$ 就是单位球面上的面积测度，所以对方向积分就是在球面上积分（辐射度量中的用法见 辐射度量学与光度学）。

球面多边形与球面三角形面积（3.8.2）

平面多边形投影到单位球上得到球面多边形：顶点是指向原多边形顶点的单位向量，边是过球心和两顶点的平面与球面相交得到的大圆弧（两点间的球面最短路径）。顶点处的角是两条边所在平面的二面角。球面三角形三个角之和不是 $\pi$，而是 $\pi+A$，由 Girard 定理：

$A=\alpha+\beta+\gamma-\pi\quad(\text{式 3.5})$

直接实现要调用多次反三角函数，还有浮点相消误差。更快更准的是 Van Oosterom & Strackee (1983) 的公式：

$\tan\frac A2=\frac{a\cdot(b\times c)}{1+(a\cdot b)+(a\cdot c)+(b\cdot c)}\quad(\text{式 3.6})$

本页用随机球面三角形验算：取分子绝对值、结果为负时加 $\pi$（即用 atan2），与 Girard 公式一致到 $10^{-15}$。球面四边形面积为 $\alpha+\beta+\gamma+\delta-2\pi$。用途：求面光源（多边形）对一点所张的立体角，见 面光源。

球坐标（3.8.3）

$x=r\sin\theta\cos\phi,\quad y=r\sin\theta\sin\phi,\quad z=r\cos\theta\quad(\text{式 3.7})$ $\theta=\arccos z,\qquad \phi=\arctan\frac yx\quad(\text{式 3.8})$

• SphericalDirection() 接收 $\sin\theta,\cos\theta$ 而不是 $\theta$，因为调用方通常已经有了；SphericalTheta() 用 SafeACos 防止 $|z|$ 因舍入略大于 1；SphericalPhi() 把 atan2 的结果调整到 $[0,2\pi]$。
• 在法线对齐 $z$ 轴的局部坐标里，$\cos\theta=\omega_z$；$\sin^2\theta=\max(0,1-\cos^2\theta)$（防止舍入出负数）；$\cos\phi=x/\sin\theta$，$\sin\phi=y/\sin\theta$，全都不需要反三角函数。BSDF 代码大量依赖这些函数。
• 球坐标就是经纬度 (equirectangular) 映射，两极畸变大，不适合存规则采样的数据（与 环境贴图 中经纬度贴图的缺点一致）。

八面体编码（3.8.3）

Vector3f 存单位向量要 12 字节，而且能表示任意长度，大部分取值浪费；球坐标要三角函数，并且精度集中在两极。OctahedralVector 用 4 字节（两个 16 位整数）存单位向量，精度分布均匀，所有 32 位取值都对应合法单位向量：

1. 除以 L1 范数 $|v_x|+|v_y|+|v_z|$ 投影到八面体表面；
2. 上半球 ($v_z\ge0$) 直接取 $(x,y)$；下半球用 $x'=(1-|v_y|)\,\mathrm{sign}(v_x)$、$y'=(1-|v_x|)\,\mathrm{sign}(v_y)$ 把四个三角形翻折到正方形外角，整个过程不需要分支；
3. 把 $[-1,1]$ 量化为 16 位：$\mathrm{round}\big(\mathrm{clamp}((f+1)/2,0,1)\cdot65535\big)$。解码反向执行再归一化。

本页按书中代码对 20 万个随机方向编码再解码，最大角误差约 $0.0037°$，平均约 $0.0013°$。Meyer 等 (2010) 指出该表示用 52 位时精度与归一化的 Vector3f 相当；方法源自 Praun & Hoppe (2003)，pbrt 还采用了 Cigolle 等 (2014) 的改进。实时渲染里同一方法用于 G-buffer 法线和顶点法线压缩，见 顶点压缩与精度；RTR4 给出的八面体环境贴图公式（见 环境贴图）以 $y$ 为"上"轴、输出 $[0,1]$ 纹理坐标，pbrt 以 $z$ 为上轴、输出 $[-1,1]^2$，本质相同。

等面积映射（3.8.3）

用于在球面上制表（如环境光的采样分布）：连续、畸变较低，且每个存储值代表相同的立体角。它把八面体映射与 Shirley–Chiu 同心圆盘映射的变体结合 (Clarberg 2008)：

• 正方形第一扇区（$u\ge0$、$u-|v|\ge0$）映射到圆盘：$r=u$，$\phi=\frac\pi4\frac vu$，$\phi\in[-\pi/4,\pi/4]$；其余三个扇区类似。
• 圆盘到上半球： $x=\cos\phi\,r\sqrt{2-r^2},\quad y=\sin\phi\,r\sqrt{2-r^2},\quad z=1-r^2\quad(\text{式 3.9})$ 本页数值验证两步都保面积：正方形到圆盘的面积放大率恒为 $\pi/4$，圆盘到半球恒为 2（半球面积 $2\pi$ 除以圆盘面积 $\pi$）。
• 扩展到整个球面：先做八面体映射；上半球对内部正方形套用式 3.9（要补偿 $45°$ 旋转）；下半球先沿所在象限的对角线镜像，再套映射并把 $z$ 取负。pbrt 的实现取 $|u|,|v|$ 把四个象限折到第一象限，用到对角线 $u+v=1$ 的有符号距离求 $r$ 与上下半球，最后用 copysign 恢复 $\cos\phi,\sin\phi$ 的符号，全程无分支（对 GPU 有利）。WrapEqualAreaSquare() 处理双线性插值时略出界的坐标。

方向锥（3.8.4）

DirectionCone 用中心方向 $w$ 和扩展角的余弦 cosTheta 表示一组方向的包围锥（存余弦是为了用点积代替三角函数）；空锥用 cosTheta = ∞ 表示。用途：光源只朝某些方向发光时，可剔除肯定照不到的着色点（第 12 章 BVH 光源采样）。

• 包含测试：$\cos\angle(v,w)\ge$ cosTheta。
• BoundSubtendedDirections(b, p)：先求包围盒的包围球，$p$ 在球内则返回整个球面（$p$ 可能在球内却在盒外，此时过于保守，习题要求改进）；否则中心方向指向球心，$\sin\theta=r/d$，$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}$。
• 两锥合并：$\theta_a,\theta_b$ 为扩展角，$\theta_d$ 为两轴夹角。若 $\min(\theta_d+\theta_b,\pi)\le\theta_a$ 则 $a$ 已包含 $b$；否则新扩展角 $\theta_o=(\theta_a+\theta_d+\theta_b)/2$（$\ge\pi$ 则返回整个球面），新轴由 $a.w$ 绕 $a.w\times b.w$ 旋转 $\theta_o-\theta_a$ 得到；叉积为零（两轴相反）时返回整个球面。不能直接用两轴的平均方向作为新轴，否则需要更大的扩展角。

原书问题

取舍