旋转表示的比较

旋转可以用欧拉角、3×3 矩阵、轴角、四元数表示，再加上平移与缩放就有 4×4（或 4×3）矩阵与 SRT（SQT）变换；更进一步还有对偶四元数。没有一种在所有场合都最好。GEA 按大小、直观性、能否直接作用于向量、能否插值、有无万向节锁比较它们，并用「参数个数 − 约束个数 = 3 个自由度」统一解释为什么它们用的浮点数不同。

总览（卷 I 5.5.1–5.5.5）

表示	浮点数	优点	缺点
欧拉角 $[\theta_Y\ \theta_P\ \theta_R]$	3	简单、最小、直观；单轴旋转易插值	万向节锁；依赖旋转顺序；依赖轴到 front/up/left 的映射；任意轴旋转难插值
3×3 矩阵	9	无万向节锁、唯一表示任意旋转；矩阵乘法直接作用（多数 CPU 和所有 GPU 硬件加速点积与矩阵乘）；逆即转置；4×4 统一表示仿射变换	不直观；难插值；占空间大
轴角 $[\mathbf{a}\ \theta]$	4	较直观、紧凑	难插值；不能直接作用于向量，需先转成矩阵或四元数
单位四元数	4	可直接串接并作用于向量；lerp/slerp 易插值；比矩阵小	只能表示旋转
SRT（SQT）	8（均匀缩放）/ 10（非均匀缩放）	比 4×3 矩阵（12 个）小；易插值	书中未列缺点

欧拉角细节见欧拉角与万向节锁；四元数运算与 lerp/slerp 取舍见四元数；矩阵见基本仿射变换。
轴角中正旋转方向：右手系用右手定则，左手系用左手定则。四元数与轴角的区别在于：轴乘以半角正弦，第四个分量存半角余弦而不是角度本身。

SRT 变换（卷 I 5.5.5）

四元数本身只能表示旋转；与平移向量和缩放因子（均匀缩放用标量，非均匀用向量）组合后就是 4×4 仿射矩阵的替代品，称为 SRT（scale、rotation、translation），因为旋转是四元数也叫 SQT： $\text{SRT}=[s\ \ \mathbf{q}\ \ \mathbf{t}]$ 或 $[\mathbf{s}\ \ \mathbf{q}\ \ \mathbf{t}]$ 。

因为体积小、易插值，SRT 在计算机动画中广泛使用：平移与缩放用 lerp，四元数用 lerp 或 slerp。

旋量（卷 I 5.5.6）

四元数是旋量 (spinor) 的特例——三维中的实值旋量。旋量除了编码从初始朝向到最终朝向的变换，还编码「怎么转过去」，即旋转的奇偶性：中间是否经过完整的 360° 旋转、经过奇数次还是偶数次。这就是四元数「双重覆盖 (double cover)」三维旋转空间的原因：同一对初末朝向有偶、奇两种走法。（RTR4 侧对应的事实是 $\hat{\mathbf{q}}$ 与 $-\hat{\mathbf{q}}$ 表示同一旋转，见四元数。）

对偶四元数（卷 I 5.5.7）

刚体变换是旋转加平移（「螺旋」运动），在动画和机器人学中很普遍，可用对偶四元数 (dual quaternion) 表示。
关键好处：线性插值混合可以做到匀速、最短路径、与坐标系无关，类似平移用 lerp、旋转用 slerp，但能轻松推广到三个及以上变换的混合。
对偶数 $\hat{a}=a+\varepsilon b$ ，对偶单位 $\varepsilon$ 满足 $\varepsilon^2=0$ 但 $\varepsilon\ne0$ ，类似复数中的虚数单位。对偶四元数的四个分量是对偶数，可用 8 元素向量表示，也可写成 $\hat{\mathbf{q}}=\mathbf{q}_a+\varepsilon\mathbf{q}_b$ 。
理论与实践见 Kavan 等人的论文《Dual Quaternions for Rigid Transformation Blending》；该论文把对偶数写作 $\hat{a}=a_0+\varepsilon a_\varepsilon$ ，GEA 用 $a+\varepsilon b$ 以突出与复数的相似（作者脚注说他更喜欢 $a_1$ 而不是 $a_0$ ，把实单位和 $\varepsilon$ 看作两根「基向量」）。在蒙皮中的应用可参考顶点混合与蒙皮。

自由度（卷 I 5.5.8）

自由度 (DOF) 是物体物理状态（位置与朝向）可以独立变化的方式数。不受约束的三维物体有 3 个平移自由度和 3 个旋转自由度，共「六自由度」。各种旋转表示都只有 3 个旋转自由度，参数多出来的部分被约束抵消： $N_{DOF}=N_{parameters}-N_{constraints}$

表示	参数	约束	DOF
欧拉角	3	0	3
轴角	4	1（轴为单位长度）	3
四元数	4	1（单位长度）	3
3×3 矩阵	9	6（行与列为单位长度、相互正交）	3

GEA 脚注：行列长度的六个约束因为行列相互依赖，只去掉 5 个自由度，第 6 个由正交约束去掉。

原书问题：这一计数写法含糊。「三行三列都是单位长度、行与列都两两正交」共 12 个方程，并不独立。标准计数是：只要求三行正交归一（ $\mathbf{R}\mathbf{R}^T=\mathbf{I}$ ），就是 3 个单位长度约束加 3 个两两正交约束，共 6 个独立约束；列的正交归一会自动成立（ $\mathbf{R}^T\mathbf{R}=\mathbf{I}$ ）。 $9-6=3$ 的结论正确。此外， $\det=+1$ 是排除反射的离散条件，不减少自由度。来源：正交群 $O(3)$ 的维数为 $n(n-1)/2=3$ （Wikipedia「Orthogonal group」「Rotation matrix」条目）。

如何选择

按下图按需求选型：没有一种表示在所有场合都最好。

flowchart TD
  Start["选择旋转表示"] --> Q1{"需要朝向插值？"}
  Q1 -->|"是"| Q2{"多个刚体变换混合？"}
  Q1 -->|"否"| Q3{"人类编辑 / 单轴约束？"}
  Q2 -->|"是"| DQ["对偶四元数"]
  Q2 -->|"否"| Quat["四元数 / SRT"]
  Q3 -->|"是"| Euler["欧拉角"]
  Q3 -->|"否"| Q4{"批量作用于顶点 / GPU？"}
  Q4 -->|"是"| Mat["3×3 / 4×4 矩阵"]
  Q4 -->|"否"| Q5{"只要紧凑存轴与角？"}
  Q5 -->|"是"| AA["轴角"]
  Q5 -->|"否"| Quat

需要插值和紧凑存储（动画关键帧、骨骼姿势）：四元数 / SRT。
需要批量作用于大量顶点、与 GPU 交互：矩阵（预先串接）。
需要人类编辑、单轴旋转（相机偏航、编辑器面板）：欧拉角。
多个刚体变换的高质量混合：对偶四元数。（以上选择归纳自本页表格中 GEA 所列优缺点。）