包围体重叠测试

平面-盒（22.10 节）

点代入平面方程 $\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+d$ 得有符号距离；平面-球只需看球心距离绝对值是否不超过半径。盒子不必代入 8 个角：沿平面法线方向相距最远的是某条对角线的两个端点，只测这两个角即可。

AABB：中心 $\mathbf{c}=(\mathbf{b}^{max}+\mathbf{b}^{min})/2$，正半对角线 $\mathbf{h}=(\mathbf{b}^{max}-\mathbf{b}^{min})/2$，盒在法线上的投影"范围"

（8 条半对角线 $(\pm h_x,\pm h_y,\pm h_z)$ 与 $\mathbf{n}$ 的点积在各项都为正时最大）。$s=\mathbf{c}\cdot\mathbf{n}+d$；以正半空间为外侧，$s-e>0$ 完全在外，$s+e<0$ 完全在内，否则相交。

OBB：只需改范围为 $e=h_u|\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}^u|+h_v|\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}^v|+h_w|\mathbf{n}\cdot\mathbf{b}^w|$。

三角形-三角形（22.11 节）

先测 $T_1$ 是否与 $T_2$ 所在平面 $\pi_2$ 相交，反之亦然，任一失败则不相交。不共面时两平面交于直线 $L$，两三角形相交当且仅当它们在 $L$ 上的区间重叠。Guigue 与 Devillers 大量使用 4×4 行列式

其符号表示 $\mathbf{d}$ 位于三角形 $\triangle abc$ 平面的哪一侧，也可理解为沿 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 方向的"螺旋"是否与 $\mathbf{d}-\mathbf{c}$ 同向。

1. 计算 $[\mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\mathbf{q}_3,\mathbf{p}_i]$（$i=1,2,3$）：符号相同且非零则不相交；全为零则共面，转二维处理；对 $T_2$ 同样测试。
2. 重排各三角形顶点，使第一个顶点单独位于另一平面的一侧，得到区间 $I_1=[i,j]$、$I_2=[k,l]$，重叠当且仅当 $k\le j$ 且 $i\le l$。用螺旋测试表达，最终条件为

前三个行列式共享参数，2×2 子行列式可在多个 4×4 行列式之间复用。共面情形：投影到面积最大的坐标平面，先测所有闭合边是否相交，再用点在三角形内测试判断是否一个包含另一个。SAT 也能推导此测试，但该方法更快；精度问题可用精确算术避免。

三角形-AABB（22.12 节）

Akenine-Möller 基于 SAT 的方法，用于体素化和碰撞检测。把盒和三角形平移使盒心在原点（$\mathbf{v}_i=\mathbf{u}_i-\mathbf{c}$；OBB 先用逆变换旋转三角形），测试 13 条轴，找到分离轴立即返回不重叠：

1. 3 条盒法线：等价于盒与三角形最小 AABB 的比较。
2. 1 条三角形法线：用上面的平面-AABB 测试。
3. 9 条 $\mathbf{a}_{ij}=\mathbf{e}_i\times\mathbf{f}_j$，$\mathbf{f}_j$ 为三角形边向量。

以 $\mathbf{a}_{00}=\mathbf{e}_0\times\mathbf{f}_0=(0,-f_{0z},f_{0y})$ 为例，三角形三顶点投影中 $p_0=p_1$，只需比较 $p_0$ 与 $p_2$（条件语句在现代 CPU 上昂贵，少一次比较很划算）；盒投影半径 $r=h_y|a_y|+h_z|a_z|$（此轴 $a_x=0$）；若 $\min(p_0,p_2)>r$ 或 $\max(p_0,p_2)<-r$ 则分离。

包围体之间（22.13 节）

apex point map（Laine 与 Karras）：把一组平面法线映射到 k-DOP 上沿该方向最远的点，该点与方向形成包住模型的平面；可用于更精确的 k-DOP 相交、改进视锥剔除、旋转后求更紧的 AABB。胶囊和菱形体能快速计算最小距离，常用于验证两物体至少相距某个距离的公差检查。也可用圆柱、椭球或多个球作为包围体。

flowchart TD
  A["两个物体"] --> B{"包围体重叠?"}
  B -- "否" --> C["不碰撞, 最常见情形"]
  B -- "是" --> D["层次中更细的 BV"]
  D --> E["三角形-三角形 / 三角形-盒 精确测试"]

如上图，包围体测试的目的是用便宜的测试高效拒绝最常见的不碰撞情形。

GEA 的视角：碰撞引擎里的球与 AABB 测试（卷 II 14.3.5.1–14.3.5.4、14.3.6.3）

• 球-球：比较球心距离的平方与半径和的平方，避免开方（卷 II 14.3.5.2）。
• AABB-AABB：由分离轴定理，候选分离轴只有三条坐标轴，三条轴上的区间都重叠才相交（卷 II 14.3.5.4）。这与本页"包围体之间"一节一致。
• 在管线中的位置：GEA 指出，这类廉价测试主要用于宽相（粗略 AABB 筛出可能相交的对）和中相（复合形状的包围体层次）；窄相再测具体图元。宽相常用扫描剪除：沿三条主轴对 AABB 端点排序，借助帧间相干性把排序降到期望 $O(n)$（卷 II 14.3.6.3）。详见 碰撞检测系统。