光线微分与纹理足迹

要解决的问题

纹理抗锯齿要回答两件事：纹理空间的采样率是多少；给定采样率后怎样去掉奈奎斯特极限以上的频率（见 纹理过滤与 Mipmap）。屏幕采样率已知，难的是把它换算到表面上。设 $f(x,y)$ 把图像点映射到表面点，只需要它的偏导： $f(x',y')\approx f(x,y)+(x'-x)\frac{\partial f}{\partial x}+(y'-y)\frac{\partial f}{\partial y}.$ 例：正交相机正对单位四边形、图像分辨率 $(x_r,y_r)$ 时 $\partial s/\partial x=1/x_r$、$\partial t/\partial y=1/y_r$，交叉项为 0。

用切平面估计 $\partial p/\partial x$（10.1.1）

假设表面在采样尺度上局部平坦：取过交点 $p$、法线为 $n$ 的切平面 $ax+by+cz+d=0$（$(a,b,c)=n$，$d=-n\cdot p$），把辅助光线 $r_x$、$r_y$ 与它求交（射线–平面求交见 直线与平面求交）： $t=\frac{-(n\cdot o)-d}{n\cdot\mathbf d},\qquad \frac{\partial p}{\partial x}\approx p_x-p,\quad \frac{\partial p}{\partial y}\approx p_y-p.$ 辅助光线正好偏移一个像素样本，所以 $\Delta=1$ 不必再除。剪影边缘或高曲率处近似会失效，但很少造成可见误差。

由 $\partial p/\partial x$ 解 $\partial u/\partial x$：最小二乘

链式法则 $\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\partial p}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial p}{\partial v}\frac{dv}{dx}$ 是 3 个方程 2 个未知数的超定系统，用最小二乘 $x=(A^TA)^{-1}A^Tb$，其中 $A=[\partial p/\partial u\;\;\partial p/\partial v]$： $(A^TA)^{-1}=\frac{1}{|A^TA|}\begin{pmatrix}\partial_vp\cdot\partial_vp&-\partial_up\cdot\partial_vp\\-\partial_up\cdot\partial_vp&\partial_up\cdot\partial_up\end{pmatrix},\qquad A^Tb=\begin{pmatrix}\partial_up\cdot\partial_xp\\\partial_vp\cdot\partial_xp\end{pmatrix}.$ 行列式倒数为无穷时把导数置 0（退化为点采样）；结果过大时钳制，防止后续溢出和 NaN。

没有光线微分时（10.1.1）

光源出发的光线（光子映射、双向路径追踪）和漫反射之后的光线没有可靠的微分。pbrt 的 Camera::Approximate_dp_dxy()（Li 2018 的做法）把相机转向交点，用整幅图像上相机光线微分的最小值构造近似辅助光线，再与切平面求交。它宁可低估足迹（混叠，可用更多像素样本缓解）也不高估（模糊）；不考虑中间表面的散射。正交相机的最小微分可直接算出，其他相机沿图像对角线采样求最小值。

介质边界与镜面反射/折射（10.1.2–10.1.3）

• 只分隔两种介质、不散射的表面：新光线的辅助光线原点取原辅助光线在交点 $t$ 处的位置，足迹相当于没发生散射。
• Igehy（1999）：对镜面反射 $\omega_i=-\omega_o+2(\omega_o\cdot n)n$ 求导， $\frac{\partial\omega_i}{\partial x}=-\frac{\partial\omega_o}{\partial x}+2\Big((\omega_o\cdot n)\frac{\partial n}{\partial x}+\frac{\partial(\omega_o\cdot n)}{\partial x}n\Big),\quad \frac{\partial(\omega_o\cdot n)}{\partial x}=\frac{\partial\omega_o}{\partial x}\cdot n+\omega_o\cdot\frac{\partial n}{\partial x},$ 辅助光线方向取 $\omega_i+\partial\omega_i/\partial x$，原点取 $p+\partial p/\partial x$；$\partial n/\partial x$ 由链式法则从 $\partial n/\partial u$、$\partial n/\partial v$ 得到。
• 折射写成 $\omega_i=-\omega_o/\eta+\mu n$，$\mu=(\omega_o\cdot n)/\eta-\cos\theta_i$（$n$ 翻到 $\omega_o$ 一侧），对 Snell 关系平方再求导得 $\frac{\partial\mu}{\partial x}=\frac{\partial(\omega_o\cdot n)}{\partial x}\Big(\frac1\eta+\frac{1}{\eta^2}\frac{\omega_o\cdot n}{\omega_i\cdot n}\Big).$ 自行核对符号：$n$ 与 $\omega_o$ 同侧时 $\omega_i\cdot n=-\cos\theta_i<0$，由 $\partial\cos\theta_i/\partial x=\frac{(\omega_o\cdot n)}{\eta^2\cos\theta_i}\frac{\partial(\omega_o\cdot n)}{\partial x}$ 代入正好得到书中的加号，式子正确。
• 多次镜面反弹后微分可能发散；任一微分长度平方超过 $10^{16}$ 时 pbrt 丢弃微分。
• 镜面以外（光泽、漫反射）的散射没有明确定义的微分，下一个交点改用 Approximate_dp_dxy()。Suykens 与 Willems（2001）的路径微分把思路推广到光泽反射，Belcour 等（2017）用傅里叶分析追踪足迹。

存储代价与实时替代

光线微分要额外存 12 个浮点数（两条辅助光线的原点和方向），CPU 上无所谓，GPU 上会显著增加存储和带宽。Akenine-Möller 等（2019，Ray Tracing Gems）提出更省空间的光线锥 (ray cones) 等方案，后续改进见 Akenine-Möller 等 2021 与 Boksansky 等 2021（折射光线锥）。早期的面积型光线方法还有 Amanatides 1984 的锥追踪、Heckbert–Hanrahan 1984 的束追踪、Shinya 等 1987 的笔形追踪；Elek 等 2014 把微分扩展到波长维（光谱渲染）。

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