顶点混合与蒙皮

为什么需要

把上臂、前臂当成两个刚体分别变换，肘部是两块重叠的几何，看起来不像真实关节。用一个网格并让关节附近的顶点同时受两根骨骼影响，就能弯曲。书中例子：权重 (2/3, 1/3) 表示顶点 2/3 跟随上臂、1/3 跟随前臂。

公式

$\mathbf{u}(t)=\sum_{i=0}^{n-1}w_i\mathbf{B}_i(t)\mathbf{M}_i^{-1}\mathbf{p},\quad \sum_{i=0}^{n-1}w_i=1,\; w_i\ge0$

• $\mathbf{p}$ 是世界坐标下的原始顶点；$\mathbf{M}_i$ 把骨骼 $i$ 的初始坐标系变到世界，骨骼的控制关节通常在其坐标系原点；$\mathbf{B}_i(t)$ 是随时间变化的骨骼世界变换，通常是父骨骼层级与本地动画矩阵的连乘。
• 实践中每帧为每根骨骼预先合并 $\mathbf{B}_i(t)\mathbf{M}_i^{-1}$。
• 权重非负且和为 1，所以结果位于各骨骼变换结果的凸包内。权重超出 $[0,1]$ 或和不为 1 只有在同时使用其他混合方法（如变形目标）时才有意义。
• 法线通常也可用同一公式变换；若骨骼被明显拉伸或压扁，需要用 $\mathbf{B}_i(t)\mathbf{M}_i^{-1}$ 的逆转置。
• 骨骼不必是刚性的：可以加额外关节表现肌肉鼓起，或使用可挤压拉伸的骨骼。

flowchart LR
  A["顶点 p"] --> B["逐骨骼: B_i 乘 M_i 逆"]
  B --> C["得到 n 个候选位置"]
  C --> D["按权重 w_i 加权求和"]
  D --> E["蒙皮后顶点 u"]

上图：顶点先分别经每根影响骨骼的合并矩阵变换，再按权重插值，这正是"顶点混合"名称的来源。

GPU 实现

• 网格放在静态缓冲区中只上传一次，每帧只更新骨骼矩阵，由顶点着色器计算，CPU 处理和传输的数据最少。
• 最好整个模型的骨骼矩阵能一起使用，否则要拆分模型并复制部分骨骼；也可以把骨骼变换存进纹理以避开寄存器限制，用四元数表示旋转时每个变换只需两张纹理。
• 有 UAV 时可以复用蒙皮结果。

缺陷与改进

书中指出，更多骨骼和更仔细选择的权重能得到更好的结果。

在游戏开发中的意义

• 美术侧：权重分配直接决定关节变形质量。
• 程序侧：骨骼矩阵的存储方式（常量、纹理）决定单个模型可用的骨骼数量。
• 面部等细节常与变形动画结合使用。

GEA 的视角：蒙皮与矩阵调色板（卷 II 13.5）

• 逐顶点信息：每个顶点存所绑关节的索引和权重，权重和为 1。常见上限是 4 个关节：四个 16 位索引正好塞进 64 位，而且超过 4 个后多数人看不出质量差别。最后一个权重可省略，运行时用 $w_3=1-(w_0+w_1+w_2)$ 求出（卷 II 13.5.1）：

struct SkinnedVertex {
    float m_position[3]; float m_normal[3]; float m_u, m_v;
    U16   m_jointIndex[4];
    float m_jointWeight[3];   // 第 4 个权重省略
};

• 蒙皮矩阵不是基变换：蒙皮前后的顶点都在模型空间，蒙皮矩阵只是把顶点从绑定姿势"变形"到当前姿势。关键观察是：绑定到关节的顶点在关节空间中的坐标不变。于是先用逆绑定姿势把顶点变到关节空间，再用当前姿势变回模型空间（GEA 用行向量约定，式 13.3–13.4）：

$v_M^C=v_M^B\,(B_{j\to M})^{-1}C_{j\to M}=v_M^B K_j$

这与本页「公式」中的 $\mathbf{B}_i(t)\mathbf{M}_i^{-1}\mathbf{p}$ 是同一件事：RTR4 用列向量、矩阵在左，GEA 用行向量、矩阵在右，乘法顺序相反（约定对照见 齐次坐标与矩阵约定）。

• 矩阵调色板：对每个关节算 $K_j$，组成的数组叫矩阵调色板 (matrix palette)，交给渲染器。逆绑定矩阵在整个游戏中不变，随骨骼缓存；每帧只需算局部姿势 → 全局姿势（见 骨骼、姿势与动画片段）→ 乘逆绑定矩阵（卷 II 13.5.2.2）。在整个动画管线中的位置见 动画管线与动作状态机。
• 并入模型到世界变换：$K_jW=(B_{j\to M})^{-1}C_{j\to M}M_{M\to W}$，每个顶点省一次矩阵乘法。但动画实例化（一套动画同时驱动一大群角色）时不能这样做，要保持模型到世界矩阵独立才能共享同一个调色板（卷 II 13.5.2.3）。
• 多关节：$v_M^C=\sum_i w_i v_M^B K_{j_i}$。权重由绑定美术给出，和不为 1 时应由工具管线重新归一化（卷 II 13.5.2.4）。
• GEA 第 13 章只讲线性混合蒙皮，不讨论本页「缺陷与改进」中的双四元数蒙皮等方法。